Όσο πιο κοντά στην αρχή.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $b=5 , c=12$ , το $AD$ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα $BC$ . Σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό του τμήματος $BD$ . Η κάθετη προς το τμήμα $AS$ στο $S$ , τέμνει την $AB$ , στο σημείο $T$ . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $AT$ . ...

H τελική εξίσωση για το είναι,

Η ύλη του βιβλίου είναι ύλη Γυμνασίου.

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά

Ευχαριστώ τους φίλους Νίκο και Μιχάλη για τις λύσεις τους :coolspeak: Προφανώς η $BE$ είναι η από το $B$ συμμετροδιάμεσος του $\vartriangle ABC$ . Με αυτό ακριβώς το σκεπτικό κατασκευάστηκε η άσκηση. Στηρίχτηκε στην παρατήρηση ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το ύψος προς την υποτείνουσα είναι συμμετρο...

Δίνεται τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές μήκους $1,2,4,3$ Έστω $\color{red}r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Να προσδιοριστεί το infimum και το supremum της $\color{red}r$ Επειδή το $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο, το εμβαδόν του $E$ είναι $E=\tau\cdot r=5r.$ Η ακτίνα μεγιστοποιείται όταν και το ε...

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑

Τρί Απρ 30, 2024 7:32 am

shape.pngΣτο τεταρτοκύκλιο του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το μήκος του τμήματος

Εκτός φακέλου. Με Πτολεμαίο στο εγγράψιμο είναι και με Π.Θ στο

Λογάριθμος.png$\bigstar$ Τα σημεία $M , N$ είναι μέσα των πλευρών $BC , CD$ του - πλευράς $a$ - τετραγώνου $ABCD$ . α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : $DS , ST , TM$ . γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ; α,β) Πάω πρώτα σ...

Έστω $O$ το κέντρο ημικυκλίου διαμέτρου $AB = 2R$. Ας είναι $C$ εσωτερικό σημείο της ακτίνας $OB$. Θεωρούμε την ευθεία $g$ , κάθετη στην $AB\,$ στο $C$. Σημείο $M$κινείται επί του ημικυκλίου . Οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ τέμνουν την $g$ στα $P,\,T\,.\,$ Σταθερά τμήματα_ εκφώνηση.png α) Δε...

Να λύσετε την ανίσωση : $\displaystyle {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)g(x)}}\ge {{\left( \frac{1}{8} \right)}^{g(x)}}$, αντλώντας τις απαραίτητες πληροφορίες απ΄το σχήμα. Έστω $f(x)=ax^2+bx+c.$ Από το σχήμα παίρνω, $f(2)=f(4)=0, f(5)=3.$ Άρα έχω το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathere...

Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png Η διάμεσος $BN$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος $AD$ στο $P$ και έστω $E$ η προβολή του $P$ στην $AC.$ Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων $AE, AP, EC$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι η $BE$ διέρχεται από τ...

Ζητείται τέταρτος για πρέφα.pngΗ παραβολή με τύπο : $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$ , τέμνει τον $x-$άξονα στα σημεία $A , B$ και τον $y'y$ , στο $C$ . Ο κύκλος $(A , B , C )$ , τέμνει εκ νέου την παραβολή στο σημείο $D$ . Βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο του $D$ . Έστω $A(x_1,0), B(x_2,0), C(0,c)$ και ...

Τερατώδες ύψος.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει την $AC$ στο $S$ . Υπολογίστε το $h$ , αν : $DS=5$ . $\displaystyle CS \cdot CA = CD \cdot CB \Leftrightarrow bx = 48 \Leftrightarrow \frac{6}{b} = \frac{x}{8} \Leftrightarrow \cos C = \frac{x}{8}$ Τερατώδες ύψος.png Νόμος συνημιτόνου στο $SDC,$ ...

Δεν πάει μακριά η βαλίτσα.pngΤο τρίγωνο $ABC$ έχει την εξής ιδιότητα : Το άθροισμα του ύψους $AD$ και του τμήματος $BD$ , είναι ίσο με το τμήμα $DC$ . Προεκτείνουμε την $BC$ - και προς τις δύο κατευθύνσεις - κατά ίσα τμήματα : $BS , CP$ . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{AP}{AS}$ . Πού π...

Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , $AD,BE,CZ$ τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$. Αν $M$ το μέσο του $BC$ δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,...

Η διάμεσος κάθετη_mathematica.png . Από σημείο $P$ εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ,$PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC\,\,.$ Ας είναι $A$ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $BC$. Αν $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ οι προβολές του $P$ στις $AB\,\,,\,\,AC$ και $M$ το μέσο της χορδής $BC$ , Δε...

Παραπλήσιοι λόγοι.pngΣτην πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ADP}=30^\circ$ . Στην προέκταση της $PD$ , θεωρούμε σημείο $S$ , έτσι ώστε : $CS=CA$ . α) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{CD}{DS}$ και : $\dfrac{AP}{PB}$ . β) Δείξτε ότι ο δεύτερος λόγος έχε...

Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ και προς τις δύο κατευθύνσεις , κατά τμήματα $AS=BP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$ β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε $x$ ) . α) Τα τρίγωνα $BPC,MPS$ είν...

Βρείτε ( ει δυνατόν χωρίς χρήση παραγώγου ) την μέγιστη τιμή της παράστασης : $A(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ $\displaystyle \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = y \Leftrightarrow y{x^2} - 2x + y - 1 = 0,$ όπου αν $y=0$ τότε $x=-\dfrac{1}{2}.$ Αν $y\ne 0,$ για να έχουμε λύση ως προς $x$ πρέπει $\displaystyle ...