Θα ήθελα να τονίσω ότι και το πρόβλημα 3 της Α' Λυκείου επιλύεται με χρήση τετραγωνικών υπολοίπων $mod\ 9$, καθώς θα είναι $2023\cdot 10^n+1\equiv 8\ mod\ 9$, όμως τα μόνα τετραγωνικά υπόλοιπα $mod\ 9$ είναι τα $0,1,4,7$ και άρα είναι αδύνατη η σχέση. Παρόμοια, με χρήση $mod\ 7$ προκύπτουν και τα αν...

Θα ήθελα να ρωτήσω, επίσης, αν είναι σωστός ο εξής συλλογισμός: Αρχικά, επιλέγουμε 2 από τα 4 ξενοδοχεία στα οποία θα πάνε τα ζευγάρια, με ${4\choose 2}$ τρόπους, δηλαδή επιλέγουμε 2 απο τα στοιχεία του $\{1,2,3,4\}$ από το πόστ πάνω, τα οποία θα εμφανιστούν 2 φορές στην εξάδα, μετά από τα 2 που απο...

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να ζητήσω βοήθεια να καταλάβω το λάθος στον τρόπο σκέψης μου σε μία άσκηση. 6 φίλοι συμφωνούν να συναντηθούν στο ξενοδοχείο Ακρόπολις των Αθηνών. Υπάρχουν 4 ξενοδοχεία με το ίδιο όνομα. Κάθε ένας από τους 6 φίλους διαλέγει στην τύχη να πάει σε ένα από αυτά. Πόσοι οι διαφορετι...

Ευχαριστώ για τις διορθώσεις στο latex. Όλα καλά. Άλλη λύση: Έχουμε $P(x)=a(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)$, όπου $a>0$ και $\rho_1 < \rho_2< \rho_3$ οι ρίζες. Γράφουμε $P(x)=a(x-\rho_1)Q(x)$ όπου το $Q(x) =(x-\rho_2)(x-\rho_3)$ έχει ολικό ελάχιστο στο $ \rho = \dfrac{\rho_2+\rho_3}{2}$ και άρα $Q'(...

Ας την συνεχίσουμε. Δείξε ότι η ρίζα $\xi $ της $p'(x)=0$ με $\xi \in (\rho_2, \rho_3)$, είναι πιο κοντά στο $\rho_3$, απ' ότι στο $\rho_2$. Απευθύνομαι μόνο σε μαθητές, για $24$ ώρες. Καλημέρα. Μία πιο απλή λύση κατ' εμέ: Το $P(x)$ ως πολυώνυμο, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως: $P(x)=a(x-\rho_1)(x-\...

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μοιραστώ μία άσκηση, που με δυσκολεύει, μαζί σας. Έστω η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a\neq 0$, η οποία έχει τις ρίζες $\rho_1, \rho_2, \rho_3$, με $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$ και $\xi \in (\rho_1, \rho_2)$, τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$. Να αποδείξετε ότι το $\xi$ αυτό, είνα...

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μοιραστώ μία άσκηση, που με δυσκολεύει, μαζί σας. Έστω η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a\neq 0$, η οποία έχει τις ρίζες $\rho_1, \rho_2, \rho_3$, με $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$ και $\xi \in (\rho_1, \rho_2)$, τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$. Να αποδείξετε ότι το $\xi$ αυτό, είναι...

Εγώ βρήκα μόνο στο πρώτο και στο δεύτερο βρήκα τις τριάδες:

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$ και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση....

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$ και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. ... Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως α...

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$ και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση....

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...

Στο 4ο της Β' Λυκείου πόσο λέτε να κόψουν αν δεν έχεις απορρίψει την Παραπάνω απο μονάδα;

Ναι, αλλά για να εφαρμόσουμε το θεώρημα ρητών ριζών, δεν πρέπει εκ των προτέρων να έχει αποσαφηνισθεί ποιός είναι ο $(a^3+1,b+1)$ και ο $(b^3+1,a+1)$, αφού οι ρίζες που τεστάρουμε με το θεώρημα πρέπει να είναι σε ανάγωγη μορφή; Μπερδεύτηκες. Δεν εφαρμόζουμε το θεώρημα των ρητών ριζών σε συντελεστές...

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$. Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί. Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απ...

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$. Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί. Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απ...

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα. Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec...

Πρόβλημα 2 Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου $\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\d...

Πρόβλημα 2 Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου $\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\d...

Για την γεωμετρία Γ Γυμνασίου εγώ απέδειξα ότι τα σημεία Ε, Ο (κέντρο του κύκλου) και Γ είναι συνευθειακά με κυνήγι γωνιών, άρα η ΕΓ θα περνάει υποχρεωτικά απο το Ο. Σωστό δεν είναι;