Η αναζήτηση βρήκε 1443 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μακρύ άθροισμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 99

Re: Μακρύ άθροισμα

Υπολογίστε την παράσταση $\displaystyle \left ( \dfrac{1+2}{3} + \dfrac{4+5}{6} +\dfrac{7+8}{9} + \ldots + \dfrac{2017+2018}{2019}\right ) + \left ( 1+\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} + \ldots +\dfrac{1}{673}\right)$. Παρατηρούμε, ότι και τα δύο αθροίσματα, έχουν από $673$ όρους. Έχουμε, $P= \displaystyl...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 223

Re: Ανισότητα

Να λύσετε την ανισότητα $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}+x^2} +\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x^2} +\dfrac{2x^2}{\sqrt{x}+1} \geq 3$. Όμορφη! (Η δοσμένη, όπως είναι η εκφώνηση, είναι ανίσωση, και όχι ανισότητα.) Προφανής περιορισμός, ο $x >0$ ( για να ορίζεται το ριζικό πρέπει $x \geqslant 0$, και για να μη ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Οκτ 05, 2019 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 99
Προβολές: 6707

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 23 Εξετάστε αν μπορεί ένα άθροισμα διαφορετικών ανά δύο στοιχείων του συνόλου $\{2, \, 2^3, \, 2^5, \, 2^7, \, ... \}$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω ότι υπάρχουν $k$ διαφορετικά στοιχεία του συνόλου, ώστε το άθροισμα τους να είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω $2^{a_i}$ με $i \in \{1,2, \ldots, k...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Σεπ 01, 2019 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με έξι μεταβλητές!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 460

Re: Ανισότητα με έξι μεταβλητές!

Δημήτρη, έτσι ακριβώς την κατασκεύασα! :coolspeak:
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 31, 2019 9:30 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου - τετραγώνου και περίμετρος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 162

Re: Εμβαδόν τριγώνου - τετραγώνου και περίμετρος

Έστω, $a,b$ τα μήκη των δύο καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου και $x$ του τετραγώνου. Τότε, σύμφωνα με την εκφώνηση, $ab=2x^2$ και αρκεί να δείξουμε ότι $a+b+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 4x$. Από ΑΜ-ΓΜ όμως, $a+b+\sqrt{a^2+b^2} \geqslant 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}=2\sqrt{2}x+2x=(2\sqrt{2}+2)x>4x$, και ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 31, 2019 12:07 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με έξι μεταβλητές!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 460

Ανισότητα με έξι μεταβλητές!

Μία ανισότητα που έφτιαξα :

Αν a,b,c,x,y,z > 0 ώστε, \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \leqslant \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}, να δείξετε ότι

\dfrac{a^{n+1}-a^n}{x}+\dfrac{b^{n+1}-b^n}{y}+\dfrac{c^{n+1}-c^n}{z} \geqslant 0, για κάθε n \in \mathbb{N}.
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Αύγ 30, 2019 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 784

Re: Ανισοϊσότητα

Μία άλλη λύση. Θέτω, $x=yk$ και αρκεί να δείξω ότι (μετά από κάποιες πράξεις) , $4y^6(k^2+k+1)^3 \geqslant 27y^6k^2(k+1)^2$. Αν $y^6=0$ τότε προφανώς η δοσμένη ισχύει ως ισότητα. Αν $y^6 \neq 0$, απλοποιώ και αρκεί $4(k^2+k+1)^3 \geqslant 27(k^2+k)^2$. Έστω, $k^2+k=M$ και αρκεί μετά τις πράξεις $(M-...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Αύγ 19, 2019 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 125
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 322

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 125

Μία λύση.

Είναι, 1-x^2-y^2-z^2=(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2(xy+yz+zx) \geqslant 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}=2\sqrt{3xyz} οπότε 1 \geqslant x^2+y^2+z^2+2\sqrt{3xyz} και τελειώσαμε.
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 299

Re: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ και $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν $K,L,M,N$ τα βαρύκεντρα των τριγώνων $AEB,BEC,ECD,EDA$ αντίστοιχα τότε : α)Να δείξετε ότι το $KLMN$ είναι παράλληλόγραμμο. β)Να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{\left ( KLMN \right )}{\lef...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 10, 2019 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το τετράγωνο του λόγου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 467

Re: Το τετράγωνο του λόγου

Το τετράγωνο του λόγου.png Ο έγκυκλος κέντρου $I$, τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC,\,\,CA,\,\,AB$ στα σημεία $D,\,\,E,\,\,F$ αντίστοιχα. Η ευθεία $EF$ τέμνει την ευθεία $BC$ στο $S$ και την ευθεία $DI$ στο $K$. Αν $M$ το σημείο τομής των ευθειών $AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ δείξετε ό...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 10, 2019 10:01 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 601

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Προέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος : Αν $a+b+c=3$, $a, b, c$ μη αρνητικοί, τότε $(abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 3$. Από Cauchy Schwarz, $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3$, οπότε $a^2+b^2+c^2 \leqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$. Οπότε, αρκεί να δείξω ότι $[abc(a^...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:13 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 800

Κυκλική ανισότητα!

Μία ιδιοκατασκευή :

Αν a,b,c>0 με a+b+c=3, να αποδείξετε ότι a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leqslant 3.
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Αύγ 07, 2019 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Θέση για ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 264

Re: Θέση για ομοκυκλικά

Θέση για ομοκυκλικά.png Έστω $M, N$ τα μέσα των πλευρών $AC, AB$ τριγώνου $ABC$ και $D$ σημείο της πλευράς $BC.$ Οι $DN, MD$ τέμνουν τις $CA, AB$ στα $E, F.$ Να βρείτε τη θέση του $D$ ώστε τα σημεία $A, E, F, D$ να είναι ομοκυκλικά. 24 ώρες για όσους μαθητές δεν λείπουν σε διακοπές :surfing: Καλησπ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2329

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Διονύση συμφωνώ απόλυτα με αυτά που γράφεις. Είσαι μεγάλο Μαθηματικό ταλέντο και κάποια μέρα θα σε θαυμάσουμε Λαμπρό Επιστήμονα!

Ορέστης.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 21, 2019 10:59 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Δύο και μία κάθετες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 251

Re: Δύο και μία κάθετες

2+1 κάθετες.png Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ και $D, E, F$ σημεία των πλευρών $BC, AC, AB$ αντίστοιχα, ώστε $DE\bot CO$ και $DF\bot BO.$ Αν $K$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $AEF,$ να δείξετε ότι $KD\bot BC.$ Σε μία προσπάθεια να προλάβω τον Πρόδρομο ... :lol: Είναι $\angle FKE=2\angle ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 20, 2019 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 4782

Re: IMO 2019

Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά της Ελλάδας, αλλά και στην Κύπρο, που κατέκτησε 3 εύφημες μνείες!
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 14, 2019 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Επιστροφή στις ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 319

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png Δίνεται κύκλος $(K,R)$ και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$. Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο $O$. Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του $T$ π...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 14, 2019 4:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Επιστροφή στις ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 319

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png Δίνεται κύκλος $(K,R)$ και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$. Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο $O$. Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του $T$ π...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:12 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ισοσκελές και λόγος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 392

Re: Ισοσκελές και λόγος

Ισοσκελές και λόγος.png Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος $CD$ έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος $AK$. Ο κύκλος $(A,D,C)$ τέμνει τη πλευρά $BC$ στο σημείο $E$ και οι ευθείες , $ED$ και $KA$ τέμνονται στο σημείο $T$ Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$. Καλησπέρα κ.Νίκο !...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 12, 2019 3:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση με ακέραιο και κλασματικό μέρος.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 283

Re: Εξίσωση με ακέραιο και κλασματικό μέρος.

Για μαθητές, διορία το Σαββατοκύριακο. Είναι αρκετά απλή ώστε να μην δυσκολέψει κανέναν μαθητή Γυμνασίου και πάνω. Να λυθεί στο $\mathbb R_+$ η εξίσωση $[x]= 5\{x\}$. To $[x]$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του $x$, και $\{x\}$ το κλασματικό. Για παράδειγμα αν $x=2,3$ τότε $[x]=2$ και $\{x\}=0,3$. Δεν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση