202604161740251000.jpeg Χριστός Ανέστη! Καλησπέρα σε όλους :logo: Το πρόγραμμα Maths Beyond Limits επανέρχεται για άλλη μια χρονιά τον Σεπτέμβριο στην Πολωνία! Δήλωση συμμετοχής έως 17 Μαΐου . Όπως έχουμε αναφέρει σε προηγούμενα posts, το camp είναι δωρεάν και απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου που αγα...

Πρόβλημα 1. Για κάθε θετικό ακέραιο $N$, έστω $c_1 <c_2 < \dots < c_m$ όλοι οι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του $N$ οι οποίοι είναι σχετικά πρώτοι με τον $N$. Να βρείτε όλους τους αριθμούς $N \ge 3$ τέτοιους ώστε $\gcd(N, c_i + c_{i+1}) \ne 1 $ για κάθε $1 \le i \le m-1$. Εδώ ο $\gcd(a,b)$ είναι ο μ...

Καλησπέρα σε όλους. Θα μου επιτρέψετε να ξεκινήσω συγχαίροντας δημόσια όλους τους διακριθέντες του ΕΚΠΑ και του ΕΜΠ. Ιδιαίτερα τους δύο πρώτους, θερμά συγχαρητήρια στον Γιάννη Μαυρίκο (absolute winner, perfect score 40/40) και στον Ορέστη Λιγνό (gold medal, 35/40). Επί του θέματος τώρα. Δεν είχα ποτ...

Δίνεται πραγματικός αριθμός $x\in(0,1)$ Να αποδειχθεί η ανισότητα: $2^{x}\cdot(1-x)<1$ Σημείωση Η απόδειξη πρέπει να είναι στοιχειώδης, χωρίς παραγώγους. Μια εκτός φακέλου, που έμμεσα εμπεριέχει και παραγώγους… την καταγράφω απλώς σαν ιδέα. Θέλουμε: $2^x< \dfrac{1}{1-x}$. Επειδή, $2^x<e^x$ αρκεί να...

alexndimis έγραψε: ↑

Σάβ Ιουν 29, 2024 10:49 pm

Η αποδειξη στο ερωτημα μου ποια ειναι;; (Μαθητης Γ λυκειου ειμαι οποτε δεν μπορεσα να βρω κατι στο βιβλιο μου)

Αν θέλεις, δοκίμασε να υπολογίσεις την παράγωγο της συνάρτησης στην άσκηση 10, σελίδα 174-175. Έπειτα, εξέτασε τη συνέχεια της παραγώγου.

stranger έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 17, 2024 9:32 pm

Αυτά που λες είναι σωστά όμως οι έννοιες του supremmum και infimum δεν είναι αντικείμενα μελέτης της Γ Λυκείου.

Σωστά, για αυτό και τα παρέλειψα στο post #2.

Απλώς τα ανέφερα για να μην δημιουργηθεί σύγχυση.
(Μην ψάχνει κάποιος άδικα αντιπαράδειγμα κλπ…)

Ωραία ας αποδείξουμε τώρα το ζητούμενο χωρίς να υποθέσουμε ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν. Υπήρξε μια βλάβη της γενικότητας στην προηγούμενη απόδειξη. Ουσιαστικά δεν υπήρξε καμία βλάβη αλλά αυτό είναι πιο προχωρημένο θέμα. Καλησπέρα σας. Πράγματι, παρέλειψα την «αυστηρή» απόδειξη της ύπαρξης των πλε...

Δίνεται διάστημα $\Delta\subseteq \mathbb{R}$ και $f\colon\Delta\to\mathbb{R}$ μια συνεχής και 1-1 συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ αποτελέσματα που βρίσκονται ΕΝΤΟΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ της Γ' Λυκείου, να αποδειχθεί ότι η αντίστροφη της συνάρτησης $f$, δηλαδή η $f^{-1}\colon f(\Delta)\to\mathbb{R}$, εί...

Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$ Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ . Έπειτα από αντικατάσταση, αρκεί να δείξουμε ότι $e^x-e^{-x}>2x$ , για κάθε $x>0$. Έστω, $h(x)=e^x-e^{-x}$ , με $D_h:[0, + \infty)$. Έχουμε, $h^{(2n+1)}(x)=e^x+e^{-...

Καλησπέρα κι από εμένα. Ως συμμετασχούσα στο εν λόγω πρόγραμμα, (Maths Beyond Limits - 2023), συμφωνώ πως, πράγματι, κάθε μαθητής Λυκείου που αγαπάει τις μαθηματικές προκλήσεις αξίζει να δηλώσει συμμετοχή. Αν και ο Ανδρέας με κάλυψε με την ανάρτησή του, παραθέτω ορισμένα συμπληρωματικά σχόλια και λί...

