Άσκηση: Έστω $I_{1}$ και $I_{2}$ με $|I_{1}| = |I_{2}| = m$ και $\color{orange} x \color{black} \in I_{1} - I_{2}$ έτσι ώστε $\exists J_{1}$ και $\exists J_{2}$ με $|J_{1}| = |J_{2}| = m$ έτσι ώστε $\det B_{I_{f} , J_{f} } \neq 0$ και $\det A_{J_{f} , [m]} \neq 0$ για $f=1,2$. Δείξτε ότι: υπάρχει έ...

Δεδομένων των φυσικών αριθμών $n, l, m$ τέτοιων ώστε $n \geqslant l \geqslant m$ και να λάβουμε υπόψη τις δύο πίνακες: $\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l,1} & a_{l,2} & \cdots &...

Έχει κανείς καμιά ιδέα; Σας ευχαριστώ πολύ!

Πρόβλημα: Έστω $\displaystyle{S}$ ένα κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ και έστω το σύνολο των σημείων $\displaystyle{C}$ τέτοιων ώστε $C \subseteq \mathbb{R}^{2} \setminus S$ με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε πέντε ή λιγότερα σημεία στο $\displaystyle{C}$, πού θα πούμ...

Λέω ότι πρέπει να αποδείξουμε: . Αυτό το έχει προκύψει επειδή το έχει τουλάχιστον τρία σημεία. Γιατί αυτό απαραίτητα ανήκει στο ?
Γιατί ισχύει αυτό;
Δεν μπορώ να καταλάβω.
Σας ευχαριστώ.

Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι δηλαδή, για κάθε .

Το οποίο δεν το έχουμε αποδείξει...και δεν το υποθέτουμε, οπότε χρειάζεται απόδειξη...

Πρόβλημα : Έστω $\displaystyle{S}$ υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{E}^{n}}$. Υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{S}$ περιέχει τουλάχιστον τρία σημεία που δεν είναι συνευθειακά και υποθέτουμε ότι για κάθε τρία μη-συνευθειακά σημεία $\displaystyle{x , y , z}$ στο $S$ υπάρχει ένα μοναδικό σημείο $p$...

Χρειάζομαι βοήθεια στο ακόλουθο πρόβλημα άλγεβρας: Πρόβλημα : Έστω $R$ ένας δακτύλιος ο οποίος έχει ένα στοιχείο $a \in R$ ώστε $a^{2}=-1_{R}$. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός δακτύλιος ομομορφισμών $\varphi : \mathbb{Z} [ i ] \longrightarrow R$ έτσι ώστε $\varphi ( i ) = a$. Σημειώνουμε ότι : $...

Βοήθεια για την εύρεση λύση των παρακάτω ασκήσεων: Πρόβλημα (1) : 'Έστω $|G| = p^{n}$ με $p>n$ και η $G$ δρα σε ένα πεπερασμένο σύνολο $X$ με $m$ στοιχεία. Αν $f: G \rightarrow S_{m}$ μονομορφισμος και υπάρχει $x \in X$ με $g \cdot x = x$ για κάθε $g \in G$, τότε $m \geqslant 1 + n p$. Λύση (1) : Ε...

Μπορείτε να με βοηθήσετε ως προς την λύση των παρακάτω προβλημάτων: Πρόβλημα(1) : Έστω $ k \in C \big( [0,1] \times [0,1] : \mathbb{C} \big) $ και έστω ο τελεστής $ A \in L(X) $ με τύπο $\displaystyle{ (Au)(x) = \int\limits_{0}^{x} k(x,y) u(y) d y , x \in [0,1] }$. Είναι $ X = \Big( C \big( [0,1] : ...

Ευχαριστώ πολύ, στο μεταξύ αυτό προσπαθούσα για να καταλήξω σε άτοπο ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι φραγμένη το οποίο είναι αδύνατο. Ευχαριστώ και πάλι.

Προβλημα : Έστω $\displaystyle{(X, \mathbb{C} )}$ ένας χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν $\displaystyle{A, B \in L(X)}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{A B - B A = i \mathbb{I}}$. Προφανως, αν ο $X$ ειναι πεπερασμενης διαστασης, τοτε προκυπτει αμεσα το ζητουμενο καθως οι τελεστες $A, B$ αναπαριστ...

Ερωτημα : Υπαρχουν τριαδες $\displaystyle{( a, b, c )}$ και $\displaystyle{( b, c, d )}$ οι οποιες να αποτελουν Πυθαγορειες τριαδες $;$ Ψαχνουμε να βρουμε $\displaystyle{a, b, c, d \in \mathbb{Z}}$ ωστε να ισχυουν οι ισοτητες $\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ b^{2} + c^{2} = d^...

Λύση 1 : Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι μετρήσιμη, θα ισχύει ότι το σύνολο $\big \{ f < 1 \big \} $ είναι μετρήσιμο, τότε είναι: $\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \Rightarrow \begin{cases} x \in A : 1 < f(x) < 3 \\ x \in \mathbb{R} \setminus A : - 1 < f(x) < 1 \end{cases} \Rightarrow \big \{ f...

Πρόβλημα (1) : Αν για την συνάρτηση $f$ ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η ανισότητα $\big| f(x) - 2 \chi_{A}(x) \big| < 1 $, όπου $A$ ένα μη μετρήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι η $f$ δεν είναι μετρήσιμη. Πρόβλημα (2) : Δίνεται $f_{0}(x) = 0$ και $f_{n+1}(x) = \sqrt{x + f_{n}(x)} $, για κάθε $n \...

Πρόβλημα : Δίνεται το πολυώνυμο $ f ( x ) = x^{4} + 2 x - 2 \in \mathbb{Q}[x] $. Ακολουθούν τα παρακάτω ερωτήματα: Να δείξετε ότι το πολυώνυμο $ f(x) $ είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Q}$. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο $ f(x) $ έχει δύο πραγματικές ρίζες και δύο μιγαδικές ρίζες. Έστω $r_{1}, r_{2}, r_{3},...

Λύση : Έχουμε ότι: Το $L$ είναι μια πεπερασμένη επέκταση του $\mathbb{Q}$, άρα το $L$ είναι αλγεβρική επέκταση επί του $\mathbb{Q}$. Επειδή η χαρακτηριστική των ρητών αριθμών είναι μηδέν και το $L$ είναι αλγεβρική επέκταση επί του $\mathbb{Q}$, έπεται ότι το $L$ είναι διαχωρίσιμη(δηλαδή το ελαχιστι...

Πρόβλημα : Έστω $a \in \mathbb{R}$ αλγεβρικό επί του $\mathbb{Q}$, $\varphi_{a}(x) \in \mathbb{Q}[x]$ το ελαχιστικό πολυώνυμο του $a$ επί του $\mathbb{Q}$, ας είναι $L$ το σώμα διάσπασης του $\varphi_{a}(x)$ επί του $\mathbb{Q}$ και $[L : \mathbb{Q}] = 2^{n}$, για κάποιο φυσικό αριθμό $n \in \mathb...

Παραθέτω τις λύσεις, δείτε τις και πείτε μου. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα (τουλάχιστον) σημείο τομής $\displaystyle{p \in \mathbb{X}}$ του $\displaystyle{\mathbb{X}}$. Τότε ο $\displaystyle{\mathbb{X} \setminus \{ p \}}$ είναι μη συνεκτικός. Άρα υπάρχουν κλειστά σύνολα $\displaystyle{U, V}$ του $\dis...

Παραθέτω τρεις ασκήσεις στις οποίες θα ήθελα την βοήθειά σας. Παρακαλώ μπορείτε να παραθέσετε την λύση ή την πηγή όπου να αναζητήσω την απάντηση και να την βρω. Επιπλέον, θέλω να προτείνετε βιβλία τοπολογίας και όσο αφορά πιο πολύ τα κεφάλαια Συνεχείς Χώροι(δηλαδή αυτοί που είναι συμπαγείς, συνεκτικ...