ln2 < 0,699

#1

Με αφορμή αυτό ... προτείνω την ανισότητα του τίτλου

Λάμπρος Κατσάπας · #2

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 1:07 pm
Με αφορμή αυτό ... προτείνω την ανισότητα του τίτλου

Καλησπέρα. Νομίζω το παρακάτω δίνει καλύτερη εκτίμηση.

Ξεκινάμε από τη βασική ανισότητα $\ln x-\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}<0,x>1$ και ολοκληρώνουμε από

έως

Παίρνουμε: $\left [ x\ln x-x \right ]_{1}^{2}< \left [ \dfrac{2x^{3/2}}{3}-2x^{1/2}\right ]_{1}^{2}$

$\Rightarrow 2\ln 2-1<\dfrac{4\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2}-\dfrac{2}{3}+2$

$\Rightarrow \ln2<\dfrac{7-2\sqrt{2}}{6}<0,699.$

#3

Λάμπρο πολύ ωραία, πράγματι κατέβασες το άνω φράγμα στο 0,696

'περίπου'! Με μία μικρή 'επέκταση' της μεθόδου μου πιάνω 0,694,

υποθέτω πως κάτι ανάλογο θα συμβαίνει και με την δική σου μέθοδο. Θα επανέλθω αργότερα, αναμένοντας και άλλες λύσεις.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 3:06 pm
Με μία μικρή 'επέκταση' της μεθόδου μου πιάνω 0,694,

Ας το πάμε παρακάτω. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο που έβαλα στην παραπομπή.

Είναι $\ln\left ( \dfrac{1+x}{1-x} \right )=2x+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{5}+...$

$<2x+\dfrac{2x^3}{3}\left ( 1+x^2+x^4+... \right )=2x+\dfrac{2x^3}{3}\dfrac{1}{1-x^2}.$

Αν θέσουμε $x=\dfrac{1}{3}$ στην τελευταία ανισότητα παίρνουμε:

$\ln2<\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{72}\approx 0,694.$ (προσέγγιση με δύο μόνο κλάσματα!)

Ακόμα καλύτερα:

$2x+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{5}+...<2x+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{5}\left ( 1+x^2+x^4+... \right )$

$=2x+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{5}\dfrac{1}{1-x^2}.$

Θέτουμε $x=\dfrac{1}{3}$ και παίρνουμε:

$\ln2<\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{81}+\dfrac{2}{1080}\approx 0,6932.$ (προσέγγιση με τρια μόνο κλάσματα!)

#5

Λάμπρο πολύ ωραία!

Ιδού η αρχική μου προσέγγιση:

Θέτοντας x=ln2

στην 'ημισχολική' ανισότητα $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$ (που προκύπτει με δύο ολοκληρώσεις από την e^x>1+x

) ... λαμβάνουμε την ανισότητα (ln2)^3+3(ln2)^2+6(ln2)-6<0.

Επειδή η συνάρτηση f(t)=t^3+3t^2+6t-6

είναι προφανώς αύξουσα για t>0

(στην πραγματικότητα παντού), αρκεί για την ln2<0,699

να δειχθεί η f(0,699)>0:

αυτό γίνεται εύκολα με το χέρι -- κατά την διάρκεια του πρωινού τσαγιού στην πραγματικότητα -- και προκύπτει η f(0,699)>0,0013>0.

[Αναφέρω απλώς ότι f(0,698)<0.

]

Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε την $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}$ με τον ίδιο τρόπο, πάλι με το χέρι βρίσκουμε g(0,694)>0,0029>0,

όπου

(Ουσιαστικά το άνω φράγμα είναι η ρίζα του πολυωνύμου, $\approx 0,69889$ στην περίπτωση της

και $\approx 0,6939$ στην περίπτωση της

)

Αναλόγως η μέθοδος μου μπορεί να δώσει και πιο σφικτά άνω φράγματα, μειονεκτεί όμως έναντι της μεθόδου του Λάμπρου, αν μη τι άλλο επειδή είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογισθεί εκ των προτέρων 'πόσους όρους' χρειαζόμαστε για 'δεδομένο' άνω φράγμα. (Ίσως επανέλθω επ' αυτού αργότερα.)

#6

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 7:30 pm
Αναλόγως η μέθοδος μου μπορεί να δώσει και πιο σφικτά άνω φράγματα, μειονεκτεί όμως έναντι της μεθόδου του Λάμπρου, αν μη τι άλλο επειδή είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογισθεί εκ των προτέρων 'πόσους όρους' χρειαζόμαστε για 'δεδομένο' άνω φράγμα. (Ίσως επανέλθω επ' αυτού αργότερα.)

Όχι ακριβώς, η 'πρόβλεψη' δεν είναι εύκολη υπόθεση ούτε στην μία μέθοδο ούτε στην άλλη. Απλώς η μέθοδος του Λάμπρου υπερτερεί επειδή μας δίνει μία ακολουθία αθροισμάτων κλασμάτων που συγκλίνει εκ των άνω στον ln2,

ενώ η δική μου μέθοδος μας δίνει μία ακολουθία πολυωνύμων των οποίων η μεγαλύτερη ρίζα επίσης συγκλίνει εκ των άνω στον ln2:

και τα κλάσματα του Λάμπρου και τα πολυώνυμα μου είναι πολύ προσιτά και συγκεκριμένα, στην δική μου όμως μέθοδο έχουμε να βρούμε/προσεγγίσουμε ρίζες πολυωνύμων, ενώ στην μέθοδο του Λάμπρου απλώς να αθροίσουμε κλάσματα.

ksofsa · #7

Καλησπέρα.

Ας παρατηρηθεί ότι από το συνεχές κλάσμα που αναφέρεται στην παραπομπή, μπορούμε να πάρουμε και την από πάνω προσέγγιση

$\dfrac{2}{3-\dfrac{1}{8}}=\dfrac{16}{23}\approx 0,69565$ .

Το αναφέρω, για να υπάρχει σαν πληροφορία.

ln2 < 0,699

ln2 < 0,699

Re: ln2 < 0,699

Re: ln2 < 0,699

Re: ln2 < 0,699

Re: ln2 < 0,699

Re: ln2 < 0,699

Re: ln2 < 0,699

Μέλη σε σύνδεση