Κατάλαβα, ωραία λύση! Μπορεί να μην δίνει το ζητούμενο αποτέλεσμα, αλλά να σημειώσω ότι μπορεί κάποιος να οδηγηθεί σε φράξιμο αν εφαρμόσει παραγοντική με το (Χ)', και έπειτα στο ολοκλήρωμα xf(x) αν χρησιμοποιήσω τη σχέση καταλήγω στο 2F(x)lnx . Και στο F(x)lnx αν χρησιμοποιήσω lnx<=1 παίρνω τελικά ...

Καλησπέρα, συγγνώμη, θέλω να ρωτήσω αν η αντικατάσταση u=lnx όπου καταλήγω στο e^u^2+u και χρησιμοποιώ την e^u^2+u >= u^2+u+1 είναι σωστή, γιατί καταλήγει σε ένα αποτέλεσμα με πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Κατά τη διάρκεια της εξέτασης έτσι το δικαιολόγησα και πίστεψα ότι είναι εντάξει. Θα μου το πάρουν...

Καλησπέρα, συγγνώμη, θέλω να ρωτήσω αν η αντικατάσταση u=lnx όπου καταλήγω στο e^u^2+u και χρησιμοποιώ την e^u^2+u >= u^2+u+1 είναι σωστή, γιατί καταλήγει σε ένα αποτέλεσμα με πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Κατά τη διάρκεια της εξέτασης έτσι το δικαιολόγησα και πίστεψα ότι είναι εντάξει. Θα μου το πάρουν ...

Μια προσπάθεια: Θα δείξουμε αρχικά ότι ισχύει $\angle BIH = \angle RIC$ (αναρωτιέμαι αν, που σίγουρα, υπάρχουν κομψότερες λύσεις για αυτό γιατί μου φαίνεται και πιο γενικό πρόβλημα). Επειδή $\angle HIB + \angle HIC = \angle BIC = \angle CIR + \angle RIB$, σύμφωνα με γνωστό λήμμα αρκεί να δείξουμε ότ...

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με $f^{'}\left ( 0 \right )=1$, για την οποία ισχύει $\left ( f^{'} \left ( x \right )\right )^{2}-\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=1,\forall x\in \mathbb{R}.$ (α) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και ότι είναι δύ...

Πρώτο σκέλος: το $X$, το κέντρο $L$ του κύκλου $(AEF)$ και το μέσο $M$ του τόξου $BAC$ είναι συνευθειακά. Αν $Q$ η τομή των κάθετων στις $IE, IF$ ευθειών που άγονται από τα $E, F$ αντίστοιχα τότε $\angle IEQ = \angle QAI = \angle IFQ = 90^{o}$, απ' όπου τα τετράπλευρα $IAEQ, IFQA$ είναι εγγράψιμα, ...

Ισχύει το ακόλουθο λήμμα: Σε ένα εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο $ABCDE F$ οι διαγώνιοι συντρέχουν αν και μόνο αν $\dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{CD}{DE}\cdot\dfrac{FE}{EA}=1$. Πράγματι, από τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος Ceva για το τρίγωνο $ACE$ παίρνουμε ότι οι $AD, CF, EB$ συντρέχουν ανν $\dfrac{\sin...

$\dfrac{TY}{TX} \overset{YC \parallel XB}{=} \dfrac{YC}{XB} = \dfrac{AY}{AX} \Rightarrow$ η $AT$ είναι η εξωτερική διχοτόμος της $\angle XAY$. Έστω $O$ το κέντρο του $\Omega$. Αφού $ \angle OAB = 90^{o} - \angle ACB $ (με $A'$ το αντιδιαμετρικό του $A$ είναι $\angle OAB = \angle A'AB = \angle A'CB =...

Ας είναι $K$ το κέντρο του κύκλου δια των $F, B$. Από το ορθογώνιο $BFC$ προφανώς $MB = MF = MC \Rightarrow$ $KM$ κάθετη στη $AB\Rightarrow$ οι $MK, AB$ τέμνονται στον $(ADM)$. Αν $P, Q$ οι τομές της $MK$ με τον $(K)$ ($P$ εσωτερικό του τριγώνου), τότε: $\angle PBC = \angle PQB = \angle FBP$, αφού ο...

Επίσης: Αν $F$ η τομή της $ID$ με τον $(IBC)$ και $L$ το ίχνος του ύψους από το $A$ στη $BC$, η $FL$ διέρχεται από το $S$. Πράγματι, ισχύει η εξής πρόταση, η οποία προκύπτει από την συνευθειακότητα των $A$, $B$, και του αντιδιαμετρικού του $E$ στον $A$-παραγεγγραμμένο (απ' όπου έχουμε και το λήμμα 2...

Παραλληλία _αεροδυναμική.png Έστω τρίγωνο $ABC$. Γράφω τον εγγεγραμμένο του κύκλο $I$ και εφάπτεται των πλευρών $BC\,,\,CA\,,\,AB$ στα $D,E,Z$. Ας είναι $M$ το μέσο της $BC$ . Η από το $D$ κάθετη στην , $IM$ τέμνει την ευθεία $ZE$ στο $S$. Δείξετε ότι $AS//BC$. Επειδή $IM \perp DS$ η $DS$ είναι η π...

Πρόβλημα 2: Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με $AB < AC$. Έστω $\Omega$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του $ABC$. Έστω $S$ το μέσο του τόξου $CB$ του $\Omega$ που περιέχει το $A$. Η κάθετη από $A$ προς τη $BC$ τέμνει την $BS$ στο $D$ και τέμνει τον $\Omega$ ξανά στο $E \neq A$. Η ευθεία που διέρχεται από...

Δίνω και εγώ μια υπολογιστική λύση: Έστω $E$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου στα $B, C$ και $F$ το κέντρο του $(AMN)$. Έστω επίσης $G$ η προβολή του $A$ στην $BC$. Παρατηρούμε ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα $AFD, DEP$ είναι όμοια και αφού $AF\parallel EP$ αρκεί να δειχθε...

Tην βρήκα σε κάποιον Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής για BMO/IMO ως θέμα 3. Έχω λύση με bash (πως μεταφράζεται;), θα ήθελα να δω και τις δικές σας. Το παραθέτω. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB< AC,$ το ύψος του $AD$ και το μέσο $M$ της πλευράς του $BC.$ Μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο $M...

Πρόβλημα 5. Δίνεται ένας θετικός ακέραιος $s \geqslant 2$. Για κάθε θετικό ακέραιο $k$, ορίζουμε τον αντεστραμμένο του $k'$ ως ακολούθως: γράφουμε τον $k$ ως $as+b$, όπου $a, b$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και $b<s$, οπότε $k'=bs+a$. Για το θετικό ακέραιο $n$, θεωρούμε την άπειρη ακολουθία $d_1, d_...

Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο.png Το $ABC$ είναι οξυγώνιο και σκαληνό με ορθόκεντρο το $H$. Ο κύκλος με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AH$ τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου $BHC$ στο ${{I}_{a}}\cancel{\equiv }\,H$. Ομοίως βρίσκουμε τα ${{I}_{b}}$ και ${{I}_{c}}$. Δείξτε ότι το $H$ ανήκει στον κύκλο $\lef...

Αυτο ακριβώς δείχνει η μονοτονία της $f$. . Δεν το βλέπω. Για παράδειγμα η $1-\dfrac {1}{x+1} $ είναι γνήσια αύξουσα για $x\ge 0$ αλλά οποιεσδήποτε δύο τιμές της διαφέρουν λιγότερο από $1$ (διότι το σύνολο τιμών της είναι το $[0,1)$, δηλαδή ένα μήκος $1$) Πήρα $f(x) = a^x - b^x - 1$, συνεπώς το μόν...

Μία πιο διερευνητική λύση για το ΑΠ3 για λόγους πληρότητας. Γράφουμε $n=kt, t \in \mathbb{N}.$ Έχουμε $kt+2>k^2 \Leftrightarrow k(k-t)<2.$ Για $k(k-t)<0$, είναι $t>k \Leftrightarrow kt+2 > k^2 + 2.$ Όμως από εκεί πρέπει $k^2 \geq k^2 + 2,$ άτοπο. Για $k(k-t)=0, t=k \Leftrightarrow n=k^2.$ Για $2>k(k...

Αν μου επιτρέπεται να παραθέσω και εγώ ορισμένα σχόλια ως μαθητής της Α, χωρίς καμία επικριτική διάθεση, θέλοντας μόνο να εκφράσω την άποψή μου από την σκοπιά ενός εξεταζόμενου για τα θέματα της τάξης του, όπως ο Λυμπέρης και οι υπόλοιποι. Το Π2 δεν ήταν και η πιο απλοϊκή κατασκευή και μου φαίνεται ...

Αγαπητέ Γιώργο, δεν βρήκα τρόπο για προσωπική επικοινωνία για διόρθωση του τυπογραφικού σου λάθους, γι΄ αυτό στέλνω δημόσιο μήνυμα. Γράφεις [tex](g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y) [tex] ισοδύναμα [tex] f(x)f(y)=f(x+y)[tex], όπου $ g(x)+2=\dfrac{f(x)}{3}$. Εξάλλου, εύκολα διαπιστώνουμε ότι για $x = y = 0 $ ...