Στο σχολικό βιβλίο που είχαμε (στο επαρχιακό κλασικού τύπου, εξατάξιο γυμνάσιο που τελείωσα) του Νικολάου Δ. Νικολάου Στη σελίδα $194$, παρ. $224$, υπάρχει η κατασκευή του αρμονικού συζυγούς , δοθέντων των τριών άλλων σημείων . Μετά βάσει της ιδιότητας που έχει μια ευθεία παράλληλη σε κάποια ακτίνα...

Θα αποδείξουμε ότι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το Ν είναι 1. Για τη στρατηγική, αρχικά οι κάτοικοι μπορούν να κωδικοποιήσουν κάθε διαφορετικό χρώμα με έναν αριθμό από 0 έως 6. Συνεννοούνται εκ των προτέρων ότι ο πρώτος που θα μιλήσει, θα πει το άθροισμα όλων των καπέλων που βλέπει μόντουλο ...

Ανεβάζω κι εδώ τις ενδεικτικές λύσεις της ΕΜΕ. THEMATA_LYSEIS_EYKLEIDH_20_1_2024_neo.pdf Καλησπέρα σας. Νομίζω στις επίσημες λύσεις για τη Γεωμετρία της Α’ Λυκείου, στον 2ο τρόπο, στον 3ο ισχυρισμό είναι $\angle KN\Lambda = \angle BAE$ , ως εντός εκτός και επί τα αυτά (αντί για εντός εναλλάξ). Συγχ...

… Άρα $ f(m)|f(0)$ Εδώ αν $f(0) \neq 0$ , θα είναι f σταθερή , αλλά αν $f(1) \neq f(-1)$ , δεν μπορεί f να είναι σταθερή Πρέπει άρα $f(0)=0$ που μας οδηγεί στο $f(m)^2 | f(m)$ δηλαδή $f(m) | 1$ πάλι f constant Εδώ θα ισχύει μόνο αν για κάθε $m > 0$ είναι $f(m)=1$ και για κάθε $m < 0$ , $f(m) =-1$ Κ...

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\underset{\text{y}\to \text{ }+\infty }{\mathop{\lim }}\,\displaystyle\frac{x{{\alpha }^{y}}+({{x}^{2}}-1){{e}^{y}}}{{{\alpha }^{y-1}}+{{e}^{y+3}}}$, όπου α θετικός πραγματικός αριθμός με $\alpha \ne e$. α) Να βρεθεί ο α ώστε η συνάρτηση $\displaystyle g(x)={...

Για ρυθμό μεταβολής.png Σε ημικύκλιο διαμέτρου $BC = 4cm$ , κινείται σημείο $S$ Από το $B$ στο $C$. Έστω ότι η προβολή $T$ του $S$ στην $BC$ κινείται με ταχύτητα : $u = 2cm/\sec $. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας : $\widehat {CBS} = \theta $ τη χρονική στιγμή , ${t_0}$ που είναι ίση με $\df...

KARKAR έγραψε: ↑

Παρ Μαρ 17, 2023 9:05 pm

Γράψτε μια πολυωνυμική συνάρτηση με δύο ακριβώς ρίζες , της οποίας η παράγωγος να έχει τρεις ρίζες .

Ένα παράδειγμα:

Η παραβολή που ταιριάζει.png Η κόκκινη παραβολή $f$ , εφάπτεται σε τρία σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης : $ g(x) = \sqrt{|x^2-4|}$ . Βρείτε την εξίσωση της παραβολής , καθώς και την τεταγμένη του ενός από τα σημεία επαφής ( δηλαδή του $S$ ) . Είναι $g(0)=2$ οπότε η εξίσωση της παραβολής...

Επίμονη καθετότητα.pngι) Δείξτε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : $f(x)=\dfrac{2}{x}$ και : $g(x)=\sqrt{x^2+3}$ , στο κοινό τους σημείο $A$ , είναι κάθετες μεταξύ τους . ιι) ( Προαιρετικό ) : Αν οι $a , b$ , είναι οποιοιδήποτε θετικοί , μπορείτε να πείτε το ίδιο για τις ...

Βρείτε τον θετικό $a$ , για τον οποίο η συνάρτηση : $f(x)=a\cos^2x-8 \cos x-7$ , έχει σύνολο τιμών , ένα διάστημα της μορφής : $\left[- k , k \right] , k>0$ . Θέτουμε $g(u)=au^2-8u-7 \ \ \,,\ \ D_g: [-1,1]$ Οπότε έχουμε, $g’(u)=2au-8$ . Για $g’(u)=0 \Leftrightarrow u=\dfrac{4}{a}$ Έτσι, η $g$ παρου...