Να υπολογιστεί η σειρά(εφόσον και εάν συγκλίνει):

Έστω $ f:[ a , b ] \rightarrow \mathbb{R} $ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε η $ f'(x) $ να είναι ολοκληρώσιμη κατά $ Riemann $ στο $ [ a , b ] . $ Θέτουμε $\displaystyle{ a_{n} = \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{ } dx - \frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} f \bigg( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \big...

Έστω $ f:[ a , b ] \rightarrow \mathbb{R} $ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε η $ f'(x) $ να είναι ολοκληρώσιμη κατά $ Riemann $ στο $ [ a , b ] . $ Θέτουμε $\displaystyle{ a_{n} = \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{ } dx - \frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} f \bigg( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \big...

Έστω $ f:[ a , b ] \rightarrow \mathbb{R} $ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε η $ f'(x) $ να είναι ολοκληρώσιμη κατά $ Riemann $ στο $ [ a , b ] . $ Θέτουμε $\displaystyle{ a_{n} = \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{ } dx - \frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} f \bigg( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \bigg...

Έστω η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης . Δείξτε ότι

Ανισότητα 1 Να αποδειχθεί η ανισότητα : $ \cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) | $ για κάθε $ x , y , z \in \mathbb{R} $ Ανισότητα 2 Δίνονται τα διανύσματα $ a , b , c \in \mathbb{R}^{n} $ , δείξτε ότι: $ \big[ || a || \cdot < b , c >\big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \...

Έστω οι μετρικοί χώροι $ \big( \mathbb{X} , d \big) $ και $ \big( \mathbb{Y} , r \big) $ και συνάρτηση $ f : \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y} $ . Τότε αν κάθε κλειστό σύνολο $ C \subseteq \mathbb{Y} $ τότε το σύνολο $ f^{-1} (C) \subseteq \mathbb{X} $ είναι κλειστό $ \Rightarrow $ η $ f $ είναι συν...

Να βρεθούν άπειρες τριάδες θετικών ακεραίων ωστε να είναι όροι αριθμητικής προόδους και οι αριθμοί , και να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων .
Το ερώτημα μου είναι ποια είναι η ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση διότι είναι πολύ ενδιαφέρον .

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό $ n $ το γινόμενο $ \big( 4 - \frac{2}{1} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{2} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{3} \big) \cdots \big( 4 - \frac{2}{n-1} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{n} \big) $ είναι ακέραιος . Ποια είναι η ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση και πως επ...

Έστω ο μετρικός χώρος $ \big( \mathbb{X} , d \big) $ και $ A \subseteq \mathbb{X} $ . Τότε $ d(x,A) = \inf \{ d(x,a) : a \in A \} = 0 \Leftrightarrow x \in \overline{A} $ . Όπου $ \overline{A} $ είναι η κλειστή θήκη του $ A $ , δηλαδή είναι η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του $ \mathbb{X} $ που ...

Έστω $ R $ μεταθετικός δακτύλιος και $ I $ ιδεώδες του $ R $ . Υπάρχει μια 1-1 και επί αντιστοιχία μεταξύ των πρώτων ιδεωδών του $ R $ που περιέχουν το $ I $ και των πρώτων ιδεωδών του $ R/I $ . Ειδικότερα , κάθε πρώτο ιδεώδες του $ R/I $ είναι της μορφής $ J/I $ , όπου $ J $ πρώτο ιδεώδες του $ R $...

Έστω p περιττός πρώτος . Αν ο p είναι της μορφής $ p \equiv 1 (mod 4) $ τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $ x , y \in \mathbb{N} $ τέτοιοι ώστε να ισχύει ότι $ p = x^{2} + y^{2} . $ Σχόλιο : Ισχύει και το αντίστροφο . Επιπλέον είναι θεώρημα των Fermat - Euler , ωστόσο θα ήθελα αν γνωρίζει κάποιος να δώσ...

Να υπολογιστεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος x ώστε να ισχύει :






Η λύση του προβλήματος είναι το 119 , ερώτημα το πως επιλύεται .

Να δειχθεί ότι ο αριθμός $ n = 0,123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839......$ δεν είναι ρητός. Σημειώνουμε ότι ο αριθμός $ n $ προκύπτει ως εξής : μετά την υποδιαστολή τοποθετούμε τους φυσικούς αριθμούς , τον ένα δίπλα στον άλλο . Σχολιάζω ότι αν ο αριθμός αυτός ήταν ...

Δίνεται η συνάρτηση $f:[ 0 , 1 ] \rightarrow [ 0 , 1 ]$ η οποία είναι συνεχής και επιλέγουμε τυχαία έναν πραγματικό αριθμό $x_{0} \in [ 0 , 1 ]$ και στη συνέχεια ορίζουμε την ακολουθία πραγματικών αριθμών $x_{1}=f(x_{0}) \quad , \quad x_{n+1} = f(x_{n}) \quad , \quad n \in \mathbb{N}$ τότε να βρεθεί...

Να δειχθεί ότι:

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $ \begin{large} \lim\limits_{n \to + \infty} \bigg( \frac{1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^n + n^{n}}{n^n} \bigg) \end{large}$ Μπορεί να γίνει εφαρμογή της συνάρτησης $f(x)=x^n , x > 0$ , με κάποιο τρόπο , επειδή αυτή η συνάρτηση είναι κυρτή ; και επιπλέον νομίζω ότι μ...

Να δειχθεί ότι: $\frac{1}{3}+\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{3 \cdot 7 \cdot 47} + \frac{1}{3 \cdot 7 \cdot 2207} + \cdots = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ όπου κάθε καινούργιος όρος στον παρανομαστή προκύπτει από το τετράγωνο του προηγούμενου αφαιρώντας δύο. Δηλαδή: $y_{1} = 3 \quad , \quad y_{n+1} = y^2_{...

Έστω $ A \in \mathbb{C}^n ^ \times ^n$ ο οποίος είναι θετικά ορισμένος. Τότε να δειχθεί ότι: $\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^- ^< ^A ^x ^, ^x ^> dx = (\sqrt{\pi})^n / \sqrt{det(A)} \quad , \quad \forall n \in \mathbb{N}$. Σημειώνουμε ότι: συμβολίζουμε με $<. \text{ } , \text{ } .>$ το σύνηθες ε...