Η αναζήτηση βρήκε 17 εγγραφές

από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διαιρέτης από διαιρέτη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Ένας άλλος τρόπος είναι να προσδιορίσουμε τα $a,b$ που ικανοποιούν τη γραμμική διοφαντική εξίσωση : $3a+2b=17l \Leftrightarrow 3a+2b-17l=0$,η οποία έχει ακέραιες λύσεις, αφού $(3,2,-17)=1|0$.Θέτουμε $u=3a+2b$,οπότε η εξίσωση γίνεται: $u-17l=0$.Βρίσκουμε μια λύση : $(u_{0},l_{0})=(17,1)$.Επομένως οι...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Δεκ 04, 2019 12:43 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 268

Re: Τέλειο τετράγωνο

Για ποιους φυσικούς αριθμούς $n$ ο $\displaystyle{2^n + 2^{11}+16^2}$ είναι τέλειο τετράγωνο; Ας την αφήσουμε $48$ ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου. Λίγο διαφορετικά. Έχουμε: $2^{n}+2^{11}+16^{2}=m^{2} \Leftrightarrow 2^{n}+2^{8}9=m^{2} \Leftrightarrow m^{2}-(2^{4}3)^{2}=2^{n} \Leftrightarrow (m-2^{...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Σάβ Νοέμ 30, 2019 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 512

Re: ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Για παράδειγμα , πώς θα μπορούσε να λυθεί η εξίσωση : z^{2}-2w^{2}=7 ;
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξίσωση!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 700

Εξίσωση!

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τρί Αύγ 27, 2019 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 744

Re: Γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων

Ο Mihalis_Lambrou έγραψε: Κάτι ακόμα: Δεν απάντησες στο ερώτημά μου εδώ (βλέπε τελευταία γραμμή στο ποστ #9). Κύριε Λάμπρου,η τελευταία άσκηση προέρχεται από μια άσκηση που είχα δει στο :logo: ,αλλά λίγο διαφορετική.Η άσκηση ήταν: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $k,y$ έτσι ώστε $k^{2}+k+1=y^{3}...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Αύγ 26, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 744

Re: Γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων

Για να μη μείνει αναπάντητο: Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση $P(n)$(είναι δηλαδή η παράσταση $n(n+1)(n+2)$ )αληθεύει αρχικά για $n\in\mathbb{N}$. Για $n_{0}=0$,προκύπτει: $0(0+1)(0+2)=0=6l$ Αν η παράσταση ισχυεί για $n=k\geqslant n_{0}\Rightarrow n=k\geqslant0$, δηλ. αν: $k(k+1)(k+2)=6m$ τότε,για $n=k+1...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Αύγ 25, 2019 5:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 744

Re: Γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων

Συμφωνώ!Πρόκειται για εύκολο θέμα.Ένας τρόπος για να το αποδείξεις είναι να χρησιμοποιήσεις τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Αύγ 23, 2019 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δύσκολη Διοφαντική!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 934

Re: Δύσκολη Διοφαντική!

Για παράδειγμα ,όταν $p=2$ έχουμε: $n^{3}-2=2k\Leftrightarrow n^{3}=2(k+1)\Rightarrow 2|n^{3}\Rightarrow 2|n\Leftrightarrow n=2n_{1}$ Οπότε η εξίσωση γίνεται: $8n_{1}^{3}=2(k+1)\Leftrightarrow 4n_{1}^{3}-k=1$$$ Για μεγαλύτερη ευκολία θέτουμε $n_{1}^{3}=r$.Οπότε έχουμε να βρούμε τις θετικές ακέραιες...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Αύγ 23, 2019 12:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δύσκολη Διοφαντική!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 934

Re: Δύσκολη Διοφαντική!

Γεια σας!Κύριε Λάμπρου είδα και κατάλαβα τα ΕΝΤΕΛΩΣ ΧΑΖΑ ΛΑΘΗ ΜΟΥ !!!Οπότε προσπαθώ να βρω λύσεις στο πρόβλημα.Μία σκέψη μου είναι: 1) Παρατήρησα ότι : $m^{2}+m=m(m+1)$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του κοινού παράγοντα.Αρα ,ως γινόμενο διαδοχικών ακεραίων, είναι άρτιος .Θέτουμε $m(m+1)=2k$.Άρα: $n^{3}-...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τρί Αύγ 20, 2019 12:02 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δύσκολη Διοφαντική!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 934

Re: Δύσκολη Διοφαντική!

Ο JimNt. έγραψε: Δεν νομίζω να λύνεται. π.χ Δεν έχει ούτε μπορεί Πολύ σωστά!Τώρα η απόδειξη: Για $n=0$,τότε ο $p=0-m(m+1)$ είναι άρτιος(οι $m,m+1$ είναι διαδοχικοί άρα το γινόμενο τους είναι άρτιο ).Αρα αφού $p$ πρώτος προκύπτει $p=2$.Άρα η εξίσωση γίνεται: $m^{2}+m+2=0$. Άρα: $D=1^{2}-4*1*2=1-8=-7...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Αύγ 19, 2019 9:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δύσκολη Διοφαντική!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 934

Δύσκολη Διοφαντική!

Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί m,n,p,όπου m,n\epsilon\mathbb{N} και p πρώτος , ώστε:

m^{2}+m+p=n^{3}
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Αύγ 19, 2019 5:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 274

Τέλειο τετράγωνο

Χαίρετε!Εδώ και 3 μέρες προσπαθώ να λύσω μια άσκηση . Η άσκηση είναι:

Να βρείτε όλους τους φυσικούς a,b ώστε ο αριθμός

m=(a^{2}-2^{b})(2^{a}-b^{2})

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Υ.Γ.:Εγώ έχω βρει αρκετές λύσεις αλλά η λύση μου είναι μακροσκελης και δε ξέρω αν μου έχει ξεφύγει κάποια.
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τρί Αύγ 13, 2019 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Μ.Κ.Δ.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 259

Μ.Κ.Δ.

Αν a,m,n\epsilon\mathbb{N}, με a>1 και (m,n)=k, να αποδειχτεί ότι: (a^{m}-1,a^{n}-1)=a^{k}-1.
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 478

Διοφαντική εξίσωση

Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0.
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Αύγ 11, 2019 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κάντε ότι μπορείτε !
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 460

Re: Κάντε ότι μπορείτε !

Χαίρεται!Επειδή ενδιαφέρομαι ιδιαίτερα για αυτό το θέμα ,θα ήθελα να προσθέσω τη λύση μου.Ακόμη,λόγω του ότι δεν ήξερα ότι η εξίσωση πρέπει να λυθεί στο $\mathbb{R}$,εγώ την έλυσα στο $\mathbb{Z}$.Τώρα η προσσέγγισή μου. Περιορισμοί : $x-1\neq0\Leftrightarrow x\neq1$ , $x+3\neq0\Leftrightarrow x\ne...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)
Θέμα: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 944

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μέθοδος επιλυσής των εξισώσεων της μορφής $x^{2}+ay^{2}=z^{2}$ , $a\epsilon \mathbb{N}$. Αν $y=0$, η εξίσωση έχει τις τετριμένες λύσεις:$(x,y,z)=(0,0,0)$ και$(x,y,z)=(\pm t,0,\pm t)$, $t\epsilon\mathbb{Z}$. Αν $y\neq 0$, η εξίσωση γράφεται: $(\frac{x}{y})^{2}+a=(\frac{z}{y...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Αύγ 11, 2019 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 512

ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Χαίρεται!Ειμα νέο μέλος του :logo: (μαθητής Β' Γυμνασίου)και αυτές τις μέρες μελετάω διοφαντικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού,με δύο αγνώστους (μορφής :$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+j=0$ ,όπου $a,x,b,y,c,d,e,j \epsilon\mathbb{Z}$, με $ac\neq 0$ και $b^{2}-4ac=k \epsilon\mathbb{Z}$ όχι τέλειο τετράγωνο) και ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση