Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Ιάσωνα για την λύση και το χρόνο του. Για την ιστορία η άσκηση είναι από την ολυμπιάδα "Υψηλά πρότυπα" για το έτος 2021/22, του πανεπιστημίου Ανώτατη Σχολή Οικονομικών (Ρωσία).

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση του στο παρόν πρόβλημα, αλλά και στα άλλα παρόμοια, που έλυσε πρόσφατα. Για την ιστορία η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το έτος 2004.

Αληθώς Ανέστη! Χρόνια πολλά με υγεία και δημιουργικότητα!

Έστω δυο ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ που τέμνονται στο σημείο $P$. Ο κύκλος $\gamma$ με κέντρο το σημείο $J$ εφάπτεται των ευθειών $l_{1}$ και $l_{2}$. Στις ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ διαλέγουμε δυο σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα, τέτοια, ώστε η ευθεία $AB$ να εφάπτεται του κύκλου $\gamma$. Έστω ότι...

Από τις κορυφές $B$ και $C$ ενός τριγώνου $ABC$ φέρουμε κύκλο $\Omega$, που επανατέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών $AB$ και $AC$ στα σημεία $B_{1}$ και $C_{1}$ αντίστοιχα. Ο κύκλος $\omega$ εφάπτεται των πλευρών $AB$ και $AC$ στα σημεία $K$ και $L$ αντίστοιχα και επίσης εφάπτεται εξωτερικά του κύκλ...

Το έχουμε δει και εδώ.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Ιάσωνα για την λύση και τον κόπο του (δεν την μελέτησα πλήρως ακόμα λόγω έλλειψης χρόνου). Για την ιστορία η άσκηση είναι η υπ' αριθμόν 4508 του περιοδικού "Μαθηματικά στο σχολείο" τεύχος 5, 2000. Μου άρεσε, γιατί μεγάλο μέρος της δυσκολίας, είναι στην κατασκευή συνάρτηση...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της πρώτης μέρας για την 10η τάξη. 1. Έστω $p$ και $q$ διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί. Δίνεται μια άπειρη φθίνουσα αριθμητική πρόοδος, στην οποία συναντάται ο καθένας εκ των αριθμών $p^{23}, p^{24}, q^{23}$ και $q^{24}$. Να...

Βέβαια, διαισθητικά μπορεί κανείς να μαντέψει σχετικά εύκολα την τελική απάντηση. Αν σταθεροποιήσουμε μια από της γωνίες, έστω την $\alpha$, τότε θα είναι σταθερή και η πλευρά που αντιστοιχεί σε αυτή. Όμως, από όλα τα τρίγωνα με σταθερή πλευρά, το μέγιστο εμβαδό θα το έχει αυτό με το μεγαλύτερο ύψος...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη. 1. Μια συνοικία αποτελείται από ένα τετράγωνο $10 \times 10$. Την νύχτα της πρωτοχρονιάς ξαφνικά χιόνισε και έκτοτε κάθε νύχτα σε κάθε κελί έπεφτε από $10$ εκατοστά χιόνι, χιόνιζε μόνο...

Πολύ όμορφη πρωτοβουλία, ευχαριστούμε!

Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας. Θεωρούμε το τετράεδρο $SABC$ και επί των εδρών του $SBC, SCA, SAB$ και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν $O$ είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας $ABC$ πρίσμα που η παράπλευρη...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της δεύτερης μέρας για την 10η τάξη. 1. Δίνεται ένα ευθύγραμμο μονοπάτι, που αποτελείται από πράσινες και κόκκινες σανίδες (μονοπάτι ευθύγραμμο τμήμα, διαμερισμένο σε σανίδες ευθύγραμμα τμήματα). Τα χρώματα των σανίδων ε...

Ίσως χάνω κάτι - δε βλέπω λύση εντός φακέλου. Μάλλον έχεις δίκιο, ίσως καλύτερα να μεταφερθεί στους φακέλους της Γ' Λύκείου. Αυτό που είχα υπόψη είναι το εξής: Όλη η έκφραση, ως συνάρτηση του $x$, στο αριστερό μέλος της ανίσωσης $\dfrac{\Bigl[ f(x) - a - \sqrt{x^2 + 324} \Bigr]^2}{f(x) - a} \le 0$ ...

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, η εξίσωση $f(x) < a$ αποκλείεται να έχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε τιμή του $a$. Να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση. Σε αυτό το φάκελο υποτίθεται, ότι ακόμα δεν ξέρουμε την έννοια της συνέχειας. Αλλά και αν την ξέρουμε, νομίζω θέλει λίγο ...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη. 1. Στον χώρο βρίσκεται ένας άπειρος κύλινδρος ( δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, που απέχουν σταθερή απόσταση $R>0$ από δοθείσα ευθεία $l$). Μπορούν άραγε έξι ευθείες, φορείς των...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της πρώτης μέρας για την 9η τάξη. 1. Ο Κώστας και ο Νίκος ξέρουν μόνο τους φυσικούς αριθμούς, που δεν υπερβαίνουν το $10^9-4000$. Ο Κώστας θεωρεί καλούς τους αριθμούς που μπορούν να γραφούν στην μορφή $abc+ab+ac+bc$, όπο...

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 20 Μαρτίου 2022 $\bullet $ 10η τάξη Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό $n$, που κατέχει την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιονδήποτε περιττό πρώτο αριθμό $p$, μικρότερο του $n$, η διαφορά $n-p$ είναι κι αυτή πρώτος αριθμός. (Ι. Ακούλιτς) Πρόβλημα 2. Τα σ...

Η γεωμετρική ερμηνεία της άσκησης στην ουσία είναι η εξής: Το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των εδρών ενός τετράεδρου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των μη παράλληλων εδρών του περιγεγραμμένου παραλληλεπιπέδου σε αυτό. Η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί με την βοήθεια δυο ε...

Να βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς , για τον καθέ από τους οποίους υπάρχει συνάρτηση τέτοια, ώστε



για οποιοδήποτε .