Αυτές οι δουλειές σε μετρικούς χώρους γίνονται εύκολα με τη συνάρτηση του Urysohn .

Μήπως θέλει λίγο περισσότερη προσοχή αυτό το πέμπτο? Λείπει πρώτα-πρώτα ένα διπλό μπροστά από το ολοκλήρωμα, αλλιώς δεν πάνε στη $x^2$. Τότε, για το άνω φράγμα πρέπει μάλλον να χρησιμοποιηθεί το ότι από την $f_2$ και μετά είναι αύξουσες οι συναρτήσεις, από την $f_3$ και μετά είναι και κυρτές (από εκ...

Θα βάλουμε για . Αυτά τώρα είναι κλειστά και από την υπόθεση έχουν ένωση το . Μετά θα εφαρμόσουμε το Baire: κάποιο περιέχει διάστημα.

Μπορείς να υποθέσεις ότι η είναι συνεχής. Πάρε την και παραγώγισέ την. Είναι - θα βγεί το - και . Μετά πάρε το .

Όταν το πρωτοείδα το πρόβλημα, δεν μπόρεσα να φτιάξω το δεύτερο ερώτημα. Να το ξαναδούμε. Πάντως θα χρειαστεί ίσως και το πρώτο, ότι δηλαδή οι ρίζες της είναι πεπερασμένες.

Στάθης

Η δεν έχει κοινές ρίζες με την στο . Όμως η δεν διατηρεί πρόσημο: και .

Δίνεται κλειστό σύνολο που δεν έχει εσωτερικά σημεία. Να δειχτεί ότι υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, τέτοια που αν και μόνο αν .

Δίνεται . Αν είναι το σύνολο των για τα οποία οι πλευρικές παράγωγοι και υπάρχουν και είναι διαφορετικές () να δειχτεί ότι το είναι αριθμήσιμο.

Μια πιο δυσκολη άσκηση που μου ήρθε στο μυαλό όταν είδα την εκφώνηση είναι η ακόλουθη. Έστω $f:R\to R$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι για κάθε $x\in R$ υπάρχει $n=n(x)\in N$ ώστε $f^{(n)}(x)=0$. Δείξτε ότι η f είναι πολυώνυμο. Με αφορμή διπλανή συζήτηση από εδώ . Ισχύει και το...

Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών; Φαντάζομαι ότι τότε ο τύπος είναι για z=0 f(0)=0 και ειδάλλως f(z)=e^(-1/z^2) Για $t\in {\mathbb R}$ με $t\to 0^+$ έχεις $f(it)=e^{\frac{1}{t^2}}\to +\infty$. Σημ.: Ναι, είναι ωραίο θέμα αυτό με το πολυώνυμο, υπάρχουν και παραλλαγές του. Με πιο ασθενείς υποθ...

Με απλή επαγωγή δείχνεις ότι για $x>0$ ισχύει $f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}$ με το $P_n$ πολυώνυμο (βαθμού $3n$ ή κάτι τέτοιο). Μετά χρησιμοποιείς το $\lim\limits_{t\to +\infty }\frac{tP_n(t)}{e^{t^2}}=0$ και την αλλαγή μεταβλητής $t=\frac{1}{x}$ για να δεις ότι $f^{(n+1)}(0)=0$. Για $x<0$ είναι φα...

Μάλλον δεν είδε την ερώτηση ο Αχιλλέας, να συμπληρώσω τη λεπτομέρεια: αν $(na_k,nb_k)\cap S=\emptyset$ για κάθε $n>n_k$ τότε $S\cap\bigcup_{n=n_k+1}^{\infty }(na_k,nb_k)=\emptyset$. Όμως το $\bigcup_{n=n_k+1}^{\infty }(na_k,nb_k)$ περιέχει ημιευθεία $(t,+\infty )$ (από κάποιο $n$ και πέρα είναι $(n+...

Αν $L$ είναι το σύνολο των $x\in {\mathbb R}$ για τα οποία το $(-\infty ,x)\cap A$ είναι αριθμήσιμο, τότε ή το $L$ είναι κενό ή είναι ημιευθεία $(-\infty ,t]$ (δεν μπορεί να είναι ολόκληρη η ευθεία, θα ήταν αριθμήσιμο το $A$). To $\sup L$ είναι μέσα στο $L$: παίρνει κανείς μια γνήσια αύξουσα $x_n\to...

Δε νομίζω, για παράδειγμα αυτό δεν ισχύει για την . Η Wirtinger έχει επιπλέον υπόθεση ότι η μηδενίζεται και στα δύο άκρα.

Παίρνουμε αριθμήσιμα το πλήθος διαφορετικά στοιχεία $A_n\,$ της σ-άλγεβρας. Εξετάζοντας τα $A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n\,$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...$. Αυτό δεν είναι τόσο απλό, μπορεί το $A_{n+1}$ να περιέχεται στο $A_1\cup\cdots\cup A_n$. Έτσι κάποια από...

Είναι πιο απλή: $\displaystyle{|f(x)|=|f(x)-f(0)|=\left |\int_0^xf^{\prime }(t)\,dt\right |\leq \sqrt{x}\left (\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\right )^{1/2}}$ και μετά $\displaystyle{\int_0^R|f(x)|^2dx\leq\int_0^Rx\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\,dx\leq \int_0^R|f^{\prime }(t)|^2dt\cdot \int_0^Rx\,dx=\fra...

1. Για σταθερό $\delta >0$ βάλε $A_{\delta }=\{ x\in {\mathbb R}:\forall y\in (x-\delta ,x+\delta ), \;f(y)\leq f(x)\}$. Τότε ${\mathbb R}=\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{1/n}$. Τώρα, αν $x\in A_{\delta }$ δείχνεις ότι η $f$ είναι σταθερή στο $(x-\delta ,x+\delta )\cap A_{\delta }$ γιατί αν $|y-x|<\delta$...

Χρησιμοποιούνται, τις είδα σε κάποιες πρόσφατες εργασίες. Ας αφήσουμε λίγο να δούμε αν υπάρχει καμιά ιδέα για την τριγωνική και εδώ είμαστε. Αν μη τι άλλο, είναι εμφανίσιμες.

Άλλη μια μετρική. Να δειχτεί ότι, για κάθε $1\leq p<2$, η συνάρτηση $\displaystyle{d\big ( (x,y,z), (t,u,v)\big )=\left [ \big ( (t-x)^2+(u-y)^2\big )^2+(v-z+2xu-2yt)^2\right ]^{1/4}}$$\displaystyle{\cdot\left\{ \cos\left [\frac{p}{2}\arccos\left (\frac{(t-x)^2+(u-y)^2}{\left [((t-x)^2+(u-y)^2)^2+(v...

Για $k=0,1,\ldots ,n-1$ ολοκλήρωση κατά μέρη δίνει $\displaystyle{\int_k^{k+1}(t-k)f^{\prime }(t)\,dt=(t-k)f(t)\mid_k^{k+1}-\int_k^{k+1}f(t)\,dt=f(k+1)-\int_k^{k+1}f(t)\,dt.}$ Μετά προσθέτουμε τις ισότητες. Γενικότερα, αν η $f$ έχει συνεχή παράγωγο τάξης $(k+1)$ στο $[a,b]$ για κάποιους $a,b\in {\ma...