Δίνονται $0<\alpha\in\mathbb{R}$ και η συνάρτηση $f$ η οποία έχει σε κάποιο ανοιχτό διάστημα που περιέχει το $x_0=0$ παραγώγους οποιασδήποτε τάξης. Έστω επίσης ότι $f(0)=0$ και $f^\prime(0)=1$ Θεωρούμε το όριο $\ell_\alpha=\lim\limits_{x\to0^+}\left[\frac{1}{x^\alpha}-\frac{1}{f(x)^\alpha}\right]$ Ν...

Να υπολογιστεί το όριο

Στα πλαίσια της γλώσσας της θεωρίας συνόλων $L= <\in >$ θεωρούμε την πρόταση $I = $" υπάρχει ασθενώς απρόσιτος πληθάριθμος " ( weakly inaccessible cardinal ) Γνωρίζουμε ότι η θεωρία συνόλων ZFC δεν αποδεικνύει την πρόταση $I$ (ZFC$\nvdash I$), υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι η ίδια (η ZFC) είναι συνεπ...

Έστω συνάρτηση για την οποία κοντά στο ισχύει

Αν να δειχθεί ότι το όριο υπάρχει και είναι ίσο με

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει
για κάθε

Να αποδειχθεί ότι

Η θεωρία συνόλων ZF πιστεύουμε πως είναι μια συνεπής θεωρία , δηλαδή μια θεωρία που δεν μπορεί να οδηγήσει σε αντίφαση συνδυάζοντας τα αξιώματά της με τους κανόνες παραγωγής της (πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής) λογικής. Υπό την προϋπόθεση ότι η ZF είναι όντως συνεπής προκύπτει το εξής (φαινομενικό) πα...

Δίνεται $\alpha\in\mathbb{R}$ και η συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=2e^{x-\alpha}-x^2$ Γνωρίζουμε ότι η $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο και σημείο καμπής. Να αποδειχθεί ότι: Αν $x_1,x_2,\beta$ είναι αντίστοιχα θέσεις τοπικού μεγίστου της $f$, τοπικού ελαχίστου της...

α) το $x_0$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)-M\cdot Q(x)$ με άρτια πολλαπλότητα. Ιάσονα, έχω λύση αλλά πρώτα θέλω να ρωτήσω αν πρέπει να γίνει μία διόρθωση στην εκφώνηση. Σίγουρα το $x_0$ είναι ρίζα άρτιας πολλαπλότητας του $P(x)-M Q(x)$; Μήπως εννοείς ότι η πολλαπλότητα είναι $\ge 2$; Για παράδειγμ...

Δίνονται τα μη σταθερά πολυώνυμα $P(x),Q(x)$ για τα οποία γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο που να είναι κοινός τους διαιρέτης. Γνωρίζουμε επίσης ότι στο $x_o$ (με $Q(x_0)\ne0$) η ρητή συνάρτηση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $M\in \mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι: α...

dissection.png . Ιάσονα, ωραιότατη κατασκευή. ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ. Για όσους δεν το παρατήρησαν, ένα κεντρικό στοιχείο του κάτω τριγώνου είναι η αξιοποίηση της γωνίας $\theta$, όπου $8\theta =90$. Όλα τα ισοσκελή τριγωνάκια κατασκευάστηκαν με άθροισμα γωνιών $16\theta$ (ως όφειλαν). Χαίρετε, ανήκω και εγώ...

αρψ2400 έγραψε: ↑

Δευ Ιούλ 28, 2025 5:18 pm

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ.Μπορείτε να το χωρίσετε σε πέντε ,ανόμοια ανά δύο,ισοσκελή τρίγωνα; (Η ένωσή τους πρέπει να δίνει το ΑΒΓΔ).

Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$ τέτοιο ώστε $AB=\alpha > \beta=BC$ (Η εκδοχή $\alpha=\beta$ έχει απαντηθεί εδώ ) Σε πρώτη φάση θα εκτελέσουμε την ακόλουθη κατασκευή: Στο εσωτερικό του $CD$ θεωρούμε $E$ το μοναδικό σημείο για το οποίο $AE=AB$ Κατόπιν θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων $BE,AE$ οπ...

$\bullet$ Το μικρότερο ή ίσον δεν σημαίνει ότι θεώρησα ότι μπορεί να ισχύει το ίσον, αλλά το χρησιμοποίησα ως άρνηση του μεγαλύτερου. Δεν πρέπει να αφαιρεθεί εκ των προτέρων , ως άρνηση του $>0$ είναι το $\leq 0$. Απέδειξα ότι δεν πιάνεται το ίσον στην συνέχεια. Εξάλλου, αν κάτι είναι $<0$, τότε εί...

(α) Το (α) καλύτερα να ζητάει άπειρα τοπικά ακρότατα για να είναι πιο δύσκολο. Χαιρετίζω και επαυξάνω τη σύσταση με (cr)edit σε τρίτο ερώτημα. Αφού ξεκαθαριστεί πρώτα ότι το αρχικό δοθέν πρόβλημα έχει λυθεί, θα ακολουθήσουν μόνο μερικές επισημάνσεις. ... και αν $\cos(ax_0)\leq 0$ τότε $f''\left ( x...

Δίνεται η συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\sigma \upsilon \nu \,(\alpha x)-\sigma \upsilon \nu \,x$ όπου $\alpha$ ένας πραγματικός αριθμός με $\alpha>1$ Να αποδειχθεί ότι: #1. η $f$ παρουσιάζει τοπικά μέγιστα #2. αν σε κάποιο $x_o$ η $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο τότε $f(x_o)\ge...

Δίνεται συνάρτηση με την ιδιότητα




Να αποδειχθεί ότι υπάρχει το όριο

Δίνεται συνάρτηση $f$ ορισμένη σε διάστημα $\Delta$. Να δειχθεί ότι: #1. Αν η $f$ δεν είναι γνησίως μονότονη τότε θα υπάρχουν $x_1, x_2, x_3 \in \Delta$ με $x_1 < x_2 < x_3$ ώστε να ισχύει $f(x_2) \le f(x_1), f(x_3)$ ή $f(x_2) \ge f(x_1), f(x_3)$ #2. Αν η $f$ δεν είναι αύξουσα ή φθίνουσα τότε θα υπά...

Στην Γ' Λυκείου μελετάμε όρια πραγματικών συνάρτησεων μιας πραγματικής μεταβλητής, στα οποία ενίοτε υπάρχουν και άλλες μεταβλητές (παράμετροι). Συνήθως είναι ξεκάθαρο ποια είναι η μεταβλητή και ποιες είναι οι παράμετροι. Η παρούσα άσκηση έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί στο δοθέν όριο πρέπει να ξεκαθ...

Μετά από τις ωραίες απαντήσεις με χρήση του ως παραγοντικού και διπλού παραγοντικού θα ακολουθήσει και μια απάντηση στο αρχικό πρόβλημα με τη χρήση του ως υποπαραγοντικού (subfactorial) που ήταν και η πηγή έμπνευσης του παρόντος.

Συγκεκριμένα ισχύει:

Να κατασκευαστεί μια έγκυρη, δόκιμη, αληθής, μη τετριμμένη μαθηματική ισότητα τα δύο μέλη της οποίας να συντίθενται αποκλειστικά και μόνο από τα σύμβολα και