Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 02, 2023 4:44 pm
Βρείτε την τιμή του έτσι ώστε το $\displaystyle\frac{\int\limits_{0}^{\pi /2}{(\sin x+t\cos x)\,dx}}{\sqrt{\int\limits_{0}^{\pi /2}{{{(\sin x+t\cos x)}^{2}}\,dx}}}\,\,\,$ να μεγιστοποιείται.

Από τα $\int\limits_{0}^{\pi /2}\sin x dx = \int\limits_{0}^{\pi /2}\cos x dx= 1$ και $\int\limits_{0}^{\pi /2}\sin ^2 x dx = \int\limits_{0}^{\pi /2}\cos ^2 x dx= \pi /4$ και $2\int\limits_{0}^{\pi /2}\sin x \cos x dx= 1$ η δοθείσα παράσταση ισούται

$\displaystyle\dfrac{2(1+t) }{\sqrt{\pi +4t +t^2 \pi}}$

Το μέγιστο αυτού μπορούμε να το βρούμε παραγωγίζοντας. Η παράγωγος είναι $\displaystyle\dfrac{2(1-t)(\pi -2) }{(\pi +4t +t^2 \pi )^{3/2}}$

Μηδενίζεται για t=1

και προφανώς (από το πρόσημο της παραγώγου) έχει μέγιστο σε αυτή την τιμή του

. Η τιμή του μεγίστου είναι

$\displaystyle\dfrac{2(1+1) }{\sqrt{\pi +4 + \pi}}= \dfrac{4}{\sqrt{2\pi +4 }}$

#3

Ας το δυσκολέψουμε

Βρείτε την τιμή του

έτσι ώστε το $\displaystyle\frac{\int\limits_{0}^{\pi /2}{(\sin^{2023} x+t\cos^{2023} x)\,dx}}{\sqrt{\int\limits_{0}^{\pi /2}{{{(\sin^{2023} x+t\cos^{2023} x)}^{2}}\,dx}}}\,\,\,$ να μεγιστοποιείται.

ksofsa · #4

Θέτουμε $a=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{2023}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2023}xdx$ ,

$b=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{2023}xcos^{2023}xdx$ και

$c=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{4046}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^{4046}xdx$ .

Ισχύει b< c

(διότι $2c-2b=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(sin^{2023}x-cos^{2023}x)^2dx>0$ ).

Είναι $f(t)=\dfrac{a(1+t)}{\sqrt{ct^2+2bt+c}}$ , με παράγωγο $f'(t)=\dfrac{a(1-t)(c-b)}{(ct^2+2bt+c)^{\frac{3}{2}}}$ .

Η παράγωγος μηδενίζεται για t=1,

θέση μεγίστου όπως προκύπτει από το πρόσημο της παραγώγου.

Η απόδειξη ισχύει γενικά για κάθε εκθέτη φυσικό αριθμό.

#5

ksofsa έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 06, 2023 10:53 am
Η απόδειξη ισχύει γενικά για κάθε εκθέτη φυσικό αριθμό.

Σωστά. Ή ακόμη πιο γενικά στη θέση των $\sin{x},\cos{x}$ να έχουμε τις $f(x),f(\frac{\pi}{2}-x)$ για οποιαδήποτε μη αρνητική ολοκληρώσιμη συνάρτηση f(x)

. Επίσης, η συνάρτηση να μην είναι συμμετρική ως προς το $\frac{\pi}{4}$ διότι τότε η παράσταση θα είναι σταθερή.

Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

Re: Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

Re: Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

Re: Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

Re: Πηλίκο ορισμένων ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση