Είμαι από κινητό αλλά δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το νόημα της άσκησης .
Το κλειδί είναι

Λύση μου 3....png $\bullet$ Έστω $G\equiv CI\cap EF,S\equiv QI\cap KC,W\equiv BI\cap EF,Y\equiv RI\cap BK,V\equiv FE\cap BC,C''\equiv CI\cap AB,$ $,B''\equiv BI\cap AC.$ Από το Θεώρημα Μενέλαου στα τρίγωνα $\vartriangle BKW, \vartriangle GCK$ με διατέμνουσες $\overline{RIY},\overline{QIS},$ είναι $...

$\frac{1}{2}\pi \left ( \frac{BC}{2} \right )^{2}=3\cdot \frac{1}{2}\pi \left ( \frac{AE}{2} \right )^{2}\Rightarrow BC=AE\sqrt{3}$ $BH\cdot BC=AB^2\Rightarrow \angle BAH=\angle C=50^\circ \Rightarrow \angle HAE=30^\circ.$ $\left ( \star \right ):b^2-ab\sqrt{3}+\frac{a^{3}}{b\sqrt{3}}=b^2\left ( 1-2...

Η δεύτερη λύση μου στη συντρέχεια.png $\bullet$ Έστω $V\equiv FE\cap BC,P\equiv KM\cap AI,L\equiv \overline{NMPK}\cap BC,Z\equiv AI\cap EF\overset{\angle PKZ=\angle ZKI\wedge \angle KZP=90^\circ}\Rightarrow$ $ZP=ZI\overset{\overline{API} \perp EF\perp KD\Rightarrow \overline{API}\parallel KD }\Righ...

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{1}{2}\left ( e\displaystyle^{\int\limits_{0}^{x}\ln^2\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )dy}-1 \right )\ln \left | \ln\left ( x+\sqrt{1+x^2} \right )\right |> $ $\displaystyle >\left ( 1-x \right )\displaystyle e^{ \int\limits_{0}^{x}\ln^2\left ( y+\sqrt{1+y^2} \rig...

Δίνεται τραπέζιο $ABCD (AB \parallel CD)$ με $AB<CD$ και έστω $P\equiv AD \cap BC.$ Ο κύκλος $(P,PC)$ επανατέμνει τον κύκλο $(ABC)$ στο $X$ , ο κύκλος $(P,PD)$ επανατέμνει τον κύκλο $(ABD)$ στο $Y$ κι ας είναι $Q \equiv AX \cap BY.$ Να αποδείξετε ότι $PQ \parallel AB.$ Υ.Γ Ομολογώ ότι έχω μία πολύ π...

Συμμετρία και αρμονικότητα.png Επειδή $KX \parallel LY,$ το τετράπλευρο $KXLY$ είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι $XY,KL \equiv AM$ τέμνονται επί της κοινής μεσοκαθέτου των $YL,XK.$ Επειδή όμως $IK=IX$ λόγω του κύκλου $(I)$ και $KX \parallel BC \perp DI,$ άρα η μεσοκάθετη του $KX$ είναι η ευθεία $DI...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με έγκυκλο $(I)$ που εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$ αντίστοιχα και $K$ η προβολή του $D$ στην $EF.$ Η συμμετρική της $KI$ ως προς $EF$ τέμνει την $AC$ στο $M,$ οι ευθείες $MK,AB$ τέμνονται στο $N,$ και οι εκ των $M,N$ κάθετες στις $...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με έγκυκλο $(I)$ που εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$ αντίστοιχα και $K$ η προβολή του $D$ στην $EF.$ Η συμμετρική της $KI$ ως προς $EF$ τέμνει την $AC$ στο $M,$ οι ευθείες $MK,AB$ τέμνονται στο $N,$ και οι εκ των $M,N$ κάθετες στις $A...

