Διαφορετικά: Καθώς μεταβάλλουμε το $D$,οι απεικονίσεις $D\rightarrow E$ και $D\rightarrow Z$ είναι προβολικές.(ίσοι διπλοί λόγοι). Η τομή $BE,CZ$,δηλαδή το $P$, κινείται επομένως σε κωνική που διέρχεται από τα $B,C$ και προβολικά (ίδιοι διπλοί λόγοι-απλώς σε δευτεροβάθμια καμπύλη) ως προς $D$ από τι...

Το διωνυμικό από μέσα γράφεται$\frac{(1+\sqrt{3})^{2m+1}+(1-\sqrt{3})^{2m+1}}{2}$. Αυτό δίνει την αναδρομική με τύπο $a_{n}=2a_{n-1}+2a_{n-2},a_{1}=1,a_{2}=4$ από την οποία παίρνουμε τους περιττούς όρους (με περιττό δείκτη εννοώντας) για το παραπάνω άθροισμα. Με λίγη σκέψη,οι περιττοί όροι ικανοποιο...

Βρε άνθρωποι,χαλαρά .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα)

Λύση Θεωρούμε την ομάδα $G$ που δρα στα στοιχεία του συνόλου $A$ των $4^4$ (μεγάλων) τετραγώνων που προκύπτουν από τις στροφές των μικρών τετραγώνων και περιέχει τα στοιχεία "περιστροφή κατά $0$ μοίρες δεξιόστροφα","..κατά $90$","..κατά $180$" και "κατά $270$". Βρίσκουμε πως: Η πρώτη στροφή φιξάρει ...

Θεωρώντας ως ισοδύναμα τα μεγάλα τετράγωνα που προκύπτουν από περιστροφή,είναι η απάντηση

Κάνω λάθος; Έστω ότι υπάρχουν περίοδοι $\alpha ,\beta$ ώστε $\alpha /\beta \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Τότε το σύνολο $S=[n\alpha +m\beta /n,m\in \mathbb{Z}]$ είναι υποσύνολο του συνόλου των περιόδων της $f$.Επιπλέον είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$:Εφόσον είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση/αφαίρεση,είν...

Και με στροφή Διανύσματος(κλέβω από το Διονύση σε παρόμοια άσκηση): Θεωρούμε την αριστερόστροφη στροφή κατα $90$ μοίρες,έστω $\varphi$. Είναι $\varphi(\vec{KZ}+\vec{ZE})=\varphi(\vec{KZ})+\varphi(\vec{ZE})=\vec{KN}+\vec{FZ}=\vec{FD}$ και όμοια $\varphi(\vec{EC}+\vec{CB})=\vec{FD}$,δηλαδή $K,E,B$ συν...

Καλησπέρα. Προσπάθησα να αποφύγω τη σύντομη λύση με Προβολική οπότε έκανα το ακόλουθο: Παίρνω αρχικά αντιστροφή κέντρου $D$ και τυχαίας ακτίνας. Με λίγη σκέψη το πρόβλημα γίνεται (τα γράμματα δεν αντιστοιχίζουν): Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$ και $DE F$ το ορθικό τρίγωνο.Στους κύκλους $(BD...

Είναι ο Πάππος στην και στην ευθεία στο άπειρο

Προειδοποίηση:Η παρακάτω άσκηση φτιάχτηκε "για πλάκα" και αποτελεί σύνθεση αποτελεσμάτων παρά δημιουργία οπότε μη χάσει κανείς το χρόνο του άδικα :lol: .(Μπορεί βέβαια να υπάρχει και απλή λύση-δεν το ξέρω). Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και $l$ η ευθεία $Euler$ του. Η $l$ τέμνει τον $(ABC)$ στα $S,S'$. Ας ε...

Αφού γράψεις το $P(x)$ ως $a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$,όπου τα $k_{i}$ δηλώνουν τις πολλαπλότητες των (μιγαδικών) ριζών,η εξίσωση γίνεται $a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}=Q(x)^2$. Υπόθεσε προς άτοπο πως υπάρχει $k_{j}$ με $k_{j} \equiv 1...

Αφού πρώτα ευχαριστήσω για το ενδιαφέρον και τις ωραίες λύσεις σας,ας ανεβάσω και τη δική μου: Ας είναι $S$ η τομή των $HD,EF$. Από αντίστροφο Reim's στα ζεύγη $(ABC),(D'BF)$,$(ABC),(D'CE)$ έπεται πως τα $D'BFS,D'CES$ είναι εγγράψιμα. Επομένως αρκεί να δειχθεί πως $ABS\angle=ACS\angle$,δηλαδή πως το...

Πολύ καλή! Παρακάτω συμβολίζω τη δοσμένη με $P(x,y)$. Πρόταση 1. Η $f$ είναι $1-1$. Απόδειξη: Έστω προς άτοπο πως υπάρχουν $a,b$ με $a<b,f(a)=f(b)$. Παίρνουμε περιπτώσεις: Περίπτωση 1. $0\leq a$. Το $P(\sqrt{a},y)vsP(\sqrt{b},y)$ δίνει το αποτέλεσμα. Περίπτωση 2. $a<0<b$ Επειδή $f$ αύξουσα θα ισχύει...

Καλησπέρα Πρόδρομε. Δεν είναι δύσκολο να δούμε οτι η εκ του $M$ παράλληλη στην $e1$ είναι ο ριζικός άξονας του $P$ (εκφυλισμένος κύκλος) και του πράσινου κύκλου,ενώ η εκ του $M$ παράλληλη στην $e2$ είναι ο ριζικός άξονας του $P$ και του κόκκινου κύκλου. Συνεπώς,πάντοτε το $M$ ανήκει στον ριζικό άξον...

Χρόνια πολλά και καλές γιορτές σε όλους :santalogo: :santalogo: Την είδα σήμερα και τη βάζω επειδή κυρίως έχω μια αστεία/περίεργη λύση και επομένως δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάτι διαφορετικό. lol.png Δίνεται τρίγωνο $ABC$,$H,O$ το ορθόκεντρο και περίκεντρό του,$D$ η τομή της εξωτερικής διχοτόμου της $A...

Χρόνια πολλά σε όλους-εορτάζοντες και μη

Καλησπέρα και από μένα. Μια λύση που προέκυψε στην προσπάθεια να αποφύγω τα κινούμενα σημεία : prosd.png Ας είναι $X'\equiv AX \cap BC,S\equiv EF \cap BC,A'\equiv AO \cap (ABC),Q\equiv AX \cap (ABC)$ Τότε $X(A,P,E,D)=-1$ από το πλήρες τετράπλευρο $\Rightarrow$ το $X'$ είναι το μέσο του $DS$. Είναι $...

Αρχικά είναι απαραίτητο $D\epsilon (ABC)$ (θεώρημα $Simson$). Παρατηρώ πως η $AD$ είναι συμμετροδιάμεσος του $ABC$,καθώς$DKA \simeq DLC$ και από Ν.Ημιτόνων $\dfrac{sinKAM\angle}{KM} =\dfrac{sinAMK\angle }{AK},\dfrac{sinMCL\angle}{ML} =\dfrac{sinCML\angle }{LC}\Rightarrow \dfrac{sinA\angle }{sinC\ang...

Καλησπέρες Ορέστη,ωραίο πρόβλημα :coolspeak: Λήμμα 1. $a_{n}=(n-1)(n^2-3n+3)$ Απόδειξη 1. Με Επαγωγή,εύκολο. Απόδειξη 2. Θέτω $a_{n}=b_{n}+n^3$ για να διώξω τη σταθερά $6$. Πράγματι η δοθείσα μετατρέπεται σε $b_{n+3}=3b_{n+2}-3b_{n+1}+b_{n}$ η οποία λύνεται κλασικά: Η Χαρακτηριστική της εξίσωση είνα...

από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ERSM,\ MSCT,\ MTYZ$ συνδυασμένα με τα εγγράψιμα $MCBE,\ MCDZ$, λόγω του Θεωρήματος Miquel και τα εγγράψιμα $MSDY,\ MTBR$. Πράγματι, από $\angle MST = \angle MCT\equiv \angle MCZ = \angle MDZ\equiv \angle MDY = \angle MSY$ έχουμε ότι τα σημεία $S,\ T,\ Y$ είναι συνευθει...