Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 8
Αν οι ρίζες της , να βρεθεί η τιμή της παράστασης
Σχόλιο: Υπάρχει λύση με πολλές πράξεις. Η ιδέα είναι να την αποφύγουμε. Πάντως, πέρα από την επίπονη λύση, υπάρχει μία με λίγες γραμμές και υπάρχει μία ακόμα καλύτερη, με δύο γραμμές.
Αν οι ρίζες της , να βρεθεί η τιμή της παράστασης
Σχόλιο: Υπάρχει λύση με πολλές πράξεις. Η ιδέα είναι να την αποφύγουμε. Πάντως, πέρα από την επίπονη λύση, υπάρχει μία με λίγες γραμμές και υπάρχει μία ακόμα καλύτερη, με δύο γραμμές.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 8
Είναι:
Το γινόμενο των τεσσάρων παρενθέσεων είναι:
όπου
Άρα
Επομένως,
Είναι:
Το γινόμενο των τεσσάρων παρενθέσεων είναι:
όπου
Άρα
Επομένως,
Στράτης Αντωνέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Γράφω την λύση που είχα κατά νου.
και κυκλικά. Άρα η δοθείσα ισούται με
.
Έχουμε . Παρατηρούμε ότιMihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8
Αν οι ρίζες της , να βρεθεί η τιμή της παράστασης
και κυκλικά. Άρα η δοθείσα ισούται με
.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Δεκ 08, 2016 12:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4099
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αυτές οι ασκήσεις κλασικής άλγεβρας μου αρέσουν πολύ!Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Αν οι ρίζες της , να δείξετε ότι
Καταρχήν παρακάτω όταν χρησιμοποιείται το σύμβολο άθροισης εννοούμε και όταν οι δείκτες είναι περισσότεροι από δύο εννοούμε ότι είναι διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο.
Από τους τύπους Vieta έχουμε
και λόγω των παραπάνω και της ταυτότητας
παίρνουμε
Πάμε τώρα στη λύση της άσκησης:
Επειδή το δεν είναι λύση της εξίσωσης, άρα
Επίσης για κάθε αριθμό που ικανοποιεί την αρχική εξίσωση ισχύει
κι έτσι
Έτσι
.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 9
Νομίζω ότι μπορούμε να γλυτώσουμε λίγες πράξεις.
Εχουμε
Αρα
Δηλαδή
Αν θέσουμε
Τότε έχουμε
Από τις σχέσεις του Vieta προκύπτει ότι (εδώ κλέβω λίγο)
οπότε παίρνουμε το ζητούμενο.
Νομίζω ότι μπορούμε να γλυτώσουμε λίγες πράξεις.
Εχουμε
Αρα
Δηλαδή
Αν θέσουμε
Τότε έχουμε
Από τις σχέσεις του Vieta προκύπτει ότι (εδώ κλέβω λίγο)
οπότε παίρνουμε το ζητούμενο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ναι, το έχει κάποια δουλειά, γι' αυτό υποθέτω ότι ο Αλέξανδρος πήγε μέσω .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
...
Από τις σχέσεις του Vieta προκύπτει ότι (εδώ κλέβω λίγο)
οπότε παίρνουμε το ζητούμενο.
Για λόγους πληρότητας καταγράφω μερικά (άθροισμα δυνάμεων των ριζών).
και
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 10
Αν οι ρίζες της , να δείξετε ότι
Σχόλιο: Έχω δύο πολύ διαφορετικές ωραίες λύσεις.
Για να γλυτώσετε πράξεις μπορείτε να πάρετε ως δεδομένο (αν το χρειαστείτε) ότι
και
.
Αν οι ρίζες της , να δείξετε ότι
Σχόλιο: Έχω δύο πολύ διαφορετικές ωραίες λύσεις.
Για να γλυτώσετε πράξεις μπορείτε να πάρετε ως δεδομένο (αν το χρειαστείτε) ότι
και
.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 11
Αν κάποιο πολυώνυμο , -οστού βαθμού , με και ακέραιους συντελεστές ,
παίρνει την τιμή για τέσσερις διαφορετικές μεταξύ τους ακέραιες τιμές του , δείξτε
ότι το πολυώνυμο δεν παίρνει την τιμή , για καμμιά ακέραια τιμή του . ( Παλιά σχολική )
Αν κάποιο πολυώνυμο , -οστού βαθμού , με και ακέραιους συντελεστές ,
παίρνει την τιμή για τέσσερις διαφορετικές μεταξύ τους ακέραιες τιμές του , δείξτε
ότι το πολυώνυμο δεν παίρνει την τιμή , για καμμιά ακέραια τιμή του . ( Παλιά σχολική )
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ονομάζουμε τις τέσσερις διαφορετικές μεταξύ τους ακέραιες τιμές για τις οποίες ισχύειKARKAR έγραψε:Άσκηση 11
Αν κάποιο πολυώνυμο , -οστού βαθμού , με και ακέραιους συντελεστές ,
παίρνει την τιμή για τέσσερις διαφορετικές μεταξύ τους ακέραιες τιμές του , δείξτε
ότι το πολυώνυμο δεν παίρνει την τιμή , για καμμιά ακέραια τιμή του . ( Παλιά σχολική )
και ορίζουμε το πολυώνυμο .
Τότε με πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.
Αν υπήρχε ακέραιος τέτοιος, ώστε θα είχαμε .
Οι ακέραιοι θα πρέπει να είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους (αφού και οι ακέραιοι είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους)
πράγμα αδύνατο αφού το πολύ τρεις διαφορετικοί ακέραιοι έχουν γινόμενο ή (π.χ. ).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
KARKAR έγραψε:Άσκηση 11
( Παλιά σχολική )
Θαυμάσια.nikkru έγραψε: Τότε με πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.
Θα ήθελα να ρώταγα ποια είναι η απόδειξη στο παλιό σχολικό βιβλίο του παραπάνω ωραιότατου αποτελέσματος;
Μην μου δώσετε "κάποια απόδειξη" (ξέρω δύο, άλλωστε το χρησιμοποίησα στην λύση μου της ΑΣΚΗΣΗΣ 4). Η ερώτησή μου είναι "ποια ήταν η απόδειξη στο τότε σχολικό βιβλίο".
Το ρωτάω γιατί σπάνια βλέπω το παραπάνω θεώρημα καταγεγραμμένο στα βιβλία, πλην όμως είναι χρησιμότατο. Είναι ειδική περίπτωση του εξής, που ονομάζεται Θεώρημα Gauss:
Αν ένα μη μηδενικό πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές γράφεται ως γινόμενο δύο πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές τότε γράφεται και ως γινόμενο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και με ακριβώς τους ίδιους βαθμούς, αντίστοιχα, με τα .
Για παράδειγμα το γράφεται ως γινόμενο πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές ως . Όπως εξασφαλίζει το Θεώρημα Gauss, έχουμε και την γραφή που οι συντελεστές είναι ακέραιοι και οι βαθμοί διατηρούνται.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Η άσκηση είναι από το βιβλίο Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Ύλη επιλογής , έκδοση 1981 . Τόσο σ' αυτό , όσο και
στο παραπλήσιας ύλης βιβλίο - σταθμό του Η. Ντζιώρα : Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , έκδοση 1972 , δεν υπάρχει
αναφορά στο παραπάνω θεώρημα . Νομίζω πάντως , ότι η η υπόδειξη για τη λύση - που είναι
αυτή ακριβώς του nikkru - υπονοεί τη χρήση του . Οπότε , Μιχάλη , θα ήταν επιθυμητό να
αναρτήσεις κάποια απόδειξη ( έστω παραπομπή ) ...
στο παραπλήσιας ύλης βιβλίο - σταθμό του Η. Ντζιώρα : Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , έκδοση 1972 , δεν υπάρχει
αναφορά στο παραπάνω θεώρημα . Νομίζω πάντως , ότι η η υπόδειξη για τη λύση - που είναι
αυτή ακριβώς του nikkru - υπονοεί τη χρήση του . Οπότε , Μιχάλη , θα ήταν επιθυμητό να
αναρτήσεις κάποια απόδειξη ( έστω παραπομπή ) ...
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Γεια σου ΘανάσηKARKAR έγραψε:Η άσκηση είναι από το βιβλίο Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Ύλη επιλογής , έκδοση 1981 . Τόσο σ' αυτό , όσο και
στο παραπλήσιας ύλης βιβλίο - σταθμό του Η. Ντζιώρα : Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , έκδοση 1972 , δεν υπάρχει
αναφορά στο παραπάνω θεώρημα . Νομίζω πάντως , ότι η η υπόδειξη για τη λύση - που είναι
αυτή ακριβώς του nikkru - υπονοεί τη χρήση του . Οπότε , Μιχάλη , θα ήταν επιθυμητό να
αναρτήσεις κάποια απόδειξη ( έστω παραπομπή ) ...
Εστω ενα πολυώνυμο.
Αλλά έχουμε ότι
Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη παίρνουμε
οπου πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιες παραστάσεις
των συντελεστών του και του
Προφανώς αν το εχει ακέραιους συντελεστές και το είναι ακέραιος τότε και
οι συντελεστές του είναι ακέραιοι.
Αν λοιπόν τότε .
Αν το εχει και άλλη ρίζα δηλαδή
τότε και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία.
Να σημειώσω ότι το αποτέλεσμα ισχύει σε κάθε ακέραια περιοχή.
Η σχέση ισχύει σε κάθε μεταθετικό δακτύλιο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Θανάση, ευχαριστώ θερμά.KARKAR έγραψε:Η άσκηση είναι από το βιβλίο Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Ύλη επιλογής , έκδοση 1981 . Τόσο σ' αυτό , όσο και
στο παραπλήσιας ύλης βιβλίο - σταθμό του Η. Ντζιώρα : Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , έκδοση 1972 , δεν υπάρχει
αναφορά στο παραπάνω θεώρημα .
Δεν έχω τα εν λόγω βιβλία, αλλά θα ανατρέξω να τα βρω. Έχω μόνο του Ντζιώρα σε άλλη έκδοση (Αλγεβρα - Τριγωνομετρία, Β' Λυκείου 1980) αλλά δεν περιέχει την άσκηση.
Με πρόλαβε ο Σταύρος.
Ας προσθέσω ότι, ειδικά για την περίπτωση που το ένα πολυώνυμο είναι το τότε δεν χρειαζόμαστε την πλήρη μορφή του θεωρήματος που ανέφερα. Όπως έδειξε ο Σταύρος, εύκολα βλέπουμε ότι "πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ίσον επί πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές". Εδώ ακέραια ρίζα.
Τα βιβλία εκείνης της εποχής ήσαν εξαιρετικά, απόλαυση για τον δυνατό μαθητή, αλλά μάλλον δύσκολα για τον μέσο μαθητή. Βέβαια η παιδεία είχε τότε τελείως άλλους στόχους και υπήρχαν εξετάσεις για να πας από το Γυμνάσιο στο Λύκειο. Το άνοιγμά της προς όλους είναι ένα από τα μεγάλα βήματα της κοινωνίας, έστω και αν υπάρχει μια σχετική έκπτωση στο βάθος των ειδικών γνώσεων που αποκτούν οι μαθητές.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Παραπάνω είχα αναφερθεί σε δύο αποδείξεις του θεωρήματοςKARKAR έγραψε: θα ήταν επιθυμητό να αναρτήσεις κάποια απόδειξη
"πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ίσον επί πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, όπου ακέραια ρίζα του αρχικού".
Η ωραία απόδειξη του Σταύρου έχει το πλεονέκτημα ότι αναδεικνύει την αιτία: Βασίζεται στην παρατήρηση ότι το δεξί μέλος της έχει μόνο ακέραιους συντελεστές.
Ας δούμε άλλη μία.
Έχουμε
όπου τα είναι ακέραιοι και θέλουμε να δείξουμε το ίδιο για τα
Συγκρίνοντας τους συντελεστές των στα δύο μέλη έχουμε διαδοχικά
...
...
Από την πρώτη βγάζουμε ότι ο είναι ακέραιος. Με χρήση αυτού στην δεύτερη βγάζουμε ότι ο είναι ακέραιος. Συνεχίζουμε με όμοιο τρόπο προς τα κάτω μέχρι τον τελευταίο, που δείχνει όλοι οι είναι ακέραιοι, όπως θέλαμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
α) Ονομάζω τις ρίζες της ζητούμενης εξίσωσης.Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω ότι η έχει μη μηδενικές ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Με χρήση των αποτελεσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η αρχική εξίσωση να έχει μία ρίζα ίση με το γινόμενο των άλλων δύο είναι
.
Σχόλιο: Η παραπάνω άσκηση μαζί και η προηγούμενη μας δίνει μία τεχνική να βρίσκουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε τα ισχύει κάποια ταυτότητα μεταξύ των ριζών. Ανάλογα με την περίπτωση, κατασκευάζουμε μία εξίσωση με κατάλληλες ρίζες.
Τότε, με χρήση των τύπων Vieta παίρνουμε: ,
και
.
Επομένως η εξίσωση ή ισοδύναμα η εξίσωση
(1) έχει ρίζες τις .
β) Στην περίπτωση που η αρχική εξίσωση έχει μία ρίζα ίση με το γινόμενο των άλλων, π.χ. δηλαδή η (1) έχει ρίζα το 1,
ή ισοδύναμα .
Έτσι, ικανή και αναγκαία συνθήκη η αρχική εξίσωση να έχει μία ρίζα ίση με το γινόμενο των άλλων δύο είναι
.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Νίκο, ευχαριστούμε.Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω ότι η έχει μη μηδενικές ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Με χρήση των αποτελεσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η αρχική εξίσωση να έχει μία ρίζα ίση με το γινόμενο των άλλων δύο είναι
.
Η μία από τις δύο λύσεις που γνωρίζω, είναι η παραπάνω του Νίκου.
Δίνω μία δεύτερη με λιγότερες πράξεις και χωρίς Vieta (πλην πολύ μικρής χρήσης στο πρώτο βήμα). Το τέχνασμα που εμπεριέχει μπορεί να χρησιμοποιηθεί και αλλού:
Είναι
Οπότε αν ονομάσουμε την τυπική ρίζα, ισχύει όπου ρίζα της αρχικής. Άρα .
Η αρχική γράφεται . Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε , άρα
Διώχνοντας τους παρονομαστές έπεται
,
και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15771
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 12
Έστω ότι η έχει ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Σχόλιο: Μπορούμε να αποφύγουμε Vieta, που οδηγεί σε επίπονες πράξεις.
Για έλεγχο δίνω την απάντηση, αλλά παρακαλώ μην την χρησιμοποιήσετε:
Μένει αναπάντηση η ΑΣΚΗΣΗ 10.
Έστω ότι η έχει ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Σχόλιο: Μπορούμε να αποφύγουμε Vieta, που οδηγεί σε επίπονες πράξεις.
Για έλεγχο δίνω την απάντηση, αλλά παρακαλώ μην την χρησιμοποιήσετε:
Μένει αναπάντηση η ΑΣΚΗΣΗ 10.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4099
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Από τους γενικευμένους τύπους Vieta έχουμεMihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12
Έστω ότι η έχει ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Σχόλιο: Μπορούμε να αποφύγουμε Vieta, που οδηγεί σε επίπονες πράξεις.
Για έλεγχο δίνω την απάντηση, αλλά παρακαλώ μην την χρησιμοποιήσετε:
Μένει αναπάντηση η ΑΣΚΗΣΗ 10.
Αφού , άρα κι έτσι
Όμοιες σχέσεις ισχύουν για τα και .
Για ευκολία ονομάζουμε , και .
Τότε η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής όπου
Είναι λοιπόν
Επειδή
Άρα
όπου χρησιμοποιήσαμε ότι και όμοια
Τέλος, είναι προφανές ότι
Έτσι η ζητούμενη εξίσωση είναι η
Αλέξανδρος
Υ.Γ. Έκανα τη λύση και μετά είδα το σχόλιο του κ. Μιχάλη για την αποφυγή των τύπων Vieta. Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες