Καμία βάση. Απλώς κοροιδεύουν τα μέσα και η κυβέρνηση τον κόσμο.

Για $n\in \mathbb{N}$ και $E \subset \{0,1,...,n-1\}$ ορίζουμε το modulo set: $\displaystyle{ A_{n,E} := \{ k \in \mathbb{N} : k \ (mod \ n) \in E \} .}$ Έστω $\mathcal{A}$ η άλγεβρα που ορίζεται από τη συλλογή όλων αυτών των modulo sets για κάθε $n$ και $E$. Σε αυτή την άλγεβρα, ορίζουμε το μέτρο $...

Έστω $X_1,X_2,...$ ακολουθία i.i.d. τυχαίων μεταβλητών με $\mathbb{E}(X_i)=0$ και $\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2< \infty$ για κάθε $i=1,2,...$ Έστω $S_0=0$ και $S_n=X_1+...+X_n$. Να δειχθεί ότι η τυχαία μεταβλητή $R_n = \frac{ \max \limits_{1\leq i \leq j \leq n} | S_i - S_j|}{\sigma \sqrt{n}}$ συγκλίν...

Έστω $a\in (0,1)$. Θεωρούμε το τυχαίο περίπατο (με ανεξάρτητες προσαυξήσεις) στο $\mathbb{Z}$ που ορίζεται ως: $W_0 = 0, \ \ \mathbb{P}( W_{k+1} - W_k = n ) = \begin{cases} \frac{|n|^{-1-a}}{2\zeta (1+a)} ,\ n \neq 0 \\ 0 , \ n=0 \end{cases}$ Να αποδειχθεί ότι με πιθανότητα $1$, $N := #\{k\in \mathb...

Έστω $q\in (0,1).$ Θεωρούμε τον ακόλουθο τυχαίο περίπατο (με ανεξάρτητες προσαυξήσεις) στο χώρο $\mathbb{Z}/[(2N+1)\mathbb{Z}]:$ $W_0 = 0 , \ \ W_{k+1} = \begin{cases} W_k +1 , \ \text{with probability} \ q \\ W_k - 1 , \ \text{with probability} \ 1- q \end{cases}$ α) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $C>0$...

Έστω $X=\{0,1\}^{\mathbb{N}},$ όπου $\mathbb{N}=\{1,2,...\}$, δηλαδή $x\in X \Leftrightarrow x=(x^1,x^2,...), x^i \in \{0,1\}$ για κάθε $i=1,2,..$. Ένα κυλινδρικό σύνολο είναι ένα σύνολο της μορφής $A(y^1,...,y^n)=\{x|\forall i\leq n, x^i=y^i\},$ για κάποια πεπερασμένη ακολουθία $(y^1,...,y^n) \in \...

Πρέπει να ισχύει ότι , όπου και η συμμετρική διαφορά των δύο υπερσφαιρών, αλλά δε μπορώ να κάνω την απόδειξη ή να το βρω κάπου ..

Ευχαριστώ !

Δύο μπάλες στον εφάπτονται δημιουργώντας μια κοινή τομή. Και οι δύο έχουν ακτίνα , η μία έχει κέντρο το και η άλλη το . Μπορούμε να υπολογίσουμε το λόγο της τομής προς το συνολικό μέτρο της μίας μπάλας συναρτήση του , και της απόστασης ;

Ωραία, ευχαριστώ Μιχάλη, αυτό έψαχνα. Μάλλον την έβαλα σε λάθος φάκελο..

To ελάχιστο μπορεί να βγει και χωρίς την υπόθεση της παραγωγισιμότητας: Από την ανισότητα Jensen

Αλλά εγώ ψάχνω το μέγιστο. Αυτό πρέπει να είναι το , αλλά δεν έχω απόδειξη χωρίς τη παραγωγισιμότητα..

Μήπως αντί για το μέγιστο, εννοείς το ελάχιστο; Όχι, βασικά η $f$ είναι αύξουσα και κυρτή και $f(0)=0$ και ψάχνω το $\max_{[0,a]} \left \{ f(x) + f(a-x) \right \}$ . Με το σχολικό ορισμό της κυρτότητας (συν ότι η $\displaystyle{f}$ πρέπει να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ) θεωρείς την $\displaystyle...

Αν κυρτή , πώς μπορώ να δείξω ότι ;

Να δειχθεί ότι η ακολουθία με δεν είναι φραγμένη

Συμφωνώ ότι το άρθρο είναι γραμμένο κατά κύριο λόγο μόνο για τον εντυπωσιασμό του αμύητου , χωρίς να βγαίνει νόημα σε αρκετά σημεία (δυστυχώς) Η υπόθεση του συνεχούς είναι ένα ερώτημα των Μαθηματικών, ίσως το μεγαλύτερο αυτή την περίοδο για τα Μαθηματικά, και είναι τέτοιο γιατί συγκλίνουσες απόψεις ...

Έστω $x_0 \in R$ . Για $x>x_0$ ορίζουμε τη συνάρτηση $c(x)=$"το $c(x)\in (x_0,x)$ για το οποίο $(x-x_0)f(c(x))=(f'(x)-f'(x_0))$" Για $x>x_0$ έχουμε ότι $f(c(x))=\frac{f'(x)-f'(x_0}{x-x_0}$ και $x_0\leq c(x) \leq x$ Το όριο $\lim_{x\to x_0^+} c(x)$ από κριτήριο παρεμβολής είναι ίσο με $x_0$ . Επειδή ...

Ναι, αν η $f$ είναι συνεχής τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τα δεδομένα $g'(t)\geq 0$ και οτι υπάρχει το $\lim_{t\to +\infty} g(t)$ , οπότε με Θ.Μ.Τ. στα $[n,n+1]$ κατασκευάζεις την ακολουθία $g'(x_n)=g(n+1)-g(n) \to 0$ , που είναι η ίδια ιδέα με αυτά που έγραψες. Το ενδιαφέρον για αυτό το ερώτη...

Ζητώ μια βοήθεια από το :santalogo: . Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:R\to [0,+\infty)$ ώστε το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο $\lim_{t\to +\infty} f(t)$ να μην υπάρχει ; (Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.) Επίσης υπάρχει τέτοια συνεχής συνάρ...

αα δηλαδή είναι άσκηση multiple-choice; , νόμιζα ότι ήθελε να αποδείξουμε με τη σειρά τα a,b,c,d

κάποιο λάθος πρέπει να έχει η εκφώνηση, για παίρνουμε για την οποία ικανοποιούνται τα δεδομένα αλλά όχι το (d)