Αρχιμήδης 2017

#61

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που διαγωνίστηκαν στον "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" και καλή συνέχεια στους επιτυχόντες.

Ειδικά, θέλω να εκφράσω τα συγχαρητήρια στα ταλαντούχα μέλη μας :

Ορέστη Λιγνό, Ραφαήλ Ψυρρούκη, Τσιντσιλίδα Δημήτρη , Αδαμόπουλο Διονύση και Σημαντήρη Γιάννη

#62

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Καλησπέρα μέλη του Mathematica, είμαι ο Κατερινόπουλος Νικόλας, μαθητής της έκτης Δημοτικού και είμαι καινούριο μέλος!!!

Καλωσόρισες Νικόλα !

Εδώ θα έχεις μια ζεστή παρέα και ανθρώπους για να απαντήσουν σε κάθε σου μαθηματική ή άλλη ερώτηση.Καλή πρόοδο !!!

Μπ

Κατερινόπουλος Νικόλας · #63

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Στεργίου!!!

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #64

Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια!

Εκτός από τους μαθητές-μέλη του

που αναφέρατε, συγχαρητήρια αξίζουν ο JimNT και ο Χάρης Τιούρινγκ που βρέθηκαν κι αυτοί στις πρώτες θέσεις, αλλά και όλοι οι μαθητές που συμμετείχαν, είτε βραβεύθηκαν είτε όχι, για τη μεγάλη τους αγάπη, τα μαθηματικά.

Όλοι εμείς ευχαριστούμε το

που μας βοηθάει καθημερινά σε αυτήν την προσπάθειά μας.

#65

Συγχαρητήρια σε όλους, είτε για τα αποτελέσματα είτε για την μακρόχρονη και δημιουργική προσπάθεια!

[Για το τέταρτο των μεγάλων: σεμιναριακή η παρουσίαση της λύσης και κεντρικής ιδέας από τον Νίκο Αθανασίου, καθώς δείχνει το πως μπορεί να φτάσει κανείς "εκ του μερικού εις το γενικόν", και πόσο βοηθά η μελέτη ειδικών περιπτώσεων στην σύλληψη της στρατηγικής που επιλύει την γενική περίπτωση^ ευχαριστίες επίσης στον Αχιλλέα για την παρέμβαση του! (Είναι ενδιαφέρον ότι το ελάχιστο P(1)

φαίνεται να αντιστοιχεί στον μέγιστο βαθμό πολυωνύμου (με θετικούς ακέραιους συντελεστές) P(x)

τέτοιου ώστε $P(\xi)=2017$ (όπου $\xi$ η θετική ρίζα της x^2+x-4=0

)^ μου ήταν φανερό ότι ο βαθμός αυτός θα ήταν μικρότερος του

... λόγω της $\xi^{20}>(3/2)^{20}>2017$ ... αλλά δεν βρήκα χρόνο να δω παραπάνω το πρόβλημα πριν ανεβεί η λύση του Νίκου ... πάντως το

φαίνεται λογικό για μέγιστο βαθμό.)]

Ορέστης Λιγνός · #66

Σας ευχαριστώ όλους εδώ στο

για τα καλά σας λόγια!

Θα ήθελα, με την ευκαιρία αυτή, να παροτρύνω και άλλους μαθητές που είναι μέλη του mathematica, να συμμετέχουν ενεργά και όχι να είναι απλά θεατές, φοβούμενοι μήπως κάνουν λάθος.

Μέσα από τα λάθη όλοι μαθαίνουμε! Για αυτό λοιπόν, μην διστάζουν να λένε την γνώμη τους και τις απορίες τους και να ζητούν βοήθεια!

Δόξα τω Θεό, στο

υπάρχουν καταπληκτικοί δάσκαλοι που μας καθοδηγούν και μας συμβουλεύουν.

Ορέστης

#67

Παιδιά σας αξίζουν συγχαρητήρια...

Θερμές ευχές σε όλους τους μαθητές που συμμετείχαν, στους γονείς τους που τους υποστήριξαν στους δασκάλους τους που με οποιοδήποτε τρόπο τους προετοίμασαν και σ' εκείνους που διακρίθηκαν! Χαίρομαι ιδιαίτερα που αρκετοί από τους συμμετέχοντες αλλά και από τους βραβευθέντες είναι μέλη μας, μέλη του

και αναγνωρίζουν την προσφορά του στη μαθηματική παιδεία τους. Είναι η ηθική ανταμοιβή όσων ασχολούνται με αυτό το χώρο λύνοντας, προτείνοντας και αναρτώντας προτάσεις σε όμορφα προβλήματα, προβληματισμούς και γενικότερα θέματα γύρω από τη μαθηματική παιδεία.

Καλή επιτυχία στην επόμενη φάση του διαγωνισμού! Δε θα μπορούσα παρά να συμφωνώ με το μήνυμα του Αχιλλέα εδώ!

Εύχομαι να σας καμαρώνουμε για πολλά πολλά χρόνια ακόμη όχι μόνο εδώ στο mathematica αλλά και στην κοινωνία αργότερα! Μπράβο σας!!

Αλέξανδρος

dement · #68

Θα ήθελα γνώμες γύρω από το υποερώτημα 4.ii. του Αρχιμήδη των μεγάλων: Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το ερώτημα εννοεί ελαχιστοποίηση για δεδομένο

(δηλαδή, συναρτήσει του

) ή ολική ελαχιστοποίηση (για όλα τα

); Υπάρχει κάτι στη διατύπωση που το κάνει ξεκάθαρο;

#69

dement έγραψε:Θα ήθελα γνώμες γύρω από το υποερώτημα 4.ii. του Αρχιμήδη των μεγάλων: Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το ερώτημα εννοεί ελαχιστοποίηση για δεδομένο (δηλαδή, συναρτήσει του ) ή ολική ελαχιστοποίηση (για όλα τα ); Υπάρχει κάτι στη διατύπωση που το κάνει ξεκάθαρο;

Καλή ερώτηση!

Προσωπικά υπέθεσα ότι ζητούσε το δεύτερο, στο οποίο φτάνει κανείς εξετάζοντας διαδοχικά τις περιπτώσεις $n=0,1,\dots,13$ κοκ. Για $n\geq 14$ η απάντηση δεν αλλάζει.

Δηλ. όπως και να έχει η διατύπωση, η λύση αλλάζει ελάχιστα.

Στην 1η περίπτωση, απλά κάποιος θα πρέπει να γράψει στην απάντηση και τις διάφορες τιμές του P(1)

για $1\leq n\leq 13.$

Ίσως θα έπρεπε να διατυπωθεί πιο ξεκάθαρα(?)

Αναμένουμε και τις επίσημες λύσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#70

achilleas έγραψε:
dement έγραψε:Θα ήθελα γνώμες γύρω από το υποερώτημα 4.ii. του Αρχιμήδη των μεγάλων: Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το ερώτημα εννοεί ελαχιστοποίηση για δεδομένο (δηλαδή, συναρτήσει του ) ή ολική ελαχιστοποίηση (για όλα τα ); Υπάρχει κάτι στη διατύπωση που το κάνει ξεκάθαρο;
Καλή ερώτηση!

Προσωπικά υπέθεσα ότι ζητούσε το δεύτερο, στο οποίο φτάνει κανείς εξετάζοντας διαδοχικά τις περιπτώσεις $n=0,1,\dots,13$ κοκ. Για $n\geq 14$ η απάντηση δεν αλλάζει.

Οι κατασκευαστικές λύσεις που δόθηκαν είναι και καταστροφικές, δείχνουν δηλαδή ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του

με τις ζητούμενες ιδιότητες.

#71

Σκιαγραφώ εδώ και την επίσημη λύση:

Βήμα 1) Θεωρούμε το ελαχιστικό σύνολο $\{a_0,...,a_n\}$ . Τότε $0\leq a_i\leq 3$ γιατί αλλιώς το σύνολο
$\{a_0,...,a_{i-1}, a_i-4, a_{i+1}+1,a_{i+2}+1,...,a_n\}$ έχει μικρότερο άθροισμα.

Βήμα 2) Γράφουμε $a_nx^n+...+a_0-2017=(x^2+x-4)(b_{n-2}x^{n-2}+...+b_1x+b_0)$ και από την εξίσωση των συντελεστών έχουμε ότι
$a_{i+2}-b_{i+1}-b_i=-4b_{i+2}$ για $0\leq i\leq n-2$ .

Βήμα 3) Λόγω του $0\leq a_i\leq 3$ το παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύση ως προς τα a_i

παίρνοντας $\mod 4$ .

Υ.Γ. Θα είχε ενδιαφέρον μετά το Βήμα 1 να έχουμε λύση από το τετραδικό σύστημα αρίθμησης.

#72

Για το 3ο πρόβλημα των μικρών μία εναλλακτική λύση:

Έστω (a,b)=d

τότε $a=da_1, \ b=db_1$ με (a_1,b_1)=1

. Αντικαθιστώντας παίρνουμε p(a_1^2+b_1^2)=d^2a_1^2b_1^2

απ' όπου

κι έτσι έχουμε τις εξής τρεις περιπτώσεις:

α) Αν p|a_1^2

τότε

οπότε

κι έτσι αντικαθιστώντας παίρνουμε p^2a_2^2+b_1^2=d^2pa_2^2b_1^2

απ' όπου

δηλαδή

, άτοπο διότι (a_1,b_1)=1

.

