Γεωμετρία σταθερών σημείων

#1

: Γεωμετρία σταθερών σημείων.png (10.48 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC,

ένα τυχόν σημείο

της υποτείνουσας

και

οι

προβολές του στις AB, AC.

Να δείξετε ότι η κάθετη από το

στην

διέρχεται από σταθερό σημείο.

48 ώρες μόνο για μαθητές!

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 11:16 am
Γεωμετρία σταθερών σημείων.png
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ένα τυχόν σημείο της υποτείνουσας και οι

προβολές του στις Να δείξετε ότι η κάθετη από το στην διέρχεται από σταθερό σημείο.

Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

ώστε να το βλέπουμε ως μέρος του τετραγώνου ABFC

. Υπόψη ότι και τα BGPD, PKCE

είναι και αυτά τετράγωνα.

Θα δείξουμε ότι το ζητούμενο σταθερό σημείο είναι το

.

Φέρνουμε την

και την προεκτείνoυμε μέχρι να τμήσει την

στο

. Θα αποδείξουμε ότι $FP \perp DE$ , από όπου έπεται το ζητούμενο (αφού η κάθετος αυτή από τo

διέρχεραι πάντα από το

).

Εύκολα βλέπουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα $GFP,\, PDE$ είναι ίσα (οι κάθετες πλευρές τους είναι αντίστοιχα ίσες). 'Επεται $\angle F_2=\angle E_2$ και, ως κατά κορυφήν , οι δύο γωνίες P_1

είναι ίσες. Άρα οι τρίτες γωνίες των τριγώνων $HEP,\, GPF$ είναι ίσες. Δηλαδή $\angle EHP= \angle PGF = 90^o$ , όπως θέλαμε.

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 78.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Ονομάζω

τη προβολή του

στην

και $N\equiv PK\cap AM$ .
Εφόσον η

είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου ANP

, έπεται ότι αυτό είναι ισοσκελές.
Δηλαδή το σημείο

είναι το συμμετρικό του

ως προς τη

, αφού το

κινείται πάνω σ΄ αυτή.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 11:16 am
Γεωμετρία σταθερών σημείων.png
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ένα τυχόν σημείο της υποτείνουσας και οι

προβολές του στις Να δείξετε ότι η κάθετη από το στην διέρχεται από σταθερό σημείο.

48 ώρες μόνο για μαθητές!

Μια μετρική λύση .

Θέτω $PE = a\,\,,\,\,PD = b$ . Υποθέτω ( χωρίς βλάβη της γενικότητας ) ότι η κάθετη πλευρά AC = AB = 1

.

Έχω λοιπόν, $a + b = 1\,\,\left( 1 \right)$ . Έστω τώρα , $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ τα σημεία τομής της

με την ευθεία

και την παράλληλό της από το

.

Ας είναι $PS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = y.$ Από την ομοιότητα των , $\vartriangle ESP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ADE$ , $\dfrac{{ES}}{{AD}} = \dfrac{{EP}}{{AE}} \Rightarrow {a^2} = b\left( {b + x} \right)$

Η προηγούμενη σχέση μετασχηματίζεται και λόγω της $\left( 1 \right)$ σε: $bx = {a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = a - b = 1 - 2b$ .

: Γεωμετρία σταθερών σημείων.png (14.77 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Λύνω ως προς

κι έχω : $x = \dfrac{{1 - 2b}}{b} \Leftrightarrow b\left( {x + 1} \right) = 1 - b\,\,\,\left( 4 \right)$

Από την άλλη μεριά και λόγω της ομοιότητας των $\vartriangle CSP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle BTP$ ,

$\dfrac{{CS}}{{BT}} = \dfrac{{CP}}{{BP}} \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow y = \dfrac{{b\left( {x + 1} \right)}}{{1 - b}}\,\,\left( 5 \right)$ που λόγω της $\left( 4 \right)$ δίδει : $\boxed{y = 1}$ δηλαδή το ABTC

είναι τετράγωνο.

KARKAR · #5

: DESCARTES.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Επειδή : $\lambda_{DE}=\dfrac{a-1}{a}$ , είναι : $\lambda_{\epsilon}=\dfrac{a}{1-a}$ και άρα η ευθεία μας έχει εξίσωση :

$y-1+a=\dfrac{a}{1-a}(x-a)$ , η οποία για κάθε : 0<a<1

,

διέρχεται προφανώς από το : S(1,1)

.

∫ot.T. · #6

Στο σχήμα που ακολουθεί το Q είναι η τομή του SP με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC.
Όμως αφού AQ κάθετη στην PQ (βαίνει σε ημικύκλιο), τότε τα A, Q, D, P, E, O_1 είναι ομοκυκλικά.

Για να διέρχεται η PT από το σταθερό σημείο S, αρκεί οι ED, AQ να είναι παράλληλες.
Τότε το T θα ανήκει στην PQ, άρα και στην SP, συνεπώς θα είναι S, P, T συνευθειακά.

Έχουμε $O_{1}O_{2}\perp AQ$ , αφού τα A, Q είναι τα σημεία τομής των δύο κύκλων. (1)

Όμως $\widehat{O_{1}AD}=\widehat{O_{1}ED}=45^{\circ}$ και $\widehat{O_{1}PE}=\widehat{O_{1}DE}=45^{\circ}$

Άρα $O_{1}ED$ ισοσκελές και αφού Ο_2 το μέσο του ED τότε $O_{1}O_{2}\perp ED$ (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι ED, AQ παράλληλες, άρα η PT διέρχεται από το σταθερό σημείο S.

#7

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Η δική μου μοιάζει περισσότερο με του Φάνη.

Έστω

το μέσο της υποτείνουσας και

η προβολή του

στην

Θα δείξω ότι το σημείο τομής

των

είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο.

: Γεωμετρία σταθερών σημείων.β.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Τα τρίγωνα MAE, MBD

είναι ίσα, άρα MD=ME

κι επειδή

μέσο των

θα είναι

Επομένως το

είναι μέσο του AT,

δηλαδή το

είναι η σταθερή τέταρτη κορυφή του τετραγώνου CABT.

Γεωμετρία σταθερών σημείων

Γεωμετρία σταθερών σημείων

Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων

Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων

Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων

Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων

Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων

Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων

Μέλη σε σύνδεση