Συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες!Παραθέτω για λόγους πλουραλισμού μία ακόμη αντιμέτωπιση για το πρόβλημα 3 των μεγάλων. Έστω, $x=\frac{a}{b}$ , $(a,b)=1$ και $y=\frac{c}{d}$ ,$(c,d)=1$ , όπου $a,b,c,d$ θετικοί ακέραιοι.Η αρχική σχέση γίνεται $c^{d}a^{c}=(c+d)^{d}b^{c}$ Αν $c>1$,τότε θεωρούμε ...

Έστω ακέραιοι $m \geqslant n$ ώστε $m^3+n^3+1=4mn$. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $m-n$. Γεια σου Ορέστη!Συγχαρητήρια για την πρόσφατη επιτυχία σου!Λοιπόν ας πάμε τώρα στο πρόβλημα :D. Αν $m=0$ παίρνουμε $n=-1$ άρα $m-n=1$ .Αν $n=-1$ τότε παίρνουμε $m=0$ που είναι αδύνατο λόγω της διάταξης των $m,...

Επαναφορά! (πρόκειται για δύσκολο πρόβλημα!Κρίνοντας τουλάχιστον από την λύση του).

Να δείξετε ότι αν για κάθε o αριθμός με θετικούς ακεραίους είναι τέλειο τετράγωνο τότε .

Βρείτε όλους τους πρώτους ώστε ο αριθμός να είναι ακέραιος.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: δεν έχει λύσεις στους ρητούς.

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές). Η δοσμένη εξίσωση γράφεται $yz-xz=xy$. ...

Αν , ώστε να δείξετε ότι:

Πηγή: (Aops) (Δεν έχει ανέβει κάποια λύση ακόμη).

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές). Η δοσμένη εξίσωση γράφεται $yz-xz=xy$. ...

Aν θετικοί ακέραιοι,ώστε και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).

Η λύση μου για το 1ο.(Αν υπάρχει κάποιο σφάλφμα θα παρακάλουσα να αναφερθεί). Έστω, $a\geq b\geq c\geq d$ και $a+b<2$.Από την αρχική σχέση παίρνουμε ότι: $a^{2}+3b^{2}\geq 4$(1) και $a^{2}\geq 1\Leftrightarrow a\geq 1$ Όμως, $a+b<2\Rightarrow0 \leq a-1<1-b\Rightarrow 1-b>0$ και $a<2-b$ Άρα, από (1) ...

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 κόκκινα και 9 μαύρα τετράγωνα. Μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από το 1 έως και το 18, έναν σε κάθε τετράγωνο με τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών στα κόκκινα τετράγωνα να είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών στα μαύρα τετράγωνα; Παράκλιση, οι γν...

α)Ένα παράδειγμα είναι με το 1432. β)Για $n$ περιττό παρατηρούμε ότι ο $a_\frac{n+1}{2}$ προστίθεται με τον εαυτό του το οποίο μας δίνει άρτιο αριθμό .Άρα δεν γίνεται όλα τα ψηφία να είναι περιττά. Ανδρέα, προσοχή. Δεν είναι σωστό αυτό γιατί μπορεί να έχουμε κρατούμενο. Καλησπέρα, κύριε Μιχάλη έχετ...

Επαναφορά!

Άσκηση 14 . Γράφουμε έναν n-ψήφιο αριθμό $\overline {a_1a_2...a_n}$ , τον αναποδογυρίζουμε $\overline {a_na_{n-1}...a_1}$ και μετά προσθέτουμε τους δύο. Για παράδειγμα ... $1764$ $+4671$ $----$ ... $6435$ α) Για $n$ άρτιο δώστε παράδειγμα όπου όλα τα ψηφία του αθροίσματος είναι περιττοί αριθμοί. β)...

α) Αν $n=4N$ τότε χωρίζουμε τους αριθμούς σε τετράδες και κάθε τετράδα της μορφής $i, i+1, i+2, i+3$ γίνεται $i-(i+1)-(i+2)+(i+3)$ που κάνει $0$. Άρα όλες οι τετράδες μαζί κάνουν $0$. Αν $n=4N+3$ τότε παίρνουμε το $1$ και τον προτελευταίο αριθμό με $+$ και τον τελευταίο με $-$. Αυτό το άθροισμα κάν...

Θα προσθέσω ακόμη μια ασκησή Α3) Αν $a,b,c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $abc=1$, να δείξετε ότι $a^3+b^3+c^3 \ge \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ Μετά από πράξεις αρκεί ν.δ.ο : $\displaystyle{a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{3}{2} +\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab\cdot\le...

Καλησπέρα , σε όλους έχω μια απορία σχετικά με το τι συμβαίνει σε μια τέτοια περίπτωση:Στο 2ο θέμα της Α λυκείου από απροσεξία συμπλήρωσα λάθος το τετράγωνο στο τριώνυμο ως προς $z$ και έλυσα σωστά την εξής:$ \left (x-2\right )^{2}+\left (2y-1 \right )^{2}+9\left ( 3z+2)^{2}=35 $ :wallbash: μηδενίζε...

Προσθέτω άλλη μία (6):

Ας συνεχιστεί η πρόταση θεμάτων(προβλημάτων)