β) Όμοια αν p|b_1^2

καταλήγουμε σε άτοπο.

γ) Αν p|d^2

τότε

, άρα

και αντικαθιστώντας παίρνουμε a_1^2+b_1^2=pd_1^2a_1^2b_1^2

δηλαδή

. Όμως

άρα πρέπει a_1=1

και όμοια

κι έτσι

.

Τελικά (a,b,p)=(2,2,2)

.

Αλέξανδρος

#73

Αναρτήθηκαν και οι επίσημες λύσεις:
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... _final.pdf

christodoulos703 · #74

Έχει κανείς το σχεδιάγραμμα βαθμολόγησης;Γιατί έγραψα τα θέματα 1,2,3 (αλλά κατά λάθος έγραψα (a,b,p)=(4,4,2) και όχι (a,b,p)=(2,2,2) καθώς μπερδεύτηκα με τα τετράγωνα αλλά η διαδικασία ήταν ολόσωστη) και παρ' όλα αυτά πήρα 11/20.Θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει τι μπορεί να έκανα λάθος;Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#75

Το πρόβλημα 4 των μικρών υπάρχει (σχεδόν...) εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1201896

Ένα παρόμοιο με το πρόβλημα 3 των μεγάλων είδαμε εδώ:
search.php?keywords=1315&t=15584&sf=msgonly

#76

socrates έγραψε:Το πρόβλημα 4 των μικρών υπάρχει (σχεδόν...) εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1201896

Ένα παρόμοιο με το πρόβλημα 3 των μεγάλων είδαμε εδώ:
search.php?keywords=1315&t=15584&sf=msgonly

Η ιδέα για το 4 είναι το προβολικό επίπεδο, οπότε είναι πιθανή αυτή η ομοιότητα.

Στο 3 χρειάζεσαι την ίδια ταυτότητα όντως. Την ταυτότητα αυτή την είχα δει πρώτη φορά σαν μαθητής.
Από εκεί και πέρα (ευτυχώς) παίρνουν άλλο δρόμο.

petrosqw · #77

Καποια άλλη λυση για το πρόβλημα 4;

christinat · #78

petrosqw έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 04, 2019 1:35 pm
Καποια άλλη λυση για το πρόβλημα 4;

$i)P(y)-2017=0\Rightarrow a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_{1}y+(a_{0}-2017)=0$

Έστω $Q(x)=x^{2}+x-4$
Η θετική ρίζα της εξίσωσης Q(x)=0

είναι η $y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ ,άρρητος

P(x)-2017=Q(x)R(x)+U(x)

(1)
Επειδή το Q(x)

είναι δευτεροβάθμιο πολυωνυμο θα ισχύει ότι maxdeg U(x)=1

Οποτε

,όπου

ρητοί
$R(x)=c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{1}x+c_{0}$

Πολλαπλασιάζοντας τα πολυωνυμα Q(y)

και

έχουμε
$a_{0}-2017=-4c_{0}\equiv 0(mod2)$ και αφού $2017\equiv 1(mod2)$ τοτε $a_{0}\equiv 1(mod2)$

Αφού Q(y)

παράγοντας του P(y)

$py+q=0\Rightarrow py=-q$ (2)
Όμως επειδή

άρρητος η μόνη δυνατή επιλογή για να ισχύει η σχεση (2) είναι p=q=0

Θέτοντας στην (1) όπου x=1

προκύπτει ότι
$P(1)-2017=Q(1)R(1)+U(1)\Rightarrow a_{_n}+a_{n-1}+...+a_{1}+(a_{0}-2017)=-2R(1)+(p+q)\Rightarrow a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}+a_{0}=-2R(1)+2017+(p+q)$

Όμως p=q=0

Άρα $a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}+a_{0}=-2R(1)+2017\equiv 1(mod2)$

ii)Ισχύει ότι $a_{0}\equiv 1(mod2)$
$a_{i}\geq 0$ ,όπου i=0,1,..,n

$a_{i }\equiv 0(mod2)$ ή $a_{i }\equiv 1(mod2)$

Οποτε $min a_{i }=0$ ή $min a_{i }=2$
$min a_{i }=1$ ή $min a_{i }=3$

Αφού $a_{0}-2017=-4c_{0}\Rightarrow -2016=-4c_{0}\Rightarrow c_{0}=504$

$(x^{2}+x-4)R(x)=(x^{2}+x-4)(c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{1}x+c_{0})=-4c_{0}-4c_{1}x-...-4c_{n-3}x^{n-3}-4c_{n-2}x^{n-2}+c_{0}x+c_{1}x^{2}+...+c_{n-3}x^{n-2}+c_{n-2}x^{n-3}+c_{0}x^{2}+c^{1}x^{3}+...+c_{n-3}x_{n-3}+c_{n-2}x^{n}$

$a_{n}=c_{n-2}$

$-4c_{1}x+c_{0}x=a_{1}x\Rightarrow a_{1}=c_{0}-4c_{1}=504-4c_{1}$

$2\mid a_{1}$ : $a_{1}=4(126-c_{1})\Rightarrow c_{1}=126$ .Αρα $a_{1}=0$

Αν $a_{1}=2$ : $4c_{1}=502$ ,άτοπο

$a_{2}=-4c_{2}+c_{1}+c_{0}\Rightarrow a_{2}=-4c_{2}+126+504\Rightarrow a_{2}=-4c_{2}+630$

$2\mid a_{2}$ : $a_{2}=0$ ή $a_{2}=2$
Αν $a_{2}=2$ : $4c_{2}=628\Rightarrow c_{2}=157$

$a_{3}x^{3}=-4c_{3}x^{3}+c_{2}x^{3}+c_{1}x^{3}\Rightarrow a_{3}=-4c_{3}+c_{2}+c_{1}\Rightarrow a_{3}=-4c_{3}+157+126\Rightarrow a_{3}=-4c_{3}+283$

Πρέπει $a_{3}=1$ ή $a_{3}=3$
Αν $a_{3}=3$ : $4c_{3}=280\Rightarrow c_{3}=270$

$a_{4}=-4c_{4}+c_{3}+c_{2}\Rightarrow a_{4}=-3c_{4}+227$
Πρέπει $a_{4}=1$ ή $a_{4}=3$
Η ισότητα ικανοποιείται μόνο όταν $a_{4}=3\Rightarrow 4c_{4}=224\Rightarrow c_{4}=56$

$a_{5}=-4c_{5}+c_{4}+c_{3}\Rightarrow a_{5}=-4c_{5}+126$
Οποτε $a_{5}=0$ ή $a_{5}=2$
Εύκολα προκύπτει ότι $a_{5}=2\Rightarrow 4c_{5}=124\Rightarrow c_{5}=31$

$a_{6}=-4c_{6}+c_{5}+c_{4}\Rightarrow a_{6}=-4c_{6}+87$
Πρέπει $a_{6}=1$ ή $a_{6}=3$
$a_{6}=3\Rightarrow 4c_{6}=84\Rightarrow c_{6}=21$

$a_{7}=-4c_{7}+c_{6}+c_{5}\Rightarrow a_{7}=-4c_{7}+52$
Οποτε $a_{7}=0$ ή $a_{7}=2$
$a_{7}=0\Rightarrow 4c_{7}=52\Rightarrow c_{7}=13$

$a_{8}=-4c_{8}+c_{7}+c_{6}\Rightarrow a_{8}=-4c_{8}+34$
Πρέπει $a_{8}=0$ ή $a_{8}=2$
$a_{8}=2\Rightarrow 4c_{8}=32\Rightarrow c_{8}=8$

$a_{9}=-4c_{9}+c_{8}+c_{7}\Rightarrow a_{9}=-4c_{9}+21$
$a_{9}=3$ ή $a_{9}=1$
$a_{9}=1\Rightarrow 4c_{9}=20\Rightarrow c_{9}=5$

$a_{10}=-4c_{10}+c_{9}+c_{8}\Rightarrow a_{10}=-4c_{10}+13$
$a_{10}=1$ ή $a_{10}=3$
$a_{10}=1\Rightarrow 4c_{10}=12\Rightarrow c_{10}=3$

$a_{11}=-4c_{11}+c_{10}+c_{9}\Rightarrow a_{11}=-4c_{11}+8$
$a_{11}=0$ ή $a_{11}=2$
$a_{11}=0\Rightarrow 4c_{11}=12\Rightarrow c_{11}=3$

$a_{12}=-4c_{12}+c_{11}+c_{10}\Rightarrow a_{12}=-4c_{12}+5$
$a_{12}=3$ ή $a_{12}=1$
$a_{12}=1\Rightarrow 5c_{12}=5\Rightarrow c_{12}=1$

$a_{13}=-4c_{13}+c_{12}+c_{11}\Rightarrow a_{13}=-4c_{13}+3$
$a_{13}=3$ ή $a_{13}=1$
$a_{13}=3\Rightarrow 4c_{13}=0\Rightarrow c_{13}=0$

$a_{14}=-4c_{14}+c_{13}+c_{12}\Rightarrow a_{14}=-4c_{14}+1$
$a_{14}=3$ ή $a_{14}=1\Rightarrow 4c_{14}=0\Rightarrow c_{14}=0$

Άρα $a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}+a_{0}=23$ (ελάχιστη τιμή)

petrosqw · #79

Χριστινα απλά RESPECT!!!!!!

Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Re: Αρχιμήδης 2017

Μέλη σε σύνδεση