Η αναζήτηση βρήκε 20 εγγραφές

από Teh
Σάβ Ιαν 09, 2021 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 794

Re: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle

Ευχαριστώ για τις διορθώσεις στο latex. Όλα καλά. Άλλη λύση: Έχουμε $P(x)=a(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)$, όπου $a>0$ και $\rho_1 < \rho_2< \rho_3$ οι ρίζες. Γράφουμε $P(x)=a(x-\rho_1)Q(x)$ όπου το $Q(x) =(x-\rho_2)(x-\rho_3)$ έχει ολικό ελάχιστο στο $ \rho = \dfrac{\rho_2+\rho_3}{2}$ και άρα $Q'(...
από Teh
Σάβ Ιαν 09, 2021 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 794

Re: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle

Ας την συνεχίσουμε. Δείξε ότι η ρίζα $\xi $ της $p'(x)=0$ με $\xi \in (\rho_2, \rho_3)$, είναι πιο κοντά στο $\rho_3$, απ' ότι στο $\rho_2$. Απευθύνομαι μόνο σε μαθητές, για $24$ ώρες. Καλημέρα. Μία πιο απλή λύση κατ' εμέ: Το $P(x)$ ως πολυώνυμο, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως: $P(x)=a(x-\rho_1)(x-\...
από Teh
Παρ Ιαν 08, 2021 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 794

Re: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μοιραστώ μία άσκηση, που με δυσκολεύει, μαζί σας. Έστω η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a\neq 0$, η οποία έχει τις ρίζες $\rho_1, \rho_2, \rho_3$, με $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$ και $\xi \in (\rho_1, \rho_2)$, τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$. Να αποδείξετε ότι το $\xi$ αυτό, είνα...
από Teh
Παρ Ιαν 08, 2021 5:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 794

Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μοιραστώ μία άσκηση, που με δυσκολεύει, μαζί σας. Έστω η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a\neq 0$, η οποία έχει τις ρίζες $\rho_1, \rho_2, \rho_3$, με $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$ και $\xi \in (\rho_1, \rho_2)$, τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$. Να αποδείξετε ότι το $\xi$ αυτό, είναι...
από Teh
Παρ Νοέμ 06, 2020 3:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Θέμα: Θέματα Θαλή Γ' Λυκείου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 515

Re: Θέματα Θαλή Γ' Λυκείου

Εγώ βρήκα μόνο p=3 στο πρώτο και στο δεύτερο βρήκα τις τριάδες: (x,y,z)=(1,4,9), (2,5,5), (3,2,2)
από Teh
Κυρ Μαρ 15, 2020 6:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1605

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$ και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση....
από Teh
Κυρ Μαρ 15, 2020 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1605

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$ και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. ... Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως α...
από Teh
Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1605

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$ και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση....
από Teh
Τρί Φεβ 11, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1999

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...
από Teh
Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 8732

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Στο 4ο της Β' Λυκείου πόσο λέτε να κόψουν αν δεν έχεις απορρίψει την \lambda=-2; Παραπάνω απο 1 μονάδα;
από Teh
Τρί Σεπ 10, 2019 5:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 2086

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Ναι, αλλά για να εφαρμόσουμε το θεώρημα ρητών ριζών, δεν πρέπει εκ των προτέρων να έχει αποσαφηνισθεί ποιός είναι ο $(a^3+1,b+1)$ και ο $(b^3+1,a+1)$, αφού οι ρίζες που τεστάρουμε με το θεώρημα πρέπει να είναι σε ανάγωγη μορφή; Μπερδεύτηκες. Δεν εφαρμόζουμε το θεώρημα των ρητών ριζών σε συντελεστές...
από Teh
Δευ Σεπ 09, 2019 10:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 2086

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$. Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί. Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απ...
από Teh
Δευ Σεπ 09, 2019 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 2086

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$. Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί. Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απ...
από Teh
Δευ Ιαν 14, 2019 1:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 2017

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα. Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec...
από Teh
Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ
Απαντήσεις: 46
Προβολές: 8813

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Πρόβλημα 2 Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου $\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\d...
από Teh
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ
Απαντήσεις: 46
Προβολές: 8813

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Πρόβλημα 2 Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου $\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\d...
από Teh
Σάβ Ιαν 20, 2018 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 96
Προβολές: 20351

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Για την γεωμετρία Γ Γυμνασίου εγώ απέδειξα ότι τα σημεία Ε, Ο (κέντρο του κύκλου) και Γ είναι συνευθειακά με κυνήγι γωνιών, άρα η ΕΓ θα περνάει υποχρεωτικά απο το Ο. Σωστό δεν είναι;
από Teh
Δευ Νοέμ 13, 2017 12:51 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 24311

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

αφού δεν έγραφε η εκφώνηση να χρησιμοποιήσεις ΜΟΝΟ τα ψηφία 6 και 4 Φοβάμαι πως οι διορθωτές θα πάρουν λάθος την ερμηνεία σου, και κατά την γνώμη μου θα έχουν δίκιο. Η εκφώνηση ως προς αυτό το σημείο δεν επιδέχεται παρερμηνείας. Αντιγράφω από τα θέματα: Γράφουμε θετικό ακέραιο Α χρησιμοποιώντας όσε...
από Teh
Κυρ Νοέμ 12, 2017 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 24311

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Εγώ στο πρόβλημα 3 Γ' Γυμνασίου χρησιμοποίησα όλα τα ψηφία και βρήκα 2 περιπτώσεις που να διαιρούνται με όλους τους αριθμούς, αφού δεν έγραφε η εκφώνηση να χρησιμοποιήσεις ΜΟΝΟ τα ψηφία 6 και 4 και έτσι είναι αόριστη περιγραφή. Βρήκα το ΕΚΠ των αριθμών και με δοκιμές βρήκα την πρώτη περίπτωση, που α...
από Teh
Σάβ Νοέμ 11, 2017 11:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 24311

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

manolis14 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 11, 2017 10:53 pm
Μπορείτε σας παρακαλώ να στείλετε το θέμα 2 της γ γυμνασίου??? Please
Εγώ το βρήκα 440 τ.μ.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση