Η αναζήτηση βρήκε 1482 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Δεκ 08, 2019 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα κατά ζεύγη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 153

Re: Ίσα κατά ζεύγη

Μία - άσχημη :) - τριγωνομετρική ... Έστω, $\angle BED=k, \angle EFC=\ell$. Είναι, $\angle BEA=\angle BAE=\angle A \Rightarrow \angle AED=\angle A+k$. Όμως, η $BA$ εφάπτεται του κύκλου $(D,A,F)$, οπότε $\angle AFD=\angle A/2$. Άρα, $\angle FAC=\angle AED-\angle AFE=\angle A/2+k$, και $\angle AFC=\an...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Δεκ 07, 2019 9:26 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τριάδα ίσων γωνιών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 111

Re: Τριάδα ίσων γωνιών

Παραδόξως έμεινε αναπάντητη! :D

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι, αφού \angle BAC=\angle GDE=\angle LDI και \angle LBH=\angle LEH, τα LBEH και LAID είναι εγγράψιμα.

Άρα, x=y και x=z, οπότε x=y=z.
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Δεκ 07, 2019 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χορδή διχοτομεί ακτίνα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 203

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Έστω $Q$ ένα σημείο κύκλου $c_1$ διαμέτρου $AB$ και έστω $H$ το ίχνος της καθέτου από το $Q$ στην $AB.$ Αν ο κύκλος $c_2$ με κέντρο το $Q$ και ακτίνα $QH$ τέμνει τον $c_1$ στα σημεία $M$ και $C$, να δειχθεί ότι η $MC$ διχοτομεί το τμήμα $QH$. Πηγή: Kvant Φιλικά, Αχιλλέας Όμορφη Αχιλλέα! :) Έστω, $X...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Δεκ 07, 2019 9:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 103

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου 120.png Στο παραπάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ αν $I$ είναι το έγκεντρο. Καλησπέρα Γιώργο! :) Έστω $AB=c, AC=b, BC=a$ Είναι γνωστό, ότι $BD=\dfrac{a+c-b}{2}, \, DC=\dfrac{a+b-c}{2}$. Οπότε, $a+c-b=8\sqrt{3}$, και $a+b-c=18$. Άρα, είναι $(a+b-c)(a+c-b)=144\sqrt{3...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Δεκ 03, 2019 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 240

Re: Τέλειο τετράγωνο

Για ποιους φυσικούς αριθμούς $n$ ο $\displaystyle{2^n + 2^{11}+16^2}$ είναι τέλειο τετράγωνο; Ας την αφήσουμε $48$ ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου. Με το χέρι βλέπουμε ότι αν $n \leqslant 8$ δεν έχουμε κάποια λύση. Αν $n \geqslant 9$ τώρα, έστω $n=m+8$ με $m \geqslant 1$, οπότε ο $2^n+2^{11}+16^2=2...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Δεκ 03, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διαιρέτης από διαιρέτη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 288

Re: Διαιρέτης από διαιρέτη

Δείξτε ότι αν ο $17$ διαιρεί τον $3a+2b$, όπου $a,b$ ακέραιοι, τότε θα διαιρεί και τον $8a+11b$. Κατάλληλη για μικρές τάξεις του Γυμνασίου. Νομίζω $48$ ώρες αρκούν. Είναι, $4(8a+11b)-5(3a+2b)=17(a+2b)$, οπότε αφού ο $17$ διαιρεί το δεξί μέλος, έχω ότι αν $17 \mid 3a+2b$, τότε $17 \mid 4(8a+11b)$, ά...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Δεκ 03, 2019 3:17 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ένας πολλαπλασιασμός και μία πρόσθεση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 143

Re: Ένας πολλαπλασιασμός και μία πρόσθεση

Οι δύο διψήφιοι είναι 99 και 99 ... δεν έχω χρόνο για την λύση, έχω διαγώνισμα αύριο Αρχαία στην ''Πέμπτη Κλίση'' !! :wallbash:
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Δεκ 01, 2019 6:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέσο τμήματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 173

Re: Μέσο τμήματος

Ένα διαφορετικό τελείωμα στη λύση του Μίνωα. Έχουμε ότι η $BD$ είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle ABC$, και το $D \in (A,B,C)$, άρα το $ABCD$ είναι αρμονικό. Οπότε, $AB \cdot CD=AD \cdot BC \Rightarrow AB/BC \cdot DC/AD=1 \Rightarrow \dfrac{\sin \angle BCA}{\sin \angle BAC} \cdot \dfrac{\sin \...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μπαρμπαστάθεια 2019
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 308

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές. Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG Το $AB\Gamma\Delta $ είναι τετράγωνο και τα...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 184

Ακολουθία!

Άλλη μία άσκηση που έφτιαξα : Έστω η ακολουθία φυσικών $(a_n)$ ώστε : $\bullet \, \, a_1=0, a_2=1, a_3=6$ $\bullet \, \, a_{n+3}=3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n+6$, $\forall n \in \mathbb{N}=\{0,1, \ldots \}$. Να εξετάσετε, αν υπάρχει όρος της ακολουθίας που να είναι δυνατό να γραφεί στη μορφή $2019^m$ με $m...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 99

Re: Κατασκευή, λόγος και γωνίες

Κατασκευή, λόγος και γωνίες.png Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ και ένα σημείο του $A.$ Έστω $H$ η προβολή του $A$ στη διάμετρο, $M$ το μέσο του $HC$ και $D$ το συμμετρικό του $A$ ως προς $B.$ Αν $DM=AC,$ α) να κατασκευάσετε το σχήμα και να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{BM}}{{MC}}.$ β)...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Προδρομιακή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 205

Re: Προδρομιακή

Η άσκηση που ακολουθεί είναι ουσιαστικά μια δημιουργία του Πρόδρομου Φωτιάδη και προήλθε από μια παρατήρησή του στο θέμα αυτό . Προδρομιακή.png Τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ . Ονομάζω $S$ το αντιδιαμετρικό του $B$ και $M$ το μέσο της $AC$ . Η ευθεία $SM$ τέμνει το ύψ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή, λόγος και γωνίες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 99

Re: Κατασκευή, λόγος και γωνίες

Κατασκευή, λόγος και γωνίες.png Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ και ένα σημείο του $A.$ Έστω $H$ η προβολή του $A$ στη διάμετρο, $M$ το μέσο του $HC$ και $D$ το συμμετρικό του $A$ ως προς $B.$ Αν $DM=AC,$ α) να κατασκευάσετε το σχήμα και να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{BM}}{{MC}}.$ β)...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Νοέμ 24, 2019 2:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 405

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη. 4. Υπάρχουν άραγε ανά δυο διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί $a,b$ και $c$ τέτοιοι, ώστε $2a + M . K . \Delta . \left ( b,c\right ) = 2b + M . K . \Delta . \left ( a,c\right ) =2c +...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Νοέμ 24, 2019 1:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 243

Re: Σύστημα!

:notworthy: :clap2: :10sta10: Όπως ακριβώς την είχα σκεφτεί!
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 23, 2019 5:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΗΜΟΤΙΚΟ
Θέμα: Πρόσθεση αριθμών με γράμματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 221

Re: Πρόσθεση αριθμών με γράμματα

Να βρεθούν τα ψηφία $A,B,C,D$ στην πρόσθεση $\displaystyle{\begin{matrix} A & B &C &D \\ & A&B &C \\ & & A &B \\ & + & &A \\ \end{matrix}}$ ---------------------- $\displaystyle{\begin{matrix} 4\, & 3\, &\,2 \, &\,1 \\ \end{matrix}}$ Αλλιώς ... Αν το $A$ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του $4$, τότε ο μεν $...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 23, 2019 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΗΜΟΤΙΚΟ
Θέμα: Πρόσθεση αριθμών με γράμματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 221

Re: Πρόσθεση αριθμών με γράμματα

Να βρεθούν τα ψηφία $A,B,C,D$ στην πρόσθεση $\displaystyle{\begin{matrix} A & B &C &D \\ & A&B &C \\ & & A &B \\ & + & &A \\ \end{matrix}}$ ---------------------- $\displaystyle{\begin{matrix} 4\, & 3\, &\,2 \, &\,1 \\ \end{matrix}}$ Ξεχάστηκε! :) Έχουμε, $\overline{ABCD}+\overline{ABC}+\overline{A...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 23, 2019 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 243

Σύστημα!

Μία άσκηση που έφτιαξα : Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων : $\begin{Bmatrix} a+b+c=M & \\ 4(ab+bc+ca)=M^2& \end{Bmatrix}$ Να δείξετε, ότι για κάθε $M \in \{2024,2025,2026, \ldots, 2039,2040 \}$, το σύστημα δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις $(a,b,c)$, τέτοιες ώστε ο Μ.Κ.Δ. των $a,b,c$ να είναι ίσος ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 23, 2019 2:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 336

Re: Μέγιστο παράστασης

Μία παρατήρηση : Μπορούμε να δείξουμε την πιο σφιχτή (sharper) ανισότητα : $ab(a+c)+bc(b+a)+ca(c+b) \leqslant 6$ (1) . (Από αυτή προκύπτει και η αρχική άσκηση, από την ανισότητα των δυνάμεων). Για να δείξω την (1), αρκεί να δείξω ότι $a^2b+b^2c+c^2a+3abc \leqslant 6$. Όμως, έχω $a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:34 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 336

Re: Μέγιστο παράστασης

Έστω $a,b,c>0$ πραγματικοί ώστε $a+b+c=3$.Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης : $S=\sqrt[3]{ab(a+c)}+\sqrt[3]{bc(b+a)}+\sqrt[3]{ca\left ( c+b \right )}$ Έχουμε από ΑΜ-ΓΜ, $\displaystyle S\sqrt[3]{4}=\sum \sqrt[3]{2a \cdot 2b \cdot (a+c)} \leqslant \sum \dfrac{2a+2b+a+c}{3}=2\sum a=6$, άρα $S \leqsl...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση