Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Tolaso J Kos · #1

Η συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ορίζεται ως: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &,x \in [0,1]\cap \left ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right ) \\ x_n &, x=q_n \in [0, 1]\cap \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$ όπου x_n

μια ακολουθία τέτοια ώστε $\lim x_n =0$ και $0\leq x_n \leq 1$ για κάθε

και

μια ακολουθία τέτοια ώστε $\displaystyle{\mathbb{Q}\cap \left [ 0, 1 \right ]=\left \{ q_n, \;\; n \in \mathbb{N} \right \}}$ .

Να δείξετε ότι η

είναι ${\rm Riemann}$ ολοκληρώσιμη και ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)\,dx=0}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Η συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ορίζεται ως: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &,x \in [0,1]\cap \left ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right ) \\ x_n &, x=q_n \in [0, 1]\cap \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$ όπου μια ακολουθία τέτοια ώστε $\lim x_n =0$ και $0\leq x_n \leq 1$ για κάθε και μια ακολουθία τέτοια ώστε $\displaystyle{\mathbb{Q}\cap \left [ 0, 1 \right ]=\left \{ q_n, \;\; n \in \mathbb{N} \right \}}$ .

Να δείξετε ότι η είναι ${\rm Riemann}$ ολοκληρώσιμη και ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)\,dx=0}$ .

Έστω $\epsilon >0$ . Αφού $x_n\to 0$ , υπάρχει n_0

με $0\le x_n <\epsilon$ για $n\ge n_0$ . Για τα αντίστοιχα $q_1, ... \, q_{n_0-1}$ των υπόλοιπων x_n

θεωρούμε ξένα ανά δύο διαστήματα I_k

με κέντρο τα εν λόγω σημεία και με συνολικό μήκος μικρότερο από $\epsilon$ . Θεωρούμε τώρα διαμέριση $P: \, 0=t_0<t_1<...< t_N=1$ που αποτελείται από τα άκρα των διαστημάτων αυτών. Τότε τα άνω και κάτω αθροίσματα Riemann L(f,P), U(f,P)

της διαμέρισης ικανοποιούν

α) $L(f,P) = \sum 0(t_k-t_{k-1}) = 0$ (χρησιμοποίησα πυκνότητα των αρρήτων) και

β) Το μέγιστο M_k

της συνάρτησης σε κάθε διάστημα της διαμέρισης είναι είτε κάποιο από τα x_n

με $n \le n_0-1$ είτε από τα υπόλοιπα. Τα μεν πρώτα είναι $\le 1$ (και το διάστημα που το περιέχει είναι ένα από τα I_k

) ενώ τα υπόλοιπα $< \epsilon$ . Άρα

$U(f,P) = \sum M_k(t_k-t_{k-1}) \le \sum 1I_k + \sum \epsilon (t_k-t_{k-1}) \le \epsilon + \epsilon (t_N-t_0) = 2\epsilon$

Άρα $U(f,P)-L(f,P) \le 2\epsilon$ . Από το κριτήριο Riemann η

είναι ολοκληρώσιμη και αφού $0=L(f,P) \le \int_{0}^{1}f(x)\,dx \le U(f,P) \le 2\epsilon$ , το ολοκλήρωμα ισούται με

.

#3

Καλημέρα
Κάπως αλλιώς: Εστω x_0

ένα άρρητος από το διάστημα [0,1]

και

μία ακολουθία σημείων του [0,1]

η οποία συγκλίνει στο x_0

.
1) Αν σχεδόν όλοι οι όροι της y_n

είναι μόνο άρρητοι τότε τελικά $f(y_{n})=0=f(x_{0})$ .
2) Αν σχεδόν όλοι οι όροι της όλοι y_n

είναι ρητοί έστω a_n

η υπακολουθία της y_n

που απαρτίζεται μόνο από τα ρητά σημεία της y_n

. Το σύνολο των όρων της ακολουθίας $f(a_{n})$ περιέχεται στο σύνολο των όρων της x_n

που έχει ένα μόνο σημείο συσσώρεσης: το

. 'Αρα η $f(a_{n})$ συγκλίνει στο $0=f(x_{0})$ και το αυτό ισχύει για την $f(y_{n})$ .
3) Αν τίποτε από τα παραπάνω δεν ισχύει τότε "χωρίζουμε" την y_n

σε δύο υπακολουθίες a_n

,

της

με ρητούς και άρρητους όρους που αμφότερες συγκλίνουν στο x_0

. Οι $f(a_{n})$ , $f(b_{n})$ συγκλίνουν στο $0=f(x_{0})$ άρα το αυτό ισχύει για την $f(y_{n})$ .
Βλέπουμε ότι η

είνα συνεχής στους άρρητους. Το σύνολο λοιπόν των σημείων ασυνεχείας της θα περιέχεται στους ρητούς του [0,1]

άρα θα έχει μέτρο

και επομένως η

είναι ολοκληρώσιμη.
Mε

να είναι το σύνολο των αρρήτων έχουμε $\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=\int_{A}f=0$ .
Μαυρογιάννης

#4

Ωραία η απόδειξη του Νίκου γιατί αναδεικνύει την ουσία.

Δίνω άλλη μία.

Ορίζουμε $\displaystyle{ f_n(x) = \left\{\begin{matrix} x_n& x\in \{q_1, ... \, , q_n \}\\ 0& x\notin \{q_1, ... \, , q_n \} \end{matrix}\right.}$ (διόρθωσα τυπογραφικό)

Προφανώς οι f_n

είναι Riemann ολοκληρώσιμες με $\displaystyle{\int _0^1f_n(x)\,dx =0}$ .

Επίσης $f_n \to f$ ομοιόμορφα διότι οι f,f_n

ταυτίζονται εκτός από τα σημεία $q_m\, , (m>n)$ οπότε

$\displaystyle{0\le |f(x)-f_n(x)| \le \sup \{ x_m \,|m >n\} \to 0}$ καθώς $n\to \infty$ (διότι $\lim x_n=0$ ).

Από θεωρία η

είναι Riemann ολοκληρώσιμη και έχουμε εναλλαγή ορίου, οπότε

$\displaystyle{\int _0^1f(x)\,dx = \int _0^1\lim f_n(x)\,dx = \lim \int _0^1f_n(x)\,dx =\lim 0=0}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:...
α) $L(f,P) = \sum 0(t_k-t_{k-1}) = 0$ (χρησιμοποίησα πυκνότητα των αρρήτων) και
...
$U(f,P) = \sum M_k(t_k-t_{k-1}) \le \sum 1I_k + \sum \epsilon (t_k-t_{k-1}) \le \epsilon + \epsilon (t_N-t_0) = 2\epsilon$

Ας προσθέσω ότι μπορούμε και με λιγότερο βαρύ εργαλείο να βγάλουμε το ίδιο συμπέρασμα στο βήμα που κοκκίνισα. Μας αρκεί το άμεσο $L(f,P) \ge 0$ αφού αργότερα αποδεικνύω ότι $U(f,P) \le 2\epsilon$ .

Την παρατήρηση αυτή την οφείλω στον πάντα οξυδερκή Δημήτρη Χριστοφίδη (Demetres) σε Π.Μ. που μου έστειλε.

Τον ευχαριστώ θερμά.

Tolaso J Kos · #6

Ευχαριστώ και τους

για τις λύσεις.

Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Re: Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Re: Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Re: Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Re: Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Re: Ολοκληρωσιμότητα κατά Riemann

Μέλη σε σύνδεση