Η αναζήτηση βρήκε 1596 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 23, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πλευρά και διχοτόμος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 142

Re: Πλευρά και διχοτόμος

$\bigstar$ Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $c=4, b=8.$ Να βρείτε την τρίτη πλευρά $a$ του τριγώνου και τη διχοτόμο $AD=d$ αν γνωρίζετε ότι $d=k\sqrt a$ όπου $a, k$ θετικοί ακέραιοι. Καλημέρα κ.Γιώργο. Από την τριγωνική ανισότητα, $c-b<a<c+b$, άρα $a \in (4,12)$. Επίσης, είναι $d=\sqrt{bc \cdot (1-\dfrac{a^2...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Μάιος 20, 2020 10:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Θάνατος Βαγγέλη Σπανδάγου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 869

Re: Θάνατος Βαγγέλη Σπανδάγου

Ήταν Μάιος του 2015, όταν ο πατέρας μου με πήρε από το χέρι και μου είπε: ''Πάμε να μυρίσεις Αρχαία Ελλάδα!''. Φτάσαμε στο μικρό του μαγαζί, κοντά στη Σόλωνος, και εντυπωσιάστηκα από τα χιλιάδες στοιβαγμένα βιβλία (και τι βιβλία!), από το πάθος του, και τη ζωντάνια του για τα Μαθηματικά. Ένας άνθρωπ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 196

Re: Σύστημα

Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-3x=4-y & \\ y^3-3y=8-3z & \\ z^3-3z=10-4x &\end{matrix}\right.}$ Καλησπέρα κ.Γιώργο! Όμορφη! :) Γράφουμε τις τρεις δοσμένες σχέσεις ως: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^2=2-y & \\ (y-2)(y+1)^2=3(2-z) & \\...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μάιος 10, 2020 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μια παραλληλία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Μια παραλληλία

Σε μη ισοσκελές τρίγωνο $ABC$, $O$ είναι το περίκεντρο, $H$ το ορθόκεντρο, $G$ το κέντρο βάρους, $N$ το μέσο του $HO$, και $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Αν $G'$ το σημείο τομής των ευθειών $HO$ και $AN$, να αποδείξετε ότι $GG' \parallel AH$. paral.png Είναι, $HN=HO/2=\dfrac{3HG}{4}$, άρα $NG=HG-HN=...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μάιος 05, 2020 7:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα σε κύκλο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 101

Re: Καθετότητα σε κύκλο

Καθετότητα σε κύκλο.png Το σημείο $M$ κινείται στο ύψος $AD$ τριγώνου $ABC.$ Οι $BM, CM$ τέμνουν τις $AC, AB$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $D, E, F$ επανατέμνει την $BC$ στο $K$ και το ύψος στο $L.$ Να δείξετε ότι $KL\bot EF.$ Ας το αφήσουμε ένα 24ωρο σε μαθητές. Όμορ...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μάιος 05, 2020 12:55 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 393

Re: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x)=x^3+x^5+x^7, x\epsilon \mathbb{R}$ Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη συνάρτηση δεν είναι πολυωνυμική. Είναι $f'(x)=7x^6+5x^4+3x^2=x^2(7x^4+5x^2+3) \geqslant 0$ οπότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (η $f'$ μηδενίζεται μόνο στο $0$) Οπότε η $f$ είναι...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 04, 2020 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 205

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Καλό βράδυ σε όλους. Ίσως αποδειχθεί ότι χωράει σε ..ελαφρύτερο φάκελο. Κατασκευή ισοσκελούς..PNG Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με δοσμένη ακτίνα $R$. Τα $M,N$ είναι τα μέσα των μικρών τόξων $AC$ και $BC$. Η κάθετη από το $M$ προς την $AN$ τέμνει τον κύκλο στο $E$ και η $CE$ τέμνει τ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 04, 2020 3:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 566

Re: Συναρτησιακή

Ας δούμε και την: Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^*$ ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*$ να ισχύει $\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$ Αρχίζουμε όπως ο Αλέξανδρος: Για $y=1$ παίρνουμε $f(f(x))=\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}$. Θέτουμε στην παρα...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 18, 2020 9:44 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 481

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

Καλημέρα . Καθετότητα και ακεραιότητα.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $O$ είναι το μέσο του ύψους $AM$. Το $E \in AC$ ώστε $OE=OA=OM$ ενώ η $BO$ τέμνει την $AC$ στο $N$. Αν $AE=5EC$ τότε Να δειχθεί ότι το $\triangle NEO$ είναι ορθογώνιο και να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\lef...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 18, 2020 9:11 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παιχνίδι με x και y
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 257

Re: Παιχνίδι με x και y

Θεωρούμε την παράσταση $(2x-y)^2-2y^2-3y.$ Ο παίκτης $A$ επιλέγει πρώτος αριθμό $x\in \mathbb{R}$ και ο παίκτης $B$ επιλέγει μετά έναν $y\in \mathbb{R}$ O $A$ θέλει να ελαχιστοποιήσει την παράσταση ενώ ο $B$ να την μεγιστοποιήσει. Δεδομένου ότι ο $B$ παίζει βέλτιστα ποιον αριθμό $x$ πρέπει να επιλέ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 11, 2020 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πιο σφιχτή εκδοχή!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 591

Re: Πιο σφιχτή εκδοχή!

$2 \left ( a^2c+b^2a+c^2b \right) \geq 3abc+c^2a+a^2b+b^2c \quad $ $\quad$ ($ \bigstar$) Μια άλλη απόδειξη για αυτήν: Κάνουμε το Ravi Substitution, δηλαδή παίρνουμε $x,y,z>0$ ώστε $a=x+y, \, b=y+z, \, c=z+x$ (μπορούμε να το κάνουμε διότι τα $a,b,c$ είναι πλευρές τριγώνου). Μετά τις πράξεις, αρκεί ν...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 374

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλησπέρα! :) Φέρνω, $CQ \perp AM$, οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$. Επίσης η συνθήκ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 374

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλησπέρα! :) Φέρνω, $CQ \perp AM$, οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$. Επίσης η συνθήκ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 557

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} $ όταν τα $x$ και $y$ διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Καλησπέρα σε όλους. :) Βάζω μία ακόμα λύση (παρεμφερής με τις υπόλοιπες). Προφανώς από Cauchy-Schwarz το ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μαρ 30, 2020 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 566

Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ισχύει $AB=BC,AD=3DC$. Το σημείο $R$ βρίσκεται στην $BD$ έτσι ώστε $DR=2RB$, το σημείο $Q$ στην $AR$ ώστε $\angle ADQ = \angle BDQ$. Επιπλέον, $\angle ABQ + \angle CBD = \angle QBD$ και η $AB$ τέμνει την $DQ$ στο $P$. Να βρείτε το μέτρο της ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 331

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:40 pm
Αν ax^2+bx+c=px^2+qx+r για κάθε x πραγματικό, δείξτε ότι a=p,\,b=q, \, c=r.
Έστω το πολυώνυμο P(x)=(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r). Από την συνθήκη είναι P(1)=P(2)=P(3)=0, και είναι \deg P \leqslant 2, άρα πρέπει P \equiv 0, δηλαδή a=p, b=q, c-r.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 331

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

$\bigstar$ Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $f(x)$ , ισχύει : $f(x)+3f(4-x)=x^2$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . α) Υπολογίστε το $f(2)$ β) Υπολογίστε το $f(3)$ γ) Υπολογίστε τον θετικό $x$ , για τον οποίο : $f(x)=13$ δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : $f(x)=k$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού $k...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Άθροισμα γωνιών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 157

Re: Άθροισμα γωνιών

Άθροισμα γωνιών.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $ABC$ , με $\hat{A}=90^0$ , φέραμε το ύψος $AD$ , τη διχοτόμο $AE$ και την διάμεσο $AM$ . Υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών : $\widehat{BAD}+\widehat{EAM}$ . Είναι $\angle BAD+\angle EAM=\angle ACD+\angle EAM=\angle MAC+\angle EAM=\angle EAC=90^\circ/2=45^...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Μαρ 27, 2020 7:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 942

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Σε μια παιδική χαρά παίζουν $n$ παιδιά, όπου $n> 2.$ Κάθε παιδί φοράει ένα χρωματιστό καπέλο και κάθε ζευγάρι παιδιών κρατά μια χρωματιστή κορδέλα. Για κάθε παιδί, το χρώμα κάθε κορδέλας που κρατά είναι διαφορετικό και επίσης διαφορετικό από το χρώμα του καπέλου που φορά. Ποιος είναι ο ελάχι...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 10:21 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από ισότητες σε ανισότητα.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 261

Re: Από ισότητες σε ανισότητα.

Έστω $x, y, z\epsilon \mathbb{R}$ οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: $cosx+cosy+cosz=0$ και $cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0$. Να αποδείξετε ότι: $cos(2x)\cdot cos(2y)\cdot cos(2z)\le0$ Καλησπέρα! :) Είναι, $\cos 3x=4\cos ^3 x-3\cos x$ και τα κυκλικά, οπότε η δεύτερη σχέση γράφεται $4(\cos ^3 x+\cos ^3 y...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση