Η αναζήτηση βρήκε 418 εγγραφές

από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιούλ 12, 2019 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Έκφραση για πλήθος ριζών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 113

Έκφραση για πλήθος ριζών

Δίνεται συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο και επιπλέον 1. $f(a)f(b)\neq 0$ 2. Αν $f(x)=0$ τότε ${f}'(x)\neq 0.$ Με $N$ συμβολίζουμε το πλήθος των ριζών της $f$ και με $\displaystyle N_\varepsilon =\frac{1}{2\varepsilon }\int_{a}^{b}1(|f(x)|<\varepsilon )|{f}'(x)|\,\mathrm{d}x.$ (A)...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιούλ 11, 2019 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 445

Re: Όριο ολοκληρώματος

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$ Η απάντηση είναι $\dfrac{1}{2}.$ Αν και η απόδειξη που έχω κάνει είναι σχεδόν στοιχειώδης (μόνο ομοιόμορφη σύγκλιση χρησιμοποιώ) θεωρώ ότι δεν είναι για αυτό τον φάκε...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Ιούλ 09, 2019 12:16 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο μήκος μονοπατιού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 266

Re: Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Παίρνουμε δύο σημεία $A,B$ στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση $AB=1.$ Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το $A$ στο $B$ που αποτελείται από $n$ το πολύ ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το $A$ στο $B$) κάθε χρονική στιγμή η απόστασή μας από τ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Ιούλ 08, 2019 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παράσταση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 175

Re: Παράσταση

Γράφουμε a=\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2020} και b= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2019}}. H παράσταση γράφεται a(1+b)-(1+a)b=a-b. H συνέχεια απλή.
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Ιούλ 08, 2019 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο μήκος μονοπατιού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 266

Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Παίρνουμε δύο σημεία $A,B$ στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση $AB=1.$ Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το $A$ στο $B$ που αποτελείται από $n$ το πολύ ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το $A$ στο $B$) κάθε χρονική στιγμή η απόστασή μας από το...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 278

Με παράμετρο

Δίνονται οι συναρτήσεις $ f, g: [0,1] \rightarrow R$ με $f_a(x)=1-x^a$ και $g_a(x)=(1-x)^a,$ όπου $a\in (1,+\infty).$ (1) Να δείξετε ότι οι εξισώσεις $f_a(x)=x,g_a(x)=x$ έχουν μοναδική λύση στο $(0,1)$ για κάθε $a.$ (2) Αν με $x_1(a),x_2(a)$ συμβολίσουμε τις ρίζες των $f_a(x)=x$ και $g_a(x)=x$ αντίσ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιούλ 04, 2019 11:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Δροσερό καφεδάκι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 373

Re: Δροσερό καφεδάκι

Τι πιθανότητα έχει αυτό; Έστω $X_n$ η τ.μ. που καταμετρεί το πλήθος από διαφορετικά παγάκια που έχουμε μαζέψει μέχρι την χρονική στιγμή $n$. Ορίζουμε $T=min(n:X_n=10).$ H $ T$ είναι χρόνος διακοπής (stopping time). Για την κατανομή της $T$ μπορούμε να δουλέψουμε με τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Ιούλ 01, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Συνδυαστική ταυτότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 273

Συνδυαστική ταυτότητα

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος μου προέκυψε η παρακάτω ως δύο ''διαφορετικές'' απαντήσεις στο πρόβλημα οι οποίες

αναγκαστικά είναι ίδιες. Να δείξετε ότι

\displaystyle \binom{n}{k}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\frac{\binom{n-k}{i}}{k+i+1}=\frac{1}{n+1},
για κάθε k=0,1,...,n.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Ιουν 30, 2019 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Δροσερό καφεδάκι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 373

Re: Δροσερό καφεδάκι

Κάθε μέρα δροσίζω τον καφέ μου με 3 παγάκια, τα οποία παίρνω τυχαία από την 10θέσια παγοθήκη μου, και κατόπιν ξαναγεμίζω με νερό τις άδειες θέσεις, για να έχω μια γεμάτη παγοθήκη και την επόμενη μέρα. Κάθε πόσες μέρες (κατά μέσο όρο) ανανεώνονται όλες οι θήκες με καινούριο νερό; Αν με $E_n$ συμβολί...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 27, 2019 9:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μερικά ξεχασμένα αρχαία Θεωρήματα ... Ομιλία, Αθήνα 26 Ιουνίου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 721

Re: Μερικά ξεχασμένα αρχαία Θεωρήματα ... Ομιλία, Αθήνα 26 Ιουνίου

Η ομιλία ήταν εξαιρετική. Είχα την τύχη να την παρακολουθήσω. Ευχαριστούμε κ.Λάμπρου.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση στο μέσο όρο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 444

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Το κομμένο σχοινί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 187

Re: Το κομμένο σχοινί

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Μετοχή
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 137

Re: Μετοχή

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Ουρά αλά Greek
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 202

Re: Ουρά αλά Greek

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Ιουν 16, 2019 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση στο μέσο όρο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 444

Σύγκλιση στο μέσο όρο.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} a, &0\leq x<c \\ b& c\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.,a\neq b.$ Συμβολίζουμε επίσης με $B_nf(x)$ το πολυώνυμο $\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i(1-x)^{n-i}f\left (\frac{i}{n} \right ).$ Να δειχθεί ότι $B_nf(c)\rightarrow \dfrac{a+b}{2}$ όταν ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιουν 14, 2019 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Το κομμένο σχοινί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 187

Το κομμένο σχοινί

Διαθέτουμε ένα σχοινί μήκους $1m$. Με ένα ψαλίδι κόβουμε το σχοινί σε ένα τυχαίο σημείο (ομοιόμορφα) και πετάμε το δεξί κομμάτι. Κόβουμε πάλι το κομμάτι που κρατήσαμε σε ένα τυχαίο σημείο και πετάμε ξανά το δεξί κομμάτι. Η διαδικασία συνεχίζεται επ’άπειρον. Ποια είναι η πιθανότητα κάποιο από τα κομμ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιουν 14, 2019 10:58 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Μετοχή
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 137

Μετοχή

Μόλις αγοράσατε μία μετοχή η τιμή της οποίας διαπραγματεύεται εδώ και δύο μέρες στο χρηματιστήριο. Την πρώτη μέρα η τιμή της μετοχής ανέβηκε (up) σε σχέση με την τιμή εκκίνησης ενώ τη δεύτερη έπεσε (down) σε σχέση με την τιμή κλεισίματος της πρώτης μέρας. Η πιθανότητα κάποια μέρα να έχουμε up δεν εί...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιουν 14, 2019 10:50 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Ουρά αλά Greek
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 202

Ουρά αλά Greek

Εσείς και πέντε $(5) $ ακόμα άτομα περιμένετε στην ουρά της ΔΕΗ για να πληρώσετε τους λογαριασμούς σας. Ο υπάλληλος ξαφνικά αποφασίζει να πάει για ένα πεντάλεπτο διάλειμμα (τσιγάρο μάλλον). Πριν φύγει σας δίνει από έναν αριθμό προτεραιότητας ανάλογα με τη θέση σας στην ούρα π.χ. ο $1$ος παίρνει τον ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιουν 14, 2019 1:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Ο Σπύρος ο αυτοφωράκιας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 275

Re: Ο Σπύρος ο αυτοφοράκιας

Ο Σπύρος εργάζεται σ’ ένα μαγαζί με φρουτάκια ως αυτοφοράκιας. Δηλαδή, αν μπουκάρει η αστυνομία (30% πιθανότητα), δηλώνει αυτός υπεύθυνος, οπότε μπουζουριάζουν αυτόν αντί για το αφεντικό. Το μεροκάματό του είναι 20€, αλλά, αν συλληφθεί, παίρνει μπόνους 100€ (σύνολο 120€ εκείνη την ημέρα). Ι) Ποιο ε...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Ιουν 05, 2019 10:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Επείγον
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 670

Re: Επείγον

Η παράγωγος τειλικά είναι η $f'(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(3 x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc)$ Τώρα θα κάνεις πίνακα προσήμων περιλαμβάνοντας κάθε παράγοντα ,και για το τριώνυμο να παρατηρήσεις ότι έχει θετικό συντελεστή του τετραγώνου. Αν θέλουμε δείχνουμε την ύπαρξη των άλλων δύο ρίζών της παραγώγου χωρίς Rolle. ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση