Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 26
- Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
- Τοποθεσία: Ρόδος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Δεν έχω κάνει εξάσκηση στην επίλυση διοφαντικών εξισώσεων. Παρόλα αυτά έκανα μια ανεπιτυχής προσπάθεια με εκτεταμένη χρήση υπολογιστή, δίχως να επιδιώξω να προσεγγίσω, ήδη υπάρχουσες επίσημες λύσεις.
Θέτοντας, , οπότε από την αρχική εξίσωση παίρνουμε την παρακάτω:
, προφανώς το πρέπει να είναι περιττός.
Θέτοντας, , μετά από τις πράξεις καταλήγουμε ότι:
, Triangular Mersenne numbers
,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
Θέτοντας, , οπότε από την αρχική εξίσωση παίρνουμε την παρακάτω:
, προφανώς το πρέπει να είναι περιττός.
Θέτοντας, , μετά από τις πράξεις καταλήγουμε ότι:
, Triangular Mersenne numbers
,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
- Αν είναι άρτιος, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
-
- Δημοσιεύσεις: 26
- Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
- Τοποθεσία: Ρόδος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Χαίρετε,
Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός σε κάθε περίπτωση;
Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός σε κάθε περίπτωση;
Nikitas K. έγραψε: ↑Δευ Απρ 22, 2024 4:00 pm,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
- Αν είναι άρτιος, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
Νικήτας Κακούλλης
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Δεν είμαι σίγουρος ότι βγαίνει έτσι αυτή η διοφαντική.Nikitas K. έγραψε: ↑Σάβ Απρ 27, 2024 12:07 pmΧαίρετε,
Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός σε κάθε περίπτωση;
Nikitas K. έγραψε: ↑Δευ Απρ 22, 2024 4:00 pm,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
- Αν είναι άρτιος, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
Η λύση που έχω κατά νου περνάει μέσα από αλγεβρική θεωρία αριθμών.
Θα βάλω τη λύση αύριο αν δεν υπάρξει κάποια άλλη λύση.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ας γράψω τι σκέφτηκα, αλλα δεν έχω και πολύ χρόνο να το αναλύσω, το αφήνω ως ιδέα μήπως προχωρήσει κάπως.
Αρχικά, για άρτιο είναι σχετικά απλό (διαφορά τετραγώνων).
Τώρα, για περιττό έχουμε:
Τώρα, αυτό θυμίζει γενικευμένη Pell (d=2, N=-7).
Αν θέλουμε , τότε απλά τη γράφουμε στη μορφή:
, σαφώς με τις κατάλληλες υποθέσεις.
Έχουμε: , μία ας τη θεωρήσουμε πρωταρχική λύση των εξισώσεων .
Ακόμη, η εξίσωση έχει λύση
Τώρα για την
Οπότε γενικά θα πάρουμε . Μάλλον λίγο ζόρι να βρούμε πρωταρχική λύση εδώ για να πάρουμε μετά τον αναδρομικό αλγόριθμο.
Μια άλλη ιδέα θα ήταν:
.
Γενικά το είναι UFD, το παραπάνω βέβαια είναι στο , και δεν είμαι σίγουρος αν μπορούμε να δουλέψουμε ανάλογα (το 7 μάλιστα δεν είναι πρώτος σε αυτό τον δακτύλιο). Έχω την εντύπωση πως ο τελευταίος δακτύλιος είναι UFD, αν ισχύουν αυτά μπορώ να προχωρήσω σε λύση, αλλιώς μάλλον πρέπει να αλλάξουμε προσέγγιση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες