Η αναζήτηση βρήκε 254 εγγραφές

από min##
Πέμ Ιαν 23, 2020 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).

Διαφορετικά: Καθώς μεταβάλλουμε το $D$,οι απεικονίσεις $D\rightarrow E$ και $D\rightarrow Z$ είναι προβολικές.(ίσοι διπλοί λόγοι). Η τομή $BE,CZ$,δηλαδή το $P$, κινείται επομένως σε κωνική που διέρχεται από τα $B,C$ και προβολικά (ίδιοι διπλοί λόγοι-απλώς σε δευτεροβάθμια καμπύλη) ως προς $D$ από τι...
από min##
Τρί Ιαν 21, 2020 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 169

Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Το διωνυμικό από μέσα γράφεται$\frac{(1+\sqrt{3})^{2m+1}+(1-\sqrt{3})^{2m+1}}{2}$. Αυτό δίνει την αναδρομική με τύπο $a_{n}=2a_{n-1}+2a_{n-2},a_{1}=1,a_{2}=4$ από την οποία παίρνουμε τους περιττούς όρους (με περιττό δείκτη εννοώντας) για το παραπάνω άθροισμα. Με λίγη σκέψη,οι περιττοί όροι ικανοποιο...
από min##
Σάβ Ιαν 18, 2020 12:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4327

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Βρε άνθρωποι,χαλαρά :lol: .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα) :)
από min##
Παρ Ιαν 17, 2020 1:37 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συμμετρίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 141

Re: Συμμετρίες

Λύση Θεωρούμε την ομάδα $G$ που δρα στα στοιχεία του συνόλου $A$ των $4^4$ (μεγάλων) τετραγώνων που προκύπτουν από τις στροφές των μικρών τετραγώνων και περιέχει τα στοιχεία "περιστροφή κατά $0$ μοίρες δεξιόστροφα","..κατά $90$","..κατά $180$" και "κατά $270$". Βρίσκουμε πως: Η πρώτη στροφή φιξάρει ...
από min##
Παρ Ιαν 17, 2020 12:59 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συμμετρίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 141

Re: Συμμετρίες

Θεωρώντας ως ισοδύναμα τα μεγάλα τετράγωνα που προκύπτουν από περιστροφή,είναι η απάντηση
70;.Αν όχι, δεν έχει νόημα να βάλω λύση..
από min##
Τρί Ιαν 14, 2020 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 204

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Κάνω λάθος; Έστω ότι υπάρχουν περίοδοι $\alpha ,\beta$ ώστε $\alpha /\beta \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Τότε το σύνολο $S=[n\alpha +m\beta /n,m\in \mathbb{Z}]$ είναι υποσύνολο του συνόλου των περιόδων της $f$.Επιπλέον είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$:Εφόσον είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση/αφαίρεση,είν...
από min##
Παρ Ιαν 10, 2020 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 163

Re: Τετράγωνα!

Και με στροφή Διανύσματος(κλέβω από το Διονύση σε παρόμοια άσκηση): Θεωρούμε την αριστερόστροφη στροφή κατα $90$ μοίρες,έστω $\varphi$. Είναι $\varphi(\vec{KZ}+\vec{ZE})=\varphi(\vec{KZ})+\varphi(\vec{ZE})=\vec{KN}+\vec{FZ}=\vec{FD}$ και όμοια $\varphi(\vec{EC}+\vec{CB})=\vec{FD}$,δηλαδή $K,E,B$ συν...
από min##
Παρ Ιαν 10, 2020 3:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 294

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

Καλησπέρα. Προσπάθησα να αποφύγω τη σύντομη λύση με Προβολική οπότε έκανα το ακόλουθο: Παίρνω αρχικά αντιστροφή κέντρου $D$ και τυχαίας ακτίνας. Με λίγη σκέψη το πρόβλημα γίνεται (τα γράμματα δεν αντιστοιχίζουν): Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$ και $DE F$ το ορθικό τρίγωνο.Στους κύκλους $(BD...
από min##
Τρί Ιαν 07, 2020 2:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από παραλληλίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 228

Re: Συνευθειακά από παραλληλίες

Είναι ο Πάππος στην ABC και στην ευθεία στο άπειρο :)
από min##
Δευ Ιαν 06, 2020 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τεχνητή Παραλληλία
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 105

Τεχνητή Παραλληλία

Προειδοποίηση:Η παρακάτω άσκηση φτιάχτηκε "για πλάκα" και αποτελεί σύνθεση αποτελεσμάτων παρά δημιουργία οπότε μη χάσει κανείς το χρόνο του άδικα :lol: .(Μπορεί βέβαια να υπάρχει και απλή λύση-δεν το ξέρω). Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και $l$ η ευθεία $Euler$ του. Η $l$ τέμνει τον $(ABC)$ στα $S,S'$. Ας ε...
από min##
Σάβ Ιαν 04, 2020 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 649

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Αφού γράψεις το $P(x)$ ως $a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$,όπου τα $k_{i}$ δηλώνουν τις πολλαπλότητες των (μιγαδικών) ριζών,η εξίσωση γίνεται $a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}=Q(x)^2$. Υπόθεσε προς άτοπο πως υπάρχει $k_{j}$ με $k_{j} \equiv 1...
από min##
Δευ Δεκ 30, 2019 3:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 369

Re: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα

Αφού πρώτα ευχαριστήσω για το ενδιαφέρον και τις ωραίες λύσεις σας,ας ανεβάσω και τη δική μου: Ας είναι $S$ η τομή των $HD,EF$. Από αντίστροφο Reim's στα ζεύγη $(ABC),(D'BF)$,$(ABC),(D'CE)$ έπεται πως τα $D'BFS,D'CES$ είναι εγγράψιμα. Επομένως αρκεί να δειχθεί πως $ABS\angle=ACS\angle$,δηλαδή πως το...
από min##
Δευ Δεκ 30, 2019 2:46 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή(!)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 199

Re: Συναρτησιακή(!)

Πολύ καλή! Παρακάτω συμβολίζω τη δοσμένη με $P(x,y)$. Πρόταση 1. Η $f$ είναι $1-1$. Απόδειξη: Έστω προς άτοπο πως υπάρχουν $a,b$ με $a<b,f(a)=f(b)$. Παίρνουμε περιπτώσεις: Περίπτωση 1. $0\leq a$. Το $P(\sqrt{a},y)vsP(\sqrt{b},y)$ δίνει το αποτέλεσμα. Περίπτωση 2. $a<0<b$ Επειδή $f$ αύξουσα θα ισχύει...
από min##
Σάβ Δεκ 28, 2019 5:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 120

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

Καλησπέρα Πρόδρομε. Δεν είναι δύσκολο να δούμε οτι η εκ του $M$ παράλληλη στην $e1$ είναι ο ριζικός άξονας του $P$ (εκφυλισμένος κύκλος) και του πράσινου κύκλου,ενώ η εκ του $M$ παράλληλη στην $e2$ είναι ο ριζικός άξονας του $P$ και του κόκκινου κύκλου. Συνεπώς,πάντοτε το $M$ ανήκει στον ριζικό άξον...
από min##
Τετ Δεκ 25, 2019 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 369

Χριστουγεννιάτικη Ισογωνιότητα

Χρόνια πολλά και καλές γιορτές σε όλους :santalogo: :santalogo: Την είδα σήμερα και τη βάζω επειδή κυρίως έχω μια αστεία/περίεργη λύση και επομένως δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάτι διαφορετικό. lol.png Δίνεται τρίγωνο $ABC$,$H,O$ το ορθόκεντρο και περίκεντρό του,$D$ η τομή της εξωτερικής διχοτόμου της $A...
από min##
Τετ Δεκ 25, 2019 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2019- ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ !
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 321

Re: ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2019- ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ !

Χρόνια πολλά σε όλους-εορτάζοντες και μη :santalogo:
από min##
Τετ Δεκ 11, 2019 3:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Απρόσμενη καθετότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 664

Re: Απρόσμενη καθετότητα

Καλησπέρα και από μένα. Μια λύση που προέκυψε στην προσπάθεια να αποφύγω τα κινούμενα σημεία : prosd.png Ας είναι $X'\equiv AX \cap BC,S\equiv EF \cap BC,A'\equiv AO \cap (ABC),Q\equiv AX \cap (ABC)$ Τότε $X(A,P,E,D)=-1$ από το πλήρες τετράπλευρο $\Rightarrow$ το $X'$ είναι το μέσο του $DS$. Είναι $...
από min##
Κυρ Δεκ 01, 2019 3:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέσο τμήματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 203

Re: Μέσο τμήματος

Αρχικά είναι απαραίτητο $D\epsilon (ABC)$ (θεώρημα $Simson$). Παρατηρώ πως η $AD$ είναι συμμετροδιάμεσος του $ABC$,καθώς$DKA \simeq DLC$ και από Ν.Ημιτόνων $\dfrac{sinKAM\angle}{KM} =\dfrac{sinAMK\angle }{AK},\dfrac{sinMCL\angle}{ML} =\dfrac{sinCML\angle }{LC}\Rightarrow \dfrac{sinA\angle }{sinC\ang...
από min##
Σάβ Νοέμ 30, 2019 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 212

Re: Ακολουθία!

Καλησπέρες Ορέστη,ωραίο πρόβλημα :coolspeak: Λήμμα 1. $a_{n}=(n-1)(n^2-3n+3)$ Απόδειξη 1. Με Επαγωγή,εύκολο. Απόδειξη 2. Θέτω $a_{n}=b_{n}+n^3$ για να διώξω τη σταθερά $6$. Πράγματι η δοθείσα μετατρέπεται σε $b_{n+3}=3b_{n+2}-3b_{n+1}+b_{n}$ η οποία λύνεται κλασικά: Η Χαρακτηριστική της εξίσωση είνα...
από min##
Κυρ Νοέμ 24, 2019 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 231

Re: Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.

από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ERSM,\ MSCT,\ MTYZ$ συνδυασμένα με τα εγγράψιμα $MCBE,\ MCDZ$, λόγω του Θεωρήματος Miquel και τα εγγράψιμα $MSDY,\ MTBR$. Πράγματι, από $\angle MST = \angle MCT\equiv \angle MCZ = \angle MDZ\equiv \angle MDY = \angle MSY$ έχουμε ότι τα σημεία $S,\ T,\ Y$ είναι συνευθει...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση