Να λύσετε την εξίσωση: $x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}} $ Γεια σου Μιχάλη Ονομάζουμε την αρχική σχέση $(1)$ Για $x>1$ πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή των ριζικών και έχουμε: $x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}\Leftrightarrow x\cdot \left ( \sqrt {x - \dfr...

Αν τις αφαιρέσουμε κατά μέλη προκύπτει

dimplak έγραψε: ↑

Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am

20.

Ο Δημήτρης λέει ότι η σωστή εκφώνηση είναι

55. $\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}} = x$ Απάντηση: $\frac{\sqrt{41} - 3}{2}$ Μία προσπάθεια Αν θέσουμε: $\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}=y$ και $\sqrt{8 - 3x}=z$ τότε έχουμε $x=\sqrt{8 - 3y}$ , $y=\sqrt{8 - 3z}$ και $z= \sqrt{8 - 3x}$ Για τα οποία ισχύει $0\leq x\leq y\leq z$ Με την ισότητα να ισχ...

τώρα που το βλέπω , όμοια με την 50 πρέπει να λύνεται και η 38

50. $\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25$ Απάντηση: $x=2$ ή $x= \frac{5 \pm \sqrt{3}}{4}$ $\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5} = (2x-3)^3 - x + 2$ Θέτουμε το $\sqrt[3]{3x-5} = 2y-3$ και έχουμε ότι: $(2y-3)^2=3x-5$ και $(2x-3)^3=2y+x-5$ Τις αφαιρούμε, οπότε πρ...

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm

rek2 έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm

Υπάρχουν αναπάντητες;

Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις .
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.

Άλυτες παραμένουν οι:
.

57. $\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}$ Απάντηση: $x=8$ ή $x = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$ Για $x\geq 5$ έχουμε: $\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}\Leftrightarrow \sqrt{5x^2 + 14x + 9} = 5 \sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - x - 20}\Leftrightarrow 5x^2+14x+9=25x+...

Δίκιο έχεις Σταύρο. Αν και είχα ενδοιασμούς δεν έλεγξα την λύση.

20. $(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$ Δεν νομίζω ότι λύνεται. Μία προσπάθεια (δεν είμαι σίγουρος) Για $x\in [-1,1]$ $\sqrt{1+x}=\sqrt{\left (1+x \right )\cdot 1} \leq \frac{1+x+1}{2}=\frac{x+2}{2}$ $\sqrt{1-x}=\sqrt{\left (1-x \right )\cdot 1}\leq \frac{1-x+1}{2}=\frac{2-x}{2}$ Άρα έχουμε ό...

25. $2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}$ Με $-1\leq x\leq 2$ έχουμε $2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}\Leftrightarrow 2x \sqrt{2-x}- 2 \sqrt{2 + x - x^2}+ (x-1) \sqrt{x+1} - \sqrt{2 + x - x^2}=0\Leftrightarrow 2 \sqrt{2-x}\left ( x-\sqrt{x+1} \right )+\sqr...

48. $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5} = 2x^2 - 5x$ Απάντηση: $3$ Με $\frac{5}{2}\leq x\leq 4$ έχουμε: Αφαιρούμε το $3$ και από τα δύο μέλη, το σπάμε σε μονάδες και αντίστοιχα παίρνουμε συζυγείς στο α΄μέλος $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5}-3 = 2x^2 - 5x - 3\Leftrightarrow \sqrt{x-2} - 1 +...

51. $\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}$ Απάντηση: $x=1$ Δεν παίρνω περιορισμούς. $\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}\Leftrightarrow 2+3\sqrt{x}-x+6-2\sqrt{x}-3x+ 2 \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} \cdot \s...

49. $4x^2 - 4x - 10 = \sqrt{8x^2 - 6x - 10}$ Απάντηση: $x= \frac{5}{2}$ ή $x = \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{4}$ Με $x\leq \frac{1-\sqrt{11}}{2} \vee x\geq \frac{1+\sqrt{11}}{2}$ έχουμε Θέτουμε την $\sqrt{8x^2-6x-10}=t\geq 0\Leftrightarrow 8x^2-6x-10=t^2\Leftrightarrow 4x^2-4x-10+4x^2-2x=t^2\Leftrightarrow...

43. $2(1-x) \sqrt{x^2 +2x - 1} = x^2 - 2x - 1$ $2(1-x) \sqrt{x^2 +2x - 1} = x^2 - 2x - 1\Leftrightarrow x^2-2x-1+2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2x+1-2+x^2+2x-1+2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2+2x-1\Leftrightarrow (x-1+\sqrt{x^2+2x-1})^2=(x+1)^2\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x^2+2x-1}=x+1 \vee x-1+\...

39. $\displaystyle{\displaystyle \root5\of{x^3+2x}=\root3\of{x^5-2x}}$ http://eisatopon.blogspot.gr/2016/10/21-10-2016_20.html Θέτουμε $\sqrt[5]{x^3+2x}= a$ και $\sqrt[3]{x^5-2x}=b$ και τότε έχουμε: $x^3+2x=a^5$ , $x^5-2x=b^3$ οπότε $a=b$ και $x^5+x^3=a^5+b^3\Leftrightarrow x^5+x^3=a^5+a^3\Leftrigh...

Η 42 λύνεται και με αντίστροφη και κανονικά, έχει λυθεί στο εργαστήρι

Δωρεάν βιβλία Μαθηματικών από τον εκδοτικό οίκο springer
https://link.springer.com/search/page/2 ... ematics%22

75. $\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 7$ Απάντηση: $x = \sqrt{1 + \sqrt{6}} - 1$ ή $\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - 1$ $\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 7\Leftrightarrow 4\cdot \sqrt{2x^2 + 4x + 7} = 4x^4 + 16x^3 + 12x^2 - 8x - 28\Leftrightarrow \left ( 2x^2+4x+7 \right )^2-16\...

73. $1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$ Απάντηση: $x = 1$ $1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}\Leftrightarrow \sqrt{4x^2 - 36x + 72}-\sqrt{x^2 - 14x + 53}=x-1\Leftrightarrow 4x^2-36x+72-x^2+14x-53=\left ( x-1 \right )\cdot\left ( \sqrt{4x^2 - 36x + 72}+\sqrt{...