Με συνεχή συνάρτηση
Συντονιστής: emouroukos
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Με συνεχή συνάρτηση
Έστω μια συνεχής συνάρτηση και ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε
για κάθε .
για κάθε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Με συνεχή συνάρτηση
Αφού η είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό. Άρα για κάθε υπάρχει ώστε για κάθε . Επίσης είναι και φραγμένη σε αυτό, έστω για κάθε .
Ορίζω τώρα . Για :
Αν , τότε
Αν , τότε
Ορίζω τώρα . Για :
Αν , τότε
Αν , τότε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με συνεχή συνάρτηση
Αλλιώς (ουσιαστικά είναι παραλλαγή, αλλά για να υπάρχει): Από ομοιόμορφη συνέχεια, για το δεδομένο υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε .Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 17, 2023 9:28 amΈστω μια συνεχής συνάρτηση και ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε
για κάθε .
Για τέτοια το αποδεικτέο είναι άμεσο αφού τότε .
Eξετάζουμε τώρα τα με . To σύνολο αυτό, δηλαδή το είναι κλειστό (διότι αν ακολουθία του που συγκλίνει στο είναι άμεσο ότι και το βρίσκεται στο σύνολο). Είναι και φραγμένο, άρα συμπαγές. Έπεται ότι, σε αυτό το σύνολο, η συνάρτηση
δύο μεταβλητών είναι άνω φραγμένη ως συνεχής. Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε , που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες