Πρόβλημα 7: Έστω $A_1,A_2,...,A_k$ ταυτοδύναμοι πραγματικοί $n \times n$ πίνακες τέτοιοι ώστε $A_i A_j = -A_j A_i$ για κάθε $i \neq j$. Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους πίνακες έχει $\text{rank} \leq \frac{n}{k}$ Η ιδέα είναι παρόμοια με της επίσημης, αλλά διαφέρει λίγο στην εκτέλεση. Αρχικ...

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες και ιδιαίτερα στον Γιάννη Νάκο (Summand), για την κατάκτηση ασημένιου μεταλλίου! Ευχαριστώ τον φίλο μου Γιάννη Ιακωβάκη ( abfx ) για τις όμορφες ευχές. Να δώσω και εγώ με τη σειρά μου συγχαρητήρια σε όλους τους φοιτητές που συμμετείχαν και διακρίθηκαν. Όσον ...

Καλησπέρα από το όμορφο αλλά και πολύ ζεστό Blagoevgrad της Βουλγαρίας, όπου πριν από λίγες μέρες έλαβε χώρα ο διεθνής διαγωνισμός IMC υβριδικά. Συνολικά συμμετείχαν $673$(!) φοιτητές, εκ των οποίων οι $168$ διαγωνίστηκαν δια ζώσης. Να σημειωθεί ότι λόγω του αυξημένου αριθμού των συμμετεχόντων χωρίς...

Θα παρακαλέσω τον Summand να μας πει που βρήκε την άσκηση. Summand, χάθηκες. Παρατηρώ ότι έχεις μπει στο φόρουμ μετά το παραπάνω, αλλά σιωπάς. Υπάρχει κάποιος λόγος; Καλησπέρα από το όμορφο Palic της Σερβίας, πριν μερικές ώρες ολοκληρώθηκε ο διαγωνισμός SEEMOUS. Ο λόγος που δεν απάντησα είναι ότι σ...

Να δειχθεί ότι αν $A,B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ τότε $\displaystyle{n-rank(A)=rank(I_n-BA)-rank(A(I_n-BA))}$ Δεν έχω λύση ακόμη. Παρατηρούμε ότι $ker(A)\subseteq Im(I_n-BA)$ άρα $n-rank(A)\leq rank(I_n-BA)$ Επιπλέον $Im(A(I_n-BA)) \subseteq Im(I_n-BA)$ και $Im(A(I_n-BA)) \subseteq Im(A)$ άρα...

Ισχύει ότι αν τότε ;

Επαναφορά!

Επαναφορά

Αν και λίγο αργοπορημένα, γιατί χάθηκε μέσα στις ειδοποιήσεις. Η πρόταση - κλειδί είναι αυτή εδώ: για να ορίζεται η $g^{-1}(x)$ πρέπει η $g(x)$ να είναι 1-1 Αυτό που λες είναι ολόσωστο. Γιατί όμως να ορίζεται απαραίτητα η $g^{-1}(x)$; Σου έδωσα ένα παράδειγμα όπου η $g$ δεν είναι 1-1 και όλα δουλεύο...

Νομίζω έχεις μπερδευτεί. Τι σημαίνει υπάρχει η $f$; Για να ορίζεται η $f(g(x))$ πρέπει να ορίζεται η $f(x)$ για κάποια $x\in g(D_g)$, όπου $g(D_g)$ το σύνολο τιμών της $g(x)$. Αυτό που μάλλον θες να ρωτήσεις είναι: αν σου δίνεται ο τύπος της $f(g(x))$ και της $g(x)$, πρέπει απαραίτητα η $g(x)$ να εί...

Hint Πιθανότητα συμπληρώματος Απάντηση Κάθε μέρα έχεις πιθανότητα $0.083$ να δεις έναν καφέ σκύλο. Γενικά σε προβλήματα που θες να υπολογίσεις την πιθανότητα ενός γεγονότος να συμβεί τουλάχιστον κάποιες φορές, συμφέρει να υπολογίσεις την πιθανότητα του συμπληρωματικού και να την αφαιρέσεις από την π...

Πάμε να δούμε και μια ελάχιστα διαφορετική αντιμετώπιση 'Εστω $\displaystyle{k \in \mathbb{N}}$ Θεωρούμε την ακολουθία $\displaystyle{a_n=\sum_{j=1}^{n}\frac{k!(k+1000-j)!}{(k-j)!(k+1000)!}=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\sum_{j=1}^{n}\frac{(k+1000-j)!}{(k-j)!\ 1000!}=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\sum_{j=...

Μια υπόδειξη με επιφύλαξη:

Έχω μια λύση, αλλά πρέπει να υπάρχει και πιο απλή. Αν δεν απαντηθεί μέχρι αύριο θα τη βάλω ολόκληρη.

Επαναφορά!

Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τρί Οκτ 05, 2021 9:34 am

Ολα τα λεφτά είναι να γράψεις

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Εχει βέβαια και λίγη δουλειά μετά.
Προσπάθησε και τα λέμε.

Δεν έχω καταφέρει να το προχωρήσω από εδώ.

Έστω $f$ θετική, αύξουσα και παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχτεί ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \sqrt{\alpha ^2+(\alpha -e^{-f(0)})^2}}$ όπου $\displaystyle{\alpha =\int_{0}^{\infty }e^{-t-f(t)}dt}$ Η άσκηση δεν γνωρίζω από που προέρχεται, τ...

Όντως δεν χρειάζεται, απλά έτσι είχε δοθεί η άσκηση και είπα να το συμπεριλάβω σε περίπτωση που έχουμε λύση στην οποία χρησιμοποιείται. Εννοούμε ότι υπάρχουν $n$ αριθμοί $x_1, x_2, ..., x_n$ για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$ Ποιος την έδωσε έτσι την άσκηση ; (η από πιο βιβλίο-σημειώσεις...

Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$. Δίνεται επίσης ότι η $f$ μηδενίζει $n$ φορές στο $[0,1]$. Να δειχτεί ότι: $\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$ Το $n$ τι σχέση έχει με την άσκηση; Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με...

Δίνεται με και . Δίνεται επίσης ότι υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους .

Να δειχτεί ότι:

Επαναφορά