Με τάραξε η είδηση .Με τον κύριο Σταυρο είχαμε συνομιλήσει και παλιότερα μέσω Π.Μ. Ήταν ένας εξαιρετικός μαθηματικός και πολύ ευφυής άνθρωπος με ήθος.
Θερμά συλλυπητήρια στους οικείους του.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και $E,F$ σημεία στις πλευρές του $AC,AB$ αντίστοιχα$,$ τέτοια ώστε η ευθεία $EF$ να διέρχεται από το ορθόκεντρο $H$ του $\vartriangle ABC,$ κι ας είναι $HX \perp EF(X\in BC).$ Η ευθεία $AH$ επανατέμνει τον κύκλο $(ABC)$ στο σημείο $A',$ η ευθεία $A'X$ επανα...

Ωραίο θέμα αγαπητέ Dimessi (Δημήτρη ?), αλλά χρειάζεται λίγο περισσότερος χρόνος για να απαντηθεί, ιδιαίτερα για όσους από εμάς έχουν γεννηθεί στο πρώτο μισό του προηγούμενου αιώνα... Καλησπέρα . Ναι Δημήτρης λέγομαι και δε θα συμφωνήσω εντελώς με αυτό που λέτε. ;) Σίφουνας είσαστε :) Όμορφη!!!.png...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και $E,F$ σημεία στις πλευρές του $AC,AB$ αντίστοιχα$,$ τέτοια ώστε η ευθεία $EF$ να διέρχεται από το ορθόκεντρο $H$ του $\vartriangle ABC,$ κι ας είναι $HX \perp EF(X\in BC).$ Η ευθεία $AH$ επανατέμνει τον κύκλο $(ABC)$ στο σημείο $A',$ η ευθεία $A'X$ επανατ...

Καλημέρα -Καλησπέρα μετά από μια αποχή από το :logo: που θα την αναπληρώσω στο μέγιστο !! :) Επί της εξωτερικής διχοτόμου!.png $\bullet$ Έστω $X\equiv AM\cap \left ( BC_{1} P\right ),$ όπου $M$ το ίχνος της $A-$ διχοτόμου της γωνίας $\angle QAP$ στην πλευρά $PQ$ κι ας είναι $Y\equiv AM\cap \left ( ...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC(AB<AC)$ και $P,Q$ σημεία στις $BA,CA$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε $BP=AC$ και $CQ=AB$ και έστω $B_1,C_1$ οι προβολές των $B,C$ στην ευθεία $PQ,$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το ένα εκ των σημείων τομής των κύκλων $(BC_1P),(QB_1C)$ ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο της...

Καθετότητα παρουσία ημικυκλίου.png Έστω $S$ τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ και $D$ η προβολή του στη διάμετρο. Οι εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα $A, B$ τέμνουν τις $BS, AS$ στα $P, Q.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $SD,$ να δείξετε ότι $OM\bot PQ.$ Άλλη μία λύση.png $\bullet$Έστω $V\in QB:DV...

Έστω $S$ τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ και $D$ η προβολή του στη διάμετρο. Οι εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα $A, B$ τέμνουν τις $BS, AS$ στα $P, Q.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $SD,$ να δείξετε ότι $OM\bot PQ.$ Καθετότητα παρουσία ημικυκλίου.png Έχω βρει 5 διαφορετικές λύσεις. Για την ώρα...

Λοιπόν ήρθα, καλησπέρα. Μη φύγετε . Επειδή έχω πολύπλοκη λύση σας δίνω βήμα κύριε βηττα και έρχομαι για την πληκτρολόγηση.

Πρόβλημα 4 Μεγάλων :) $P(x,0):f\left ( 1 \right )-f\left ( 0 \right )f\left ( x \right )=1\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0\vee f\left ( x \right )=c\overset{\alpha \nu f\equiv c \Rightarrow \alpha \tau o\pi o P(x,y)}\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0\wedge f\left ( 1 \right )=1.$ $P(1,y):f\left ( y...