Ο διαγωνισμός έχει πια ολοκληρωθεί. Ευχαριστούμε όλους τους μαθητές που διαγωνίστηκαν φέτος. Παραθέτω τα θέματα προς συζήτηση: Θέματα Μικρών (Junior Category): Πρόβλημα 1: ΄Εστω $\omega_1$ και $\omega_2$ δύο κύκλοι που τέμνονται στα $A$ και $B$. Η κοινή τους εφαπτομένη, που βρίσκεται πιο κοντά στο $...

Ο φετινός διαγωνισμός θα διεξαχθεί την Κυριακή 21 Δεκεμβρίου στο τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ, στις 11:00 το πρωί και θα έχει διάρκεια 4 ωρών. Η αίθουσα διεξαγωγής του διαγωνισμού είναι το Αναγνωστήριο (εκεί όπου είχε γίνει και πέρυσι ο διαγωνισμός). Η πρόσβαση στο τμήμα είναι πιο βολική τα Σαββατοκύρ...

Καλησπέρα στην Μαθηματική κοινότητα και στα μέλη της που ασχολούνται με τους Μαθηματικούς διαγωνισμούς. Φέτος είναι η 14η χρονιά που διοργανώνεται το European Mathematical Cup (Ευρωπαϊκό Μαθηματικό Κύπελλο), ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Ο διαγωνισμός οργανώνεται...

Καλημέρα σε όλους. Χθες ολοκληρώθηκε ο φετινός παγκόσμιος διαγωνισμός για φοιτητές (IMC). Το ΕΚΠΑ κατέκτησε 2 πρώτα βραβεία και 1 τρίτο βραβείο, καθώς και 2 εύφημες μνείες . Τα αποτελέσματα του ΕΚΠΑ ήταν τα εξής: Ορέστης Λιγνός: Πρώτο Βραβείο (81/100) Αναστάσιος Παστός: Πρώτο Βραβείο (60/100) Ερμής ...

Η Ελληνική αποστολή κατέκτησε 2 αργυρά και 4 χάλκινα μετάλλια στην 42η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα. Συγχαρητήρια παιδιά! Αναλυτικά: Κυριάκος Τσουρέκας: 30/40 - Αργυρό Μετάλλιο :winner_second_h4h: Ανδρέας Καβαλλάρης: 24/40 - Αργυρό Μετάλλιο :winner_second_h4h: Λάζαρος Καραγεωργίου: 22/40 - Χάλκινο...

Ας δούμε τα σημερινά προβλήματα. Πρόβλημα 1: Ένας ακέραιος αριθμός $n>1$ ονομάζεται καλός αν υπάρχει μετάθεση $a_1,a_2,\ldots,a_n$ των αριθμών $1,2,\ldots,n$ τέτοια, ώστε: (1) ο $a_i$ και ο $a_{i+1}$ να έχουν διαφορετική αρτιότητα για κάθε $1 \leq i \leq n-1$ (2) το άθροισμα $a_1+a_2+\ldots+a_k$ να ...

Καλησπέρα σε όλους. Σήμερα ξεκινάει η 42η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα , που διεξάγεται στο Σεράγεβο της Βοσνίας Ερζεγοβίνης από τις 25 έως και τις 30 Απριλίου. Η Ελληνική ομάδα είναι η εξής: Κυριάκος Τσουρέκας Σωκράτης Ηλιάδης Ανδρέας Καβαλλάρης Λάζαρος Καραγεωργίου :huh: Κωνσταντίνος Κουτσουράκη...

Έστω $A,B$ μιγαδικοί $n\times n $ πίνακες τέτοιοι ώστε ο $I_n+A$ να είναι αντιστρέψιμος και $AB+A=B^2+B$. Έστω επίσης $k$ η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής $\lambda =-1$ στο φάσμα του $B$. Να δειχθεί ότι $\text{rank}(A-B)=k$. Θέτουμε $X=A+I_n$ και $Y=B+I_n$. Τότε, $\displaystyle XY=(A+I_n)(B+I...

Καλημέρα σε όλους. Θα προσπαθήσω να παραμείνω ψύχραιμος, αλλά δεν υπόσχομαι τίποτα. Αγαπητέ Nick Math (δε θα ήθελα να υποθέσω ότι γράφετε τέτοια πύρινα λόγια ανώνυμα, οπότε θα υποθέσω ότι σας λένε Νίκο και το επώνυμο σας είναι Math), βλέπω ότι ο Πάνος και ο Μανώλης σας απάντησαν αναλόγως και με (κατ...

Παίρνοντας σήμερα τα πιστοποιητικά από τον αρχηγό μας, είχαμε το κερασάκι στην τούρτα! :flex: Τελικά, δεν ήταν μόνο οι coordinators που δεν ήξεραν πού παν' τα τέσσερα... Μια εξαιρετική Europian experience, από κάθε άποψη :coolspeak: SEEMOUS 2025 in a nutshell: IMG-d9f4ad68a13baaee14d22dd5f07a55bd-V....

Καλησπέρα από την Κορυτσά της Αλβανίας. Αυτές τις ημέρες διεξάγεται ο διαγωνισμός SEEMOUS 2025. Το ΕΚΠΑ κατέκτησε 2 χρυσά, 1 αργυρό και 3 χάλκινα μετάλλια. Τα αποτελέσματα του ΕΚΠΑ ήταν τα εξής: Ορέστης Λιγνός: Χρυσό Μετάλλιο (35/40) Αναστάσιος Παστός: Χρυσό Μετάλλιο (30/40) Δημήτρης Φωτόπουλος: Αργ...

Να αποδείξετε ότι

,

για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους .

Σημείωση: Δεκτές τόσο αλγεβρικές όσο και συνδυαστικές προσεγγίσεις

Ο διαγωνισμός έχει πια ολοκληρωθεί. Ευχαριστούμε όλους τους μαθητές που διαγωνίστηκαν φέτος. Παραθέτω τα θέματα προς συζήτηση: Θέματα Μικρών (Junior Category): Πρόβλημα 1: Ο Ορέστης έγραψε έναν $2024-$ψήφιο θετικό ακέραιο στον πίνακα. Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού, σβήνει το τελευταίο ψηφίο του αριθμο...

Ο φετινός διαγωνισμός θα διεξαχθεί την Κυριακή 22 Δεκεμβρίου στο τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ , στις 11:00 το πρωί. Η αίθουσα διεξαγωγής του διαγωνισμού είναι το Αναγνωστήριο (εκεί όπου είχε γίνει και πέρυσι ο διαγωνισμός). Η πρόσβαση στο τμήμα είναι πιο βολική τα Σαββατοκύριακα με το λεωφορείο 608, π...

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\big({1-\exp\big({\tfrac{({-1})^n}{n+1}}\big)}\big)$ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση. Από το Θεώρημα Taylor, για τα $x$ κοντά στο $0$ είναι $e^x=1+x+O(x^2)$. Συνεπώς, η μελέτη της σύγκλισης της ζητούμενης σειράς ανάγεται στην μελέ...

Δουλεύοντας πάνω σε μία άσκηση, κατέληξα στο όριο: $\displaystyle \ell := \lim_{N \to +\infty} \left ( \frac{\pi N}{4}-\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left \lfloor \sqrt{N^2-i^2} \right \rfloor}{N} \right )$ Τι μπορούμε να πούμε για αυτό το όριο; Μπορεί να υπολογιστεί ή έστω να βρεθούν καλές εκτ...

Καλησπέρα στην Μαθηματική κοινότητα και στα μέλη της που ασχολούνται με τους Μαθηματικούς διαγωνισμούς. Φέτος είναι η 13η χρονιά που διοργανώνεται το European Mathematical Cup (Ευρωπαϊκό Μαθηματικό Κύπελλο), ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Ο διαγωνισμός οργανώνεται...

[...] Αγόρι μου , τι ακριβώς είναι ντροπή; Ένα όνομα είναι απλά μια λέξη. Τι ακριβώς σε θίγει εσένα προσωπικά αυτό; Καλησπέρα σας. Αυτό θα είναι το τελευταίο μου μήνυμα σε αυτό το νήμα, γιατί ξεφεύγουμε από τη θεματολογία του forum. Πρώτον, για τους περισσότερους είμαι ο Ορέστης . Για εσάς, αν θέλε...

Επειδή μπορεί κάποια μέλη μας να μην έχουν facebook, αντιγράφω κι εδώ τα αποτελέσματα της Ελληνικής Αποστολής στην φετινή JBMO. Μιχαήλ Τσουρέκας : Αργυρό Μετάλλιο :winner_second_h4h: Πέτρος Κανελλόπουλος : Χάλκινο Μετάλλιο :winner_third_h4h: Μαρία-Στεφανία Κολέττα : Χάλκινο Μετάλλιο :winner_third_h4...

Πρόβλημα . Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία $\displaystyle{ a_1=a>0, \quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n^2}, \quad n\in\mathbb N. }$ Δείξατε ὅτι $\,\lim_{n\to\infty} n\,a_n=1$. Θέτουμε $b_n=1/a_n$, οπότε έχουμε ότι $b_1=b=1/a>0$ και $b_{n+1}=\dfrac{b_n^2+n}{b_n}$. Παρατηρούμε ότι $b_2=\dfrac{b_1^2+1}{b_1...