Η αναζήτηση βρήκε 618 εγγραφές

από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Απρ 01, 2020 10:57 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ορθογώνιο τρίγωνο και ευκαιρία για λύσεις!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 93

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και ευκαιρία για λύσεις!

Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με υποτείνουσα την $B\Gamma$. Πάνω στην υποτείνουσα παίρνουμε τα σημεία $M$ και $N$, ώστε να ισχύει $\Gamma M=\Gamma A$ και $BN=BA$. Να αποδείξετε ότι η γωνία $M\widehat{A}N$ είναι ίση με $45^{\circ}$. Φέρνουμε τους κύκλους $(B,BA),(C,CA).$ Oι $CA,BA$ είναι ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Απρ 01, 2020 2:15 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 220

Re: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα

Έστω $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα $\displaystyle{\int _0^x f(x-t) \sin (t)\,dt=0}$ για κάθε $x \in \mathbb R$. Δείξτε ότι $f(x)=0$ για κάθε $x \in \mathbb R$. (Προσθήκη αργότερα: Δεν είμαι βέβαιος ότι είναι εντός ύλης όπως αυτή έχει διαμορφωθεί τα τελευταία ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Μαρ 28, 2020 4:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άσκηση μιγαδική ανάλυση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 192

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Επιπλέον άλλο ένα ερώτημα είναι το εξής : ζητάει να αποδείξουμε ότι $ (z_{k}z_{l})=1,\forall k,l \in [0,1,2\cdots, n-1] $ το οποίο δεν ισχύει για κάθε $k,l$ έτσι νομίζω γιατί πήρα δυο διαφορετικές ρίζες έκανα τις πράξεις και βρήκα άλλο αποτέλεσμα Ευχαριστώ πολύ Βρες τη σχέση των δεικτών $k,l$ ώστε ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Μαρ 28, 2020 4:22 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άσκηση μιγαδική ανάλυση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 192

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Καλησπέρα σας. Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση. Η άσκηση είναι η εξής Έστω $ z_k , k=0,1,2....,n-1 $ οι νιοστές ρίζες της μονάδας $ z^{n-1}=1 $ Να αποδείξεται ότι : 1) Τα ορίσματα των $ z_k , k=0,1,2....,n-1 $ αποτελόυν δι...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:27 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ανάλυση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 217

Re: Ανάλυση

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Α...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Μαρ 25, 2020 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 566

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Έστω $f(x_{n-1})=x_{n}$ με $f(x)=\frac{x}{x^2+x+1}$ τότε $f'(x)= \frac{x^2+x+1-x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$ αρα $|f΄(x)|=|\frac{1-x^2}{(x^2+x+1)^2} |\leq 1 $ (Η τελευταία ανισότητα προκύπτει από $|1-x^2| \leq |(x^2+x+1)^2 | $ , .Άρα η f είναι συστολή Lipchitz και είναι γνωστό ότι η f έχει μοναδικό σταθερ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Μαρ 25, 2020 1:47 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Με δύο ακολουθίες
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 236

Με δύο ακολουθίες

Δίνονται $a,b$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών $(x_n),(y_n),$ όπου $x_n\neq 0$ για κάθε $n.$ Αν ισχύει $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{ax_n+by_n}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}} }=0$ να δείξετε ότι το $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{y_n}{x_n}$ υπάρχει και να τ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Μαρ 24, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Κανονικό 1987-γωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 175

Re: Κανονικό 1987-γωνο

Έστω $A_{1}A_{2}A_{3}.....A_{1987}$ κανονικό $1987$-γωνο. Να προσδιορίσετε το σύνοlο των σημείων $Μ$ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: $|\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MA_{2}}+...+\overrightarrow{MA_{1987}}|\le1987$ Έστω $G$ το κέντρο του $1987$-γωνου. Η δοσμένη σχέση γράφεται $|\dfrac{\o...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Μαρ 24, 2020 9:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Βελτίωση ανισότητας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 100

Re: Βελτίωση ανισότητας

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 9:13 pm
Αναγνώριση καμπυλών.png\bigstar Για κάθε x>1 , ισχύει : \ell n x<x-1 . Ώρα να δείξετε ότι και : \ell n x<\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}
Σβήνω την απάντηση γιατί δεν είδα αρχικά ότι έχει αστεράκι (για μαθητές)..
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Μαρ 22, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 566

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Υπάρχουν προβλήματα στη μετάφραση. Π.χ. ένα που πέτυχα είναι το πρόβλημα 6 στην κατηγορία Α. Το μετρήσιμο σύνολο να γίνει αριθμήσιμο σύνολο και το μη μετρήσιμα να γίνει υπεραριθμήσιμο πλήθος.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Μαρ 22, 2020 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα πολυωνύμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 742

Re: Ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Το παραπάνω αποτέλεσμα οφείλεται στους Erdos και Grunwald και υπάρχει στην εργασία τους On polynomials with only real roots (1939) . Μάλιστα υπάρχει και επιπλέον ανισότητα από την άλλη μεριά. Το $\dfrac{4}{3}$ είναι ουσιαστικά τα $\dfrac{2}{3}$ του εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση $2$ (άκ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Μαρ 21, 2020 11:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 264

Re: Ολοκλήρωμα

από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Μαρ 20, 2020 11:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: ΕΝΑ ΘΕΜΑ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 237

ΕΝΑ ΘΕΜΑ

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ με $f(1)=e,{f}'(1)=2e$ και $f(x)\neq 0$, για κάθε $x\geq 1.$ Αν για κάθε $x\geq 1 $ ισχύει ${f}''(x)f(x)>\left ( {f}'(x) \right )^2+2\left ( f(x) \right )^2$ i) Να δείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή. ii) Να δείξετε ότι $f(x)>e^...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Μαρ 13, 2020 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Δύσκολο Όριο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 241

Re: Δύσκολο Όριο

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $ \begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$ Το όριο είναι $\dfrac{e}{e-1}.$ Μπορούμε να εφαρμόσουμε το παρακάτω γενικό αποτελέσμα (Tannery's theorem): Έστω ότι η σειρά $\displaystyle \s...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Μαρ 13, 2020 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1514

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Στη συνέχεια θέτουμε $z = \frac{yk}{y + k - 1}$ που παρατηρούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα ως προς $y$ στο $[0, 1]$ και επί του $[0, 1]$, για να βρούμε ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται (μετά από μερικές απλοποιήσεις) με: $\bigint_0^1 nz^{n-1}\left(\cfrac{k}{k-z}\right) \, dz = \bigint_0^1 \left(z^...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Μαρ 12, 2020 4:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 146

Re: Εξίσωση

Να λύσετε την εξίσωση $x^2+1 = log_2(x+2)- 2x$. https://artofproblemsolving.com/community/c1068820h2027222_x21__log_2x2_2x Τη φέρνουμε στη μορφή $\ln (x+2)=\ln 2(x+1)^2,x>-2.$ Προφανείς ρίζες οι $x=-1,0.$ Θα δείξουμε ότι είναι μόνο αυτές. Θεωρούμε την $f(x)=\ln (x+2)-\ln 2(x+1)^2,x>-2$ η οποία έχει...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Μαρ 12, 2020 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Βρείτε τη συνάρτηση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 140

Re: Βρείτε τη συνάρτηση

Έστω $\alpha \in \Bbb{R}.$ Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : R^+ \to R^+$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\alpha x^2f\left(\frac{1}{x}\right) +f(x) =\frac{x}{x+1}}$ για κάθε $x > 0$. https://artofproblemsolving.com/community/c1068820h2008704_a_x2f1x_fx_xx1 Είναι μάλλον κλασική. Θα παραλεί...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Μαρ 04, 2020 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Πόσο μακριά ;
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 135

Re: Πόσο μακριά ;

Είναι το block stacking problem. Για άπειρα βιβλία έχουμε απόκλιση λόγω αρμονικής σειράς. Το κόλπο είναι να μετακινούμε από πάνω κάθε φορά μέχρι το κέντρο βάρους των ήδη κουνημένων και του βιβλίου που πρόκειται να κουνήσουμε.
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Φεβ 28, 2020 6:45 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: D.E
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 285

Re: D.E

Μα με ${f}'$ μα με ${f}''$ η απόδειξη είναι παρόμοια. Πάμε με ${f}'$. Η $f$ έχει μέγιστο $M $ στο $[a,b]$. Αν η θέση μεγίστου $x_M$ είναι εσωτερική από Fermat παίρνουμε ${f}'(x_M)=0\Rightarrow f(x_M)=0\Rightarrow M=0.$ Αν το μέγιστο πιάνεται σε άκρο (ρίζα) τότε πάλι $M=0.$ Όμοια βρίσκουμε ότι το ελά...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Φεβ 23, 2020 11:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέτρο Πιθανότητας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 210

Re: Μέτρο Πιθανότητας

Καλησπέρα σας... Υπάρχει μέτρο πιθανότητας $\mu$ σε μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του $\mathbb N = \{ 1,2,3,... \}$ που να "μετρά" την πυκνότητα των κλάσεων ισοδυναμίας $mod{N}$ για κάθε $N\in \mathbb N$, δηλαδή να ισχύει $ \mu (\{ n\in\mathbb N :n\equiv j\bmod{N}\})=\frac{1}{N} $ , για κάθε $j,N\in \ma...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση