Συγνώμη για την παράληψη, ήμουν εκτός Αθηνών. Ναι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και την άσκηση την βρήκα σε ένα τετράδιο μου του φροντιστηρίου. Η λύση που είχα γράψει είναι αυτή του κ. Λουρίδα

Δίνεται σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του. Αν σημείο του ύψους τέτοιο ώστε , τότε να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
(Μου άρεσε)

Να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα , όπου το φραγμένο χωρίο του 1ου τεταρτημορίου μεταξύ των και .

Διαιρούμε με $a^{4}$ τότε $\left [ 8+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2} \right ]^{2}>16\left ( \frac{b}{a} \right )$ $\Leftrightarrow 8+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2}>4\sqrt{\frac{b}{a}}$. Θέτουμε $x=\frac{b}{a}, x>0$, τότε η ανισότητα γράφεται $8+x^{2}>4\sqrt{x}$ και θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=x^{...

Με αφορμή τις εξετάσεις, κάθε χρόνο, προσπαθώ να βρω έναν τρόπο να ερμηνεύσω εμάς, την εποπτεύουσα αρχή, τους μαθητές και τέλος πάντων όλους όσους εμπλέκονται σε αυτό που λέμε εκπαίδευση. Φέτος είπα, θα γράψω αυτά που με απασχολούν και σας τα αφήνω στο συνημμένο. Γεια σας.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
Μαθηματικός

γii) Η εξίσωση ορίζεται στο σύνολο $[-1,1]\cap [-1+ln2, 1+ln2]=[-1+ln2, 1]$, έχει προφανή ρίζα x = 0 και γράφεται: $f(x)-x=2(f^{-1}(x)-x)$ (1) Η f είναι κοίλη και η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο $A(0,f(0))$ έχει εξίσωση $y=x$. Τότε η $C_{f}$ βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη εκτός από τ...

Μια επιπλεόν ιδέα:
γ) Αν για τους θετικούς αριθμούς ισχύουν:
και
, για κάθε
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι φυσικός αριθμός

Ας το δούμε και έτσι: α)Μπορούμε να βρούμε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{10}$ για τους οποίους ισχύει: $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}$; Επιπλεον: β)Να βρείτε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{10}$ για τους οποίους ισχύει: $\s...

Να λυθεί το σύστημα:


οπου μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
ΥΓ: Ήταν περασμένη η ώρα.

Να λυθεί το σύστημα:

α) Αλγεβρικά
β) Με τη βοήθεια συνάρτησης (βέβαια αυτός ο τρόπος ταιριάζει περισσότερο στη Γ΄ Λυκείου)

Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες με εξισώσεις:
και με και .
Να αποδείξετε ότι η είναι περιοδική.

Α. Δίνεται η περιοδική συνάρτηση $F:R\rightarrow R$ για την οποία υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }F(x) = l, l\in R$. Να αποδείξετε ότι η $F$ είναι σταθερή. Β. Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε: :logo: $\lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x)-x)=2016$ :logo: $f(x+2)+f(x)=2f(...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Μπράβο! Αυτά έβγαλα και εγώ. Με εντυπωσίασαν τα αποτελέσματα αυτά όπως και εσύ αναφέρεις και που δεν έχω δεί κάτι ανάλογο, γι΄αυτό την ανέβασα.
Γι' αυτό στη συνέχεια έκανα την ερώτηση για τις άλλες κωνικές τομές. Όμορφα!!

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\propto )\rightarrow R$ τέτοια ώστε $xf''(x)+2f'(x)=2$ για κάθε x>0. Η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $A(4,3)$ και η ασύμπτωτη της στο $+\propto$ έχει εξίσωση $y=\alpha x-3$. Να βρείτε: α) το α και τον τύπο της $f$. β) Να βρείτε τη...

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε .
Να αποδείξετε ότι .
N. Z. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Έχουμε: $\lim_{\propto }x(e^{\frac{1}{x}}-1-e^{\frac{1}{x+1}}+1)$ = = $\lim_{\propto }\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}-\frac{e^{\frac{1}{x+1}}-1}{\frac{1}{x}} \right)$= =$\lim_{\propto }\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}-\frac{e^{\frac{1}{x+1}}-1}{\frac{1}{x+1}}\frac{\frac{1}{x+1...

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{1}$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{2}$ με $\Delta _{1}\bigcap{\Delta 2}=\varnothing$ και $f(\Delta _{1})\bigcap{f(\Delta _{2})}=\varnothing$ , τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta _{1}\bigcup{\Delta 2}$ ...