Χαίρετε, :logo: Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού $k$ έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός $k$ σε κάθε περίπτωση; $\displaystyle k(k+1) = \underbrace{11\dots 1}_{c}0_2$, Έστω, η συνάρτηση $D...

Έχουμε $\lim\limits_{x\to \rho_1^+}\dfrac{f(x)-f(\rho_1)}{x-\rho_1}=\lim\limits_{x\to \rho_1^+}\dfrac{f(x)}{x-\rho_1}=f'(\rho_1)>0$ επομένως $\dfrac{f(x)}{x-\rho_1}>0$ για $x$ κοντά στο $\rho_1^+$. Όμως, για $x$ κοντά στο $\rho_1^+$ ισχύει $x-\rho_1>0$, άρα είναι και $f(x)>0$ για $x$ κοντά στο $\rh...

Αν μπορούμε να βρούμε δύο διαδοχικές ρίζες $\rho_1<\rho_2$ της $f$, τότε έχουμε $f'(\rho_1)>0$ και $f'(\rho_2)>0$. Επομένως, υπάρχει $x_1\in (\rho_1,\rho_2)$ έτσι ώστε $f(x_1)>0=f(\rho_1)$ και $x_2\in (\rho_1,\rho_2)$ έτσι ώστε $f(x_2)<0=f(\rho_2)$. Μπορείς να εξηγήσεις αυτό το βήμα κάπως παραπάνω;

34) Αποδείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης $105$ που έχει κανονική υποομάδα τάξης $3$ είναι κυκλική. Οπότε ισόμορφη με την $\mathbb{Z}_{105}$. Καμία ιδέα παιδιά; Αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι την Κυριακή το βράδυ θα βάλω τη λύση. Έστω $G$ ομάδα με $|G|=105$. Υπάρχει κανονική ομάδα τάκης $3$ και αυτή η ομάδα ...

27) α) Βρείτε την γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης $\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{x}{2} \frac{du}{dx} = 0$. β) Χρησιμοποιώντας το α) βρείτε μια λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης $\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = \frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}$, $x \in \mathbb{R}$, $t>0$ που να ικανοποιεί την...

Αναζητείται η γωνία φ του σχήματος. Η εξίσωση της καμπύλης δίνεται στο σχήμα. Επειδή δεν είναι θέμα για Α.Ε.Ι. ούτε θέμα Γεωμετρίας (όπως δηλώνει ο φάκελος) αλλά απλό θέμα ρουτίνας Απειροστικού Λυκείου, θα δώσω μόνο εκτενή υπόδειξη για να την χαρούν οι μαθητές μας. Είναι λίγο ευκολότερο, αν μιλάμε ...

35) Δείξτε ότι η ομάδα Galois της επέκτασης είναι κυκλική.

1) (Δύσκολη) Λύστε στο την εξίσωση

26) Έστω $U \subseteq \mathbb{R}^n$ ανοιχτό και συνεκτικό και μια συνάρτηση $u$ που ανήκει στον χώρο Sobolev $W^{1,p}(U)$, όπου $p>1$. Θεωρούμε ότι οι ασθενείς μερικοί παράγωγοι της $u$ ικανοποιούν $\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}} = 0$ σχεδόν παντού στο $U$ για κάθε $i$. Δείξτε ότι $u=0$ σχεδόν πα...

25) Έστω η εξίσωση της θερμότητας $x^2 $$\frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}$ $+ ax \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{\partial{u}}{\partial{t}}$, $u(x,0)=0$, $t > 0$ και $x \in \mathbb{R}$, $a>0$. Δείξτε ότι αν $g(t)= e^{-t^{-a}} \chi_{(0,\infty)}(t)$, τότε η συνάρτηση $u(x,t) = \sum_{n=0}^{\i...

24) Δείξτε ότι αν έχουμε $a \in (0,1)$ τότε η $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^a}$ δεν είναι σειρά Fourier Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης στο $[-\pi,\pi]$. edit: Επειδή έχω σκοπό να βάζω ασκήσεις σε αυτό το θέμα που να καλύπτουν όλο το εύρος της ανάλυσης, παρακαλώ να μετονομαστεί αυτό το θέμ...

22) Έστω $\Delta = \{z \in \mathbb{C} | |z|<1\}$ και $f$ ολόμορφη στο $\Delta$ με $f(0)=0$. Δείξτε ότι η συνάρτηση $\sum_{n=1}^{\infty} f(z^n)$ συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή του $\Delta$. Έστω $K$ συμπαγές υποσύνολο του $\Delta$. Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι υπάρχει σταθερά $M \in (0,1)$ ώστε $|...

stranger έγραψε: ↑

Παρ Απρ 19, 2024 8:23 pm

34)
Αποδείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης που έχει κανονική υποομάδα τάξης είναι κυκλική. Οπότε ισόμορφη με την .

Καμία ιδέα παιδιά;
Αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι την Κυριακή το βράδυ θα βάλω τη λύση.

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx $ Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτησ...

33) Δείξτε ότι για κάθε $R$-πρότυπο της Noether $M$, κάθε επιμορφισμός $f:M \rightarrow M$ είναι ισομορφισμός. Έχουμε την αύξουσα ακολουθία $\mathrm{ker}f \subseteq \mathrm{ker}f^2 \subseteq \ldots$ η οποία είναι τελικά σταθερή, δηλαδή υπάρχει $n\in \mathbb{N}$ έτσι ώστε $\mathrm{ker}f^n= \mathrm{k...

34)
Αποδείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης που έχει κανονική υποομάδα τάξης είναι κυκλική. Οπότε ισόμορφη με την .

Γνωστό θεώρημα, αλλά το θέτω ως άσκηση.
23) Δείξτε ότι κάθε μερόμορφη συνάρτηση ορισμένη στο με δύο διαφορετικές περιόδους δεν μπορεί να είναι ακέραια, εκτός αν είναι σταθερή.
Edit: εννοείται να μην είναι η μία περίοδος ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης.

33)
Δείξτε ότι για κάθε -πρότυπο της Noether , κάθε επιμορφισμός είναι ισομορφισμός.

Αν όντως έτσι είναι η εκφώνηση (χωρίς ποσοδείκτες) τότε είναι σωστό αφού μεταφράζεται στο ότι οι τιμές των συναρτήσεων θα είναι ίσες ή αντίθετες. Ο Αποστόλης στην προηγούμενη ανάρτηση απαντά στην ορθή διατύπωση που θα έπρεπε να είναι $\displaystyle {{f}^{2}}(x)={{g}^{2}}(x)$ για κάθε $\displaystyle...

Λέμε ότι το σύνολο $A$ είναι κλειστό ως προς τη σχέση $\equiv$ όταν για κάθε $x,y$ αν $x \equiv y$ και $x \in A$ συνεπάγεται ότι $y \in A$. Τώρα αν έχουμε μια πράξη $\oplus$ η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε $x,y \in A$ έχουμε $x \oplus y \in A$. Σχετικά με τον ορισμό της δυαδικής πράξης, μου δημ...