Η αναζήτηση βρήκε 543 εγγραφές

από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Δεκ 09, 2019 10:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Σύνολο τιμών. Μπορούμε;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 99

Re: Σύνολο τιμών. Μπορούμε;

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{ f(f(x)) = f(x) - x \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$ Μπορούμε να αποδείξουμε ότι $f(\mathbb{R}) =\mathbb{R}$ ; Βάζουμε όπου $x$ το $f(x)$ και έχουμε (για κάθε $x \in \mathbb{R}$) $f(f(f(x))...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Δεκ 09, 2019 1:20 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Απροσδιόριστη μορφή
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 240

Re: Απροσδιόριστη μορφή

Απροσδιόριστη μορφή.pngΕυθεία εφάπτεται κύκλου διαμέτρου $NS=d$ , στο άκρο της $S$ . Σημείο $P$ της ευθείας απομακρύνεται συνεχώς από το $S$ . Η $PN$ τέμνει τον κύκλο στο $T$ . Είναι φανερό ότι από ένα σημείο και μετά , το $TN$ συνεχώς μικραίνει , αντίθετα με το $TP$ , το οποίο αυξάνει . Υπολογίστε...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Δεκ 04, 2019 12:37 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 322

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$, η ανισότητα $(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$ [Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ] Για διευκόλυνση ως προς τους υπολογισμούς θα γράψω την προς απόδειξη ανισότητα στην μορφή $\s...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Δεκ 02, 2019 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 355

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Συμφωνώ ! Να ξέρεις όμως ότι θα βρεις πολλούς που δεν θα θεωρήσουν μια τέτοια προσέγγιση σχολική. Πρόβλημά τους, θα μου πεις ! Στην πραγματικότητα είναι η μέθοδος(πρόταση) του βιβλίου, μόνο που τη μονοτονία εδώ την αντικαθιστούμε με το ότι οι τιμές είναι μέσα στο $(A,B)$. Όλα τα άλλα είναι συνέπεια...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Δεκ 01, 2019 11:37 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τεστάκι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 228

Re: Τεστάκι

Εκατό $(100)$ μαθητές γράψανε ένα τεστάκι με οκτώ $(8)$ ερωτήσεις και για κάθε ερώτηση τουλάχιστον εξηνταπέντε $(65)$ από αυτούς απάντησαν σωστά. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο $(2)$ μαθητές οι οποίοι συνολικά απάντησαν και τις $8$ ερωτήσεις σωστά, εννοώντας ότι για κάθε ερώτηση τουλάχιστον ένας απ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Δεκ 01, 2019 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 355

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ ! Στην προσπάθειά μου να φτιάξω ένα ερώτημα σε μια άσκηση, χρειάζονταν να έχω ως θεωρία το παρακάτω.Φαίνεται λογικό, αλλά δεν βρήκα το χρόνο να το αποδείξω.Ισχύει όντως ; Έστω η μη σταθερή συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta =(a,b)$.Αν $f(x)\in (A,B)$ ή $f(x)\in (B,A)$ γι...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Δεκ 01, 2019 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Το παλικάρι και το ποτάμι
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 660

Re: Το παλικάρι και το ποτάμι

Μπορεί π.χ. να είναι και $P(Χ > 180) = 0.01$ αλλά στα 100 μέτρα από τη μια όχθη στην άλλη να έχει σίγουρα μια απόσταση ενός μέτρου με βάθος τουλάχιστον $180$ πόντους. Πολλά μπορεί να συμβούν. Το παραπάνω πάντως δεν είναι αμιγώς μαθηματικό επιχείρημα. Αν σας έλεγε κάποιος να παίξετε κορώνα γράμματα ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Δεκ 01, 2019 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μερικές Ανισότητες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 442

Re: Μερικές Ανισότητες

1. Έστω $a_1,\ldots,a_n$ πραγματικοί αριθμοί ώστε: $|a_1|\geq \ldots \geq |a_n|$. Τότε, για κάθε $t\in \mathbb R$ ισχύει: $\displaystyle \prod_{i=1}^n \cos (a_it)+\frac{a_1^2t^2}{2}\geq \prod_{i=2}^n \frac{1}{1+a_i^2t^2/2}$. 2. Για κάθε $p\in (0,1/2]$ και κάθε $x\geq 0$ ισχύει: $pe^{-\pi x^2/16p^2}...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:47 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 231

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς $a_1, \, b_1, \, c_1$ ορίζουμε αναδρομικά $\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }$ Δείξτε ότι οι ακολουθίες $(a_n), \, (b_n), \, (c_n)$ συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό $\displays...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Νοέμ 29, 2019 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Το παλικάρι και το ποτάμι
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 660

Re: Το παλικάρι και το ποτάμι

Ας το (ή τον) πάρει το ποτάμι.

