Η αναζήτηση βρήκε 1613 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Δευ Αύγ 10, 2020 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Περίεργη ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 199

Περίεργη ανισότητα!

Έστω x,y,z>0 ώστε:

i) οι \sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z} είναι πλευρές τριγώνου, και
ii) \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=5.

Να αποδείξετε, ότι:

\dfrac{x(y^2-2z^2)}{z}+\dfrac{y(z^2-2x^2)}{x}+\dfrac{z(x^2-2y^2)}{y} \geqslant 0.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Αύγ 09, 2020 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χωρίς πολλά απόλυτα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 145

Re: Χωρίς πολλά απόλυτα

Δίνονται οι πραγματικοί $a,b$ Να δειχθεί ότι υπάρχουν πραγματικοί $A,B$ ώστε $\displaystyle |a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy $ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ $\rightarrow$ Αν $x,y \geqslant 0$ τότε θέλουμε $|a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy \Rightarrow |axy+bxy|=(A+B)xy \Rightarrow |a+b|=A+B$. $\rightarrow$ Αν $x,y \le...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Αύγ 09, 2020 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητες με απόλυτα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 168

Re: Ανισότητες με απόλυτα

Αν $a,b$ πραγματικοί για τους οποίους ισχύουν $|a|<|b|$ και $|a^2-b^2|=|ab|$ τότε να δείξετε ότι 1) $3|a|>|a+b|$ 2)$ 5|ab|>(a+b)^2$ Έξυπνη! Έστω, $|a|=x, \, |b|=y$. Τότε $x<y$ και $y^2-x^2=xy$ (είναι $x<y \Rightarrow x^2<y^2$, οπότε $|x-y|=y-x$). Αν $x=0$ τότε $y=0$, άτοπο. Επίσης αν $y=0$ τότε $x<...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Αύγ 09, 2020 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισοτικές σχέσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 143

Re: Ανισοτικές σχέσεις

Δίνονται $a,b,c\in \mathbb{R}$ ώστε $1-4ab\geq 0,1-4ac\geq 0$ Αν είναι $\sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac}> 4a$ να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους $a,b,c$ είναι μικρότερος του $\frac{1}{\sqrt{8}}$ Καλημέρα! :) Έστω πως $a,b,c \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{8}}$. Τότε, $ab \geqslant \dfrac{1}{8}$, άρα $\dfr...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Αύγ 05, 2020 9:25 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μια συναρτησιακή.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 315

Re: Μια συναρτησιακή.

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες: $\bigstar f(1)=1$ $\bigstar f(x+y)=f(x)+f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ $\bigstar f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}}f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^{\ast }$ Να αποδείξετε ότι $f(x)=x$ για κάθε $x \in \mathbb...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 25, 2020 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 7305

Re: IMO 2019

Έστω $I$ το έκκεντρο του οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ με $AB \neq AC$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος $(\omega)$ του $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC, CA$, και $AB$ στα σημεία $D, E$, και $F$, αντίστοιχα. Η ευθεία που περνά από το σημείο $D$ και είναι κάθετη στο $EF$ τέμνει τον κύκλο $(\omega)$ ξανά στο σημείο ...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 17, 2020 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 731

Re: Μέγιστη τιμή!

Επαναφορά! :)
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 379

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)

Άλλη μια:

Είναι EA=EC, και DE^2-CE^2=DP^2-CP^2=AQ^2-BQ^2=AE^2-EB^2, όπου P,Q τα ίχνη της από το E κάθετης στις DC,AB. Άρα 2AE^2=DE^2+BE^2.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:24 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 379

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)

Και μια ακόμη: Καταρχήν, είναι $\angle ZDE=\pi -\angle ZAE=\pi -\angle CDB$, άρα τα $Z,D,C$ είναι συνευθειακά. Έστω σημείο $P$ στην $DC$ ώστε $PE \perp BE$. Τότε, το $PEBC$ είναι εγγράψιμο, άρα $\angle PBC=\angle PEC=\angle DPE-\angle DCE=\angle ZAE-\angle DAE=\angle ZAD$, όπου η προτελευταία ισότητ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 379

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου...png Έστω $E$ τυχαίο σημείο της διαγωνίου $BD$ τετραγώνου $ABCD.$ Κατασκευάζω το τετράγωνο $AEZH.$ Να δείξετε ότι τα τμήματα $AZ, EB, ED$ είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 24 ώρες για μαθητές. Καλησπέρα Γιώργο. Φέρνω $EP \perp DA, EQ \perp AB$. Είναι $\angle PDE=4...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 04, 2020 3:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 900

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Την έχουμε δει, εδώ, αλλά και εδώ :)
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιουν 29, 2020 4:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 731

Re: Μέγιστη τιμή!

Από το (α), για κάθε $i \neq j$ έχουμε $\displaystyle x_i - x_j = 2020\left( \frac{1}{x_j} - \frac{1}{x_i}\right) = \frac{2020(x_i-x_j)}{x_ix_j}.$ Επομένως είτε $x_i = x_j$, είτε $x_ix_j = 2020$. Αν λοιπόν $x_1 = a$, τότε για κάθε $i$ έχουμε $x_i = a$ ή $x_i = \frac{2020}{a}$. Μπορούμε λοιπόν να υπ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 28, 2020 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 705

Re: Διάμεσος πάντα

Πάντα διάμεσος.png Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα $BC = a$. Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο $A$ ( Τα $A,B,C$ όχι συνευθειακά ) Αν $BD$ διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην$DA$ στο $D$ τμήσει την $AB$ στο $M$, δείξετε ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 24 ώρες...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 27, 2020 8:38 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 731

Μέγιστη τιμή!

Μια άσκηση που έφτιαξα :) : Έστω $n>3$ ένας θετικός ακέραιος, και $x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες: α) $x_1-2020(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\ldots+\dfrac{1}{x_n})=x_2-2020(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_3}+\ldots+\dfrac{1}{x_n})$$=\ldots=x_n-2020(\dfrac{1}{x_...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιουν 26, 2020 5:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1302

Re: Τεστ Εξάσκησης!

Πρόβλημα 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου $x$, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες: $\bullet$ $x>2021$ $\bullet$ υπάρχει θετικός ακέραιος $y$, σχετικά πρώτος με τον $x$ , ώστε ο $x^2-4xy+5y^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Με επιφυλάξεις... Έστω $\rm k^2=x^2-4xy+5y^2=(x-2...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 21, 2020 11:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 863

Re: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

Για τους μη αρνητικούς αριθμούς $x,y,z$ που πληρούν την συνθήκη $x^2+y^2+z^2=2009$, να βρεθεί το μέγιστο ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle S=\frac{x}{yz+2009}+\frac{y}{zx+2009}+\frac{z}{xy+2009}$ $\displaystyle S\ge\frac{1}{\sqrt{2009}}, \displaystyle S\le\sqrt{\frac{2}{2009}}$ Θέτοντας $a=\df...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 06, 2020 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 639

Re: Ανισότητα

Έστω $a , b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοια ώστε $a^2 + b^2 + c^2 =3$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{\text{cyclic}} \frac{b}{\sqrt{a^2+3}} \leq \sqrt[4]{\frac{9 \left ( a + b + c \right )^2}{16abc}}}$ Άνευ λύσης. Σκέψη: Παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3}}$ στ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 23, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πλευρά και διχοτόμος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 504

Re: Πλευρά και διχοτόμος

$\bigstar$ Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $c=4, b=8.$ Να βρείτε την τρίτη πλευρά $a$ του τριγώνου και τη διχοτόμο $AD=d$ αν γνωρίζετε ότι $d=k\sqrt a$ όπου $a, k$ θετικοί ακέραιοι. Καλημέρα κ.Γιώργο. Από την τριγωνική ανισότητα, $c-b<a<c+b$, άρα $a \in (4,12)$. Επίσης, είναι $d=\sqrt{bc \cdot (1-\dfrac{a^2...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Μάιος 20, 2020 10:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Θάνατος Βαγγέλη Σπανδάγου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1247

Re: Θάνατος Βαγγέλη Σπανδάγου

Ήταν Μάιος του 2015, όταν ο πατέρας μου με πήρε από το χέρι και μου είπε: ''Πάμε να μυρίσεις Αρχαία Ελλάδα!''. Φτάσαμε στο μικρό του μαγαζί, κοντά στη Σόλωνος, και εντυπωσιάστηκα από τα χιλιάδες στοιβαγμένα βιβλία (και τι βιβλία!), από το πάθος του, και τη ζωντάνια του για τα Μαθηματικά. Ένας άνθρωπ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 536

Re: Σύστημα

Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-3x=4-y & \\ y^3-3y=8-3z & \\ z^3-3z=10-4x &\end{matrix}\right.}$ Καλησπέρα κ.Γιώργο! Όμορφη! :) Γράφουμε τις τρεις δοσμένες σχέσεις ως: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^2=2-y & \\ (y-2)(y+1)^2=3(2-z) & \\...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση