Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 1
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{x^3-x^2+7x+3}{x^2+x+1}=\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}}$

Πρόβλημα 2
Δίνεται ημικύκλιο ακτίνας

με κέντρο

και με άκρα A,B

, και

σημείο τέτοιο ώστε το ABC

να είναι ισόπλευρο και το ημικύκλιο με το

να βρίσκονται εκατέρωθεν της

. Στην συνέχεια, παίρνουμε σημείο

στην

τέτοιο ώστε OE=EC

. Αν

είναι το σημείο τομής
της καθέτου από το

ως προς την

με το ημικύκλιο, και

σημείο της

έτσι ώστε το ZBME

να είναι εγγράψιμο, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου
που περικλείεται από τις πλευρές BM,MZ

και το τόξο

συναρτήσει του

.

Πρόβλημα 3
Αν ο

είναι θετικός ακέραιος και d_1,d_2, ... ,d_k, ... ,d_m

οι θετικοί ακέραιοι
διαιρέτες του με d_1<d_2<...<d_k<...<d_m

. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (n,k)

που
ικανοποιούν την εξίσωση:
n=d_1^2+d_2^2+d_k^2+d_1+d_2+d_k+12

Πρόβλημα 4
α) Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: x^2-6x+1=0

β) Να βρείτε

πραγματικούς αριθμούς a,b

με

για τους οποίους ο αριθμός:
$A=\displaystyle{\frac{(x^3-7x^2+7x)(x^3-5x^2-5x)}{x^4-6x^3+6x}}$
παίρνει την ίδια τιμή για x=a

και

καθώς και την τιμή που παίρνει.

harrisp · #2

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 3
Αν ο είναι θετικός ακέραιος και οι θετικοί ακέραιοι
διαιρέτες του με . Να βρεθούν όλα τα ζεύγη που
ικανοποιούν την εξίσωση:

Προφανώς

.

Επίσης n=d_1(d_1+1)+d_2(d_2+1)+d_k(d_k+1)+12

συνεπώς ειναι άρτιος.

Δηλαδή d_2=2

άρα

.

Επιπλέον n=ad_k

οπότε παίρνουμε $d_k|20 \Leftrightarrow d_k=4,5,10,20$ .

Παίρνοντας τις περιπτώσεις εχουμε:

(n,k)=(40,3),(50,3),(130,4),(440,8)

Edit: Διόρθωση απροσεξίας μετά απο το post του Γιάννη.

Ορέστης Λιγνός · #3

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 3
Αν ο είναι θετικός ακέραιος και οι θετικοί ακέραιοι
διαιρέτες του με . Να βρεθούν όλα τα ζεύγη που
ικανοποιούν την εξίσωση:

Καλησπέρα Γιάννη!

Προφανώς, d_1=1

.

Είναι, n=(d_1^2+d_1)+(d_2^2+d_2)+(d_k^2+d_k)+12

, όπου η κάθε παρένθεση είναι προφανώς άρτιος.

Άρα,

άρτιος και d_2=2

.

Έτσι, n=d_k^2+d_k+20

με $d_k \mid n$ ως διαιρέτης του.

Άρα, $d_k \mid n=d_k^2+d_k+20$ , οπότε $d_k \mid 20$ .

Συνεπώς, $d_k \in (4,5,10,20)$ και από εδώ με αντικατάσταση στην

, βρίσκουμε το

, και κατά συνέπεια και το

.

edit: Με πρόλαβε ο Χάρης. Γεια σου Χάρη!

Ορέστης Λιγνός · #4

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 1
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{x^3-x^2+7x+3}{x^2+x+1}=\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}}$

Μία λύση για αυτήν:

Από περιορισμούς, $1 \leqslant x \leqslant 3$ .

Προφανώς, $4x-x^2 \leqslant 4$ (ισοδυναμεί με την αληθή $(x-2)^2 \geqslant 0$ ).

Άρα, $RHS=\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3} \leqslant 2+1=3$ .

Άρα, $LHS=\dfrac{x^3-x^2+7x+3}{x^2+x+1} \leqslant 3 \Leftirightarrow \ldots (x-2)^2 \leqslant 0$ , που δίνει $\boxed{x=2}$ , που επαληθεύει.

Ορέστης Λιγνός · #5

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 4
α) Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
β) Να βρείτε πραγματικούς αριθμούς με για τους οποίους ο αριθμός:
$A=\displaystyle{\frac{(x^3-7x^2+7x)(x^3-5x^2-5x)}{x^4-6x^3+6x}}$
παίρνει την ίδια τιμή για και καθώς και την τιμή που παίρνει.

α) Παίρνουμε εύκολα $x=3 \pm 2\sqrt{2}$ .

β) Θέλουμε $\dfrac{(a^3-7a^2+7a)(a^3-5a^2-5a)}{a^4-6a^3+6a}=\dfrac{(b^3-7b^2+7b)(b^3-5b^2-5b)}{b^4-6b^3+6b}$ .

Επιλέγουμε a^3-7a^2+7a=b^3-7b^2+7b

(1),

(2) και

(3).

Έχουμε a<b

, άρα $a-b \neq 0$ .

Από την (1), με παραγοντοποιήση με a-b

παράγοντα και απλοποίηση του όρου αυτού (αφού είναι μη μηδενικός) παίρνουμε a^2+ab+b^2+7=7a+7b

(4)

Όμοια από τη (2), a^2+ab+b^2=5a+5b+5

(5)

Θέτουμε $x+y=s, \, xy=p$ και οι (4), (5) γίνονται p=s^2-7s+7

και

, με λύση

.

Συνεπώς, $a+b=6, \, ab=1$ , οπότε τα a,b

είναι λύσεις της t^2-6t+1=0

, που από το α), έχει ρίζες τις $3 \pm 2\sqrt{2}$ .

Έτσι, αφού a<b

, $\boxed{a=3-2\sqrt{2}}$ και $\boxed{b=3+2\sqrt{2}}$ .

Υ.Γ. Δεν χρησιμοποιήθηκε στην λύση η επιπλέον συνθήκη ότι a^4-6a^3+6a=b^4-6b^3+6b

(η σχέση (3) πιο πάνω), η οποία όμως, αν παραγοντοποιήσουμε όπως στην (1) και κάνουμε χρήση των s=a+b=6

και

καταλήγουμε σε μία αληθή ισότητα.

Γιάννης Μπόρμπας · #6

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 4
α) Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
β) Να βρείτε πραγματικούς αριθμούς με για τους οποίους ο αριθμός:
$A=\displaystyle{\frac{(x^3-7x^2+7x)(x^3-5x^2-5x)}{x^4-6x^3+6x}}$
παίρνει την ίδια τιμή για και καθώς και την τιμή που παίρνει.

α) Παίρνουμε εύκολα $x=3 \pm 2\sqrt{2}$ .

β) Θέλουμε $\dfrac{(a^3-7a^2+7a)(a^3-5a^2-5a)}{a^4-6a^3+6a}=\dfrac{(b^3-7b^2+7b)(b^3-5b^2-5b)}{b^4-6b^3+6b}$ .

Επιλέγουμε (1), (2) και (3).

Έχουμε , άρα $a-b \neq 0$ .

Από την (1), με παραγοντοποιήση με παράγοντα και απλοποίηση του όρου αυτού (αφού είναι μη μηδενικός) παίρνουμε (4)

Όμοια από τη (2), (5)

Θέτουμε $x+y=s, \, xy=p$ και οι (4), (5) γίνονται και , με λύση .

Συνεπώς, $a+b=6, \, ab=1$ , οπότε τα είναι λύσεις της , που από το α), έχει ρίζες τις $3 \pm 2\sqrt{2}$ .

Έτσι, αφού , $\boxed{a=3-2\sqrt{2}}$ και $\boxed{b=3+2\sqrt{2}}$ .

Υ.Γ. Δεν χρησιμοποιήθηκε στην λύση η επιπλέον συνθήκη ότι (η σχέση (3) πιο πάνω), η οποία όμως, αν παραγοντοποιήσουμε όπως στην (1) και κάνουμε χρήση των και καταλήγουμε σε μία αληθή ισότητα.

Ωραία! Ψάχνουμε όμως και την τιμή της παράστασης για αυτά τα a,b

Ορέστης Λιγνός · #7

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 4
α) Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
β) Να βρείτε πραγματικούς αριθμούς με για τους οποίους ο αριθμός:
$A=\displaystyle{\frac{(x^3-7x^2+7x)(x^3-5x^2-5x)}{x^4-6x^3+6x}}$
παίρνει την ίδια τιμή για και καθώς και την τιμή που παίρνει.

α) Παίρνουμε εύκολα $x=3 \pm 2\sqrt{2}$ .

β) Θέλουμε $\dfrac{(a^3-7a^2+7a)(a^3-5a^2-5a)}{a^4-6a^3+6a}=\dfrac{(b^3-7b^2+7b)(b^3-5b^2-5b)}{b^4-6b^3+6b}$ .

Επιλέγουμε (1), (2) και (3).

Έχουμε , άρα $a-b \neq 0$ .

Από την (1), με παραγοντοποιήση με παράγοντα και απλοποίηση του όρου αυτού (αφού είναι μη μηδενικός) παίρνουμε (4)

Όμοια από τη (2), (5)

Θέτουμε $x+y=s, \, xy=p$ και οι (4), (5) γίνονται και , με λύση .

Συνεπώς, $a+b=6, \, ab=1$ , οπότε τα είναι λύσεις της , που από το α), έχει ρίζες τις $3 \pm 2\sqrt{2}$ .

Έτσι, αφού , $\boxed{a=3-2\sqrt{2}}$ και $\boxed{b=3+2\sqrt{2}}$ .

Υ.Γ. Δεν χρησιμοποιήθηκε στην λύση η επιπλέον συνθήκη ότι (η σχέση (3) πιο πάνω), η οποία όμως, αν παραγοντοποιήσουμε όπως στην (1) και κάνουμε χρήση των και καταλήγουμε σε μία αληθή ισότητα.
Ωραία! Ψάχνουμε όμως και την τιμή της παράστασης για αυτά τα

Δίκιο έχεις.

Λοιπόν, ζητούμε την τιμή της παράστασης $A=\dfrac{(a^3-7a^2+7a)(a^3-5a^2-5a)}{a^4-6a^3+6a}$ , με τον περιορισμό a^2=6a-1

(γιατί;).

Με απλοποίηση $A=\dfrac{(a^2-7a+7)(a^3-5a^2-5a)}{a^3-6a^2+6}$ .

Είναι:

$\bullet$ a^2-7a+7=6a-1-7a+7=6-a

.

$\bullet$ $a^3-5a^2-5a=a \cdot a^2-5a^2-5a=a(6a-1)-5a^2-5a=a^2-6a=-1$ .

$\bullet$ $a^3-6a^2+6=a \cdot a^2-6a^2+6=a(6a-1)-6a^2+6=6-a$ .

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, είναι άμεσο ότι A=-1

.

Ορέστης Λιγνός · #8

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 2
Δίνεται ημικύκλιο ακτίνας με κέντρο και με άκρα , και
σημείο τέτοιο ώστε το να είναι ισόπλευρο και το ημικύκλιο με το
να βρίσκονται εκατέρωθεν της . Στην συνέχεια, παίρνουμε σημείο
στην τέτοιο ώστε . Αν είναι το σημείο τομής
της καθέτου από το ως προς την με το ημικύκλιο, και σημείο της
έτσι ώστε το να είναι εγγράψιμο, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου
που περικλείεται από τις πλευρές και το τόξο συναρτήσει του .

Τα στοιχεία του σχήματος είναι προφανή.

Έστω

το ζητούμενο εμβαδόν.

Έστω E_1

το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο την

, που περιέχει το

.

Έστω επίσης E_2

το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος MOB

.

Πρφοφανώς, E=E_1-E_2

.

Είναι $E_1=\dfrac{\pi R^2}{2}$ (1).

Ακόμη, $\displasyetyle E_2=E_{\textnormal{\gr κυκλικός τομέας MOB}}-(BOM)=\dfrac{\pi R^2}{6}-\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}$ , οπότε $E_2=\dfrac{\pi R^2}{6}-\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}$ (2).

Από (1), (2) έχουμε $E=E_1-E_2=\dfrac{\pi R^2}{2}-(\dfrac{\pi R^2}{6}-\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4})=\dfrac{\pi R^2}{3}+\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}$ .

: diagonisma4-2.png (26.09 KiB) Προβλήθηκε 1565 φορές

Γιάννης Μπόρμπας · #9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 3
Αν ο είναι θετικός ακέραιος και οι θετικοί ακέραιοι
διαιρέτες του με . Να βρεθούν όλα τα ζεύγη που
ικανοποιούν την εξίσωση:

Προφανώς .

Επίσης συνεπώς ειναι άρτιος.

Δηλαδή άρα .

Επιπλέον οπότε παίρνουμε $d_k|20 \Leftrightarrow d_k=4,5,10,20$ .

Παίρνοντας τις περιπτώσεις εχουμε:

Αν

τότε

και

Κατερινόπουλος Νικόλας · #10

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Δίκιο έχεις.

Λοιπόν, ζητούμε την τιμή της παράστασης $A=\dfrac{(a^3-7a^2+7a)(a^3-5a^2-5a)}{a^4-6a^3+6a}$ , με τον περιορισμό (γιατί;).

Με απλοποίηση $A=\dfrac{(a^2-7a+7)(a^3-5a^2-5a)}{a^3-6a^2+6}$ .

Είναι:

$\bullet$ .

$\bullet$ $a^3-5a^2-5a=a \cdot a^2-5a^2-5a=a(6a-1)-5a^2-5a=a^2-6a=-1$ .

$\bullet$ $a^3-6a^2+6=a \cdot a^2-6a^2+6=a(6a-1)-6a^2+6=6-a$ .

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, είναι άμεσο ότι .

Λύνεται και με πράξεις. Το έλυσα με επιμεριστικές.

christinat · #11

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 22, 2017 1:03 pm
Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου

Πρόβλημα 1
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{x^3-x^2+7x+3}{x^2+x+1}=\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}}$

Πρόβλημα 2
Δίνεται ημικύκλιο ακτίνας με κέντρο και με άκρα , και
σημείο τέτοιο ώστε το να είναι ισόπλευρο και το ημικύκλιο με το
να βρίσκονται εκατέρωθεν της . Στην συνέχεια, παίρνουμε σημείο
στην τέτοιο ώστε . Αν είναι το σημείο τομής
της καθέτου από το ως προς την με το ημικύκλιο, και σημείο της
έτσι ώστε το να είναι εγγράψιμο, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου
που περικλείεται από τις πλευρές και το τόξο συναρτήσει του .

Πρόβλημα 3
Αν ο είναι θετικός ακέραιος και οι θετικοί ακέραιοι
διαιρέτες του με . Να βρεθούν όλα τα ζεύγη που
ικανοποιούν την εξίσωση:

Πρόβλημα 4
α) Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
β) Να βρείτε πραγματικούς αριθμούς με για τους οποίους ο αριθμός:
$A=\displaystyle{\frac{(x^3-7x^2+7x)(x^3-5x^2-5x)}{x^4-6x^3+6x}}$
παίρνει την ίδια τιμή για και καθώς και την τιμή που παίρνει.

Πρόβλημα 4
a) $D=32\Rightarrow x=3\pm 2\sqrt{2}$
b)Έστω $A=f(x_{1})=f(x_{2})$ , όπου $x_{1}=a, x _{2}=b$

Θα αποδείξουμε ότι $a=3+2\sqrt{2}$
$b=3-2\sqrt{2}$

$x^{3}-7x^{2}+7x=x(x^{2}-7x+7)=x(x^{2}-6x+1-x+6)\Rightarrow x^{3}-7x^{2}+7x=x[(x^{2}-6x+1)-(x+6)]$ (1)

$x^{3}-5x^{2}-5x=x(x^{2}-5x-5)=x[(x^{2}-6x+1)+(x-6)]$ (2)

$x^{4}-6x^{3}+6x=x(x^{3}-6x^{2}+6)=x[x (x^{2}-6x+1)-(x-6)]$ (3)

Από τις σχέσεις (1)-(2)-(3) κάνοντας παραγοντοποιηση προκύπτει ότι

$A=\frac{x[(x^{2}-6x+1)^{2}-(x-6)^{2}]}{x(x^{2}-6x+1)-(x-6)}$

Πρέπει $a^{2}-6a+1=b^{2}-6b+1$

Η τελευταία ισότητα επαληθεύεται όταν $a^{2}-6a+1=b^{2}-6b+1=x^{2}-6x+1=0$

Όποτε $a=3-2\sqrt{2}$
$b=3+2\sqrt{2}$

Άρα A=(x-6)x=-1

για

η

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Μέλη σε σύνδεση