Από την ανισότητα Markov η πιθανότητα να πέσει σε βάθος \geq180 πόντους (έβγαλα 20 πόντους για το κεφάλι) είναι το πολύ \dfrac{70}{180}\approx 0,39. Ένα παλικάρι λοιπόν μπαίνει αφού έχει τις πιθανότητες με το μέρος του :lol:
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Νοέμ 29, 2019 11:37 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τεστάκι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 228

Τεστάκι

Εκατό $(100)$ μαθητές γράψανε ένα τεστάκι με οκτώ $(8)$ ερωτήσεις και για κάθε ερώτηση τουλάχιστον εξηνταπέντε $(65)$ από αυτούς απάντησαν σωστά. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο $(2)$ μαθητές οι οποίοι συνολικά απάντησαν και τις $8$ ερωτήσεις σωστά, εννοώντας ότι για κάθε ερώτηση τουλάχιστον ένας απ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Νοέμ 29, 2019 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 472

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}}$ με $\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}$. Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Νοέμ 28, 2019 10:22 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μηδενική ακολουθία από μηδενική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 208

Re: Μηδενική ακολουθία από μηδενική

Έστω ακολουθία $(a_n)$ με $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \left (a_{n+1}- \frac {1}{2} a_n \right ) =0}$. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } a_n =0}$. Από κάποιο $n_0$ και πέρα, για τυχόν $\varepsilon >0$ είναι $\dfrac{1}{2^k}a_{n_0}-\sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{1}{2^i}\varepsilon <a_{n...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Ερώτηση
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 722

Re: Ερώτηση

Καλησπέρα σε όλους. Θα γράψω συνοπτικά τη γνώμη μου, καθώς και τι αναφέρω στην τάξη όταν συζητάμε το θέμα. Με βάση τον ορισμό του βιβλίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (που παραθέτει παραπάνω ο Χρήστος ), κάθε πραγματικός, θετικός $T$ που πληροί τον ορισμό είναι Περίοδος. Στα παλιά Σχολικά υπήρχε ο ορισμός τ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Ερώτηση
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 722

Re: Ερώτηση

Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει $f(x+T)=f(x-T)=f(x)$ ; Χρήστο το σχολικό. Σελίδα σελίδα 73,74. Το πως ορίζουμε την περίοδο το ξέρω. Στα κανονικά Μαθηματικά . Στα σχολικά δεν ξέρω και θέλω να μάθω. Για τα υπογραμμισμένα. H σταθερή είναι περιοδική; Η Dirichlet;
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Νοέμ 21, 2019 8:21 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Το παλικάρι και το ποτάμι
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 660

Re: Το παλικάρι και το ποτάμι

Κωλώνουν ορέ τα παλικάρια ; Θανάση έχεις δει ποτέ παλικάρια να φοβούνται κατσαρίδες ή να πέφτουν κάτω όταν πάνε να τους πάρουνε αίμα; :lol: :lol: Πάντως η ερώτηση, με ίσως λίγο διαφορετική διατύπωση, θα μπορούσε άνετα να είναι ερώτηση σε διαγώνισμα προπτυχιακού μαθήματος. Από τις απαντήσεις σας προ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Νοέμ 21, 2019 2:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Το παλικάρι και το ποτάμι
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 660

Re: Το παλικάρι και το ποτάμι

Mια εκτίμηση μπορεί να δωθεί πάντως.
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Νοέμ 20, 2019 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Το παλικάρι και το ποτάμι
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 660

Το παλικάρι και το ποτάμι

Είσαι 2 μέτρα παλικάρι αλλά κολύμπι ακόμα δεν έμαθες. Θες όμως να διασχίσεις ένα ποτάμι και το μόνο που γνωρίζεις είναι ότι κατά μέσο όρο έχει βάθος 70 πόντους. Το διασχίζεις ή όχι;
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Νοέμ 20, 2019 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διάστημα μήκους 1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 97

Διάστημα μήκους 1

Να βρεθούν όλες οι θετικές πραγματικές τιμές της παραμέτρου a ώστε οι κοινές λύσεις των

ανισώσεων x^2-2x\leq a^2-1 και x^2-4x\leq -a-2 να σχηματίζουν διάστημα μήκους 1

στην ευθεία των πραγματικών.

21-11
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Νοέμ 19, 2019 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο τέλειος χάρακας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 91

Ο τέλειος χάρακας

Ένας χάρακας που μετρά $6$ εκατοστά έχει πάνω του σημάδια για όλους τους ακέραιους αριθμούς από το $0$ μέχρι το $6$. Με αυτόν μπορούμε να μετρήσουμε οποιοδήποτε μήκος μέχρι $6$ (μια μόνο μέτρηση). Μήπως όμως τα σημάδια αυτά είναι πολλά; Μπορούμε να ελαττώσουμε το πλήθος των σημαδιών και να είμαστε σ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση