Αλυτεία

KARKAR · #1

: Αλυτεία.png (11.77 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Το σημείο

κινείται στην ακτίνα

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ . Το κάθετο προς την

,

τμήμα

, τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε το μέγιστο κάποιου από τα γινόμενα :

α) $TP\cdot TS$ ... ή ... β) $TP\cdot PS$ . Δεν έχω λύση του θέματος

Henri van Aubel · #2

$\angle OAB=45^\circ\wedge \angle PSA=90^\circ\Longrightarrow PS=SA=x$ και $\displaystyle TS=\sqrt{OT^{2}-OS^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left ( R-x \right )^{2}}=\sqrt{x\left ( 2R-x \right )}.$

Επομένως $\displaystyle TP\cdot TS=\sqrt{x\left ( 2R-x \right )}\cdot \left ( \sqrt{x\left ( 2R-x \right )}-x \right )=x\left ( 2R-x \right )-x\sqrt{x\left ( 2R-x \right )}.$

Ομοίως και για το άλλο. Τα μέγιστα με λογισμικό ή με το χέρι με ακρότατα συνάρτησης, όποιος είναι λίγο γενναίος.

KARKAR · #3

: Αλυτεία συμπλ.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Το γινόμενο : $TP \cdot PS$ , είναι ευκολότερα διαχειρίσιμο . Αν μάλιστα δώσουμε στην ακτίνα

την τιμή

, τότε γίνεται σχεδόν κατάλληλο και για σχολικό θέμα . Πράγματι , τότε θα έχουμε

για το γινόμενο , την συνάρτηση : $f(x)=x(\sqrt{x(8-x)}-x)$ . Με χρήση παραγώγου ,

βρίσκουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο για : $x=5-\sqrt{7}$ , το οποίο ισούται με : $2(7\sqrt{7}-17})$ .

Αλυτεία

Αλυτεία

Re: Αλυτεία

Re: Αλυτεία

Μέλη σε σύνδεση