Πλήθος σημείων τομής

#1

Να βρείτε το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=-e^x+(2-e)x, x\in \Bbb{R}$ με τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της, $f^{-1}.$

Δεν έχω λύση...

#2

Ένα και μόνον σημείο τομής, επί της διαγωνίου:

Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι τόσο η

όσο και η $f^{-1}$ είναι φθίνουσες και κοίλες: πράγματι, f'(x)=-e^x+2-e<0

,

, $[f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}<0$ , $[f^{-1}(x)]''=-\dfrac{f''(f^{-1}(x))}{[f'(f^{-1}(x))]^3}<0$ .

Για να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τομής των

και $f^{-1}$ , αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής επί της διαγωνίου y=x

, αρκεί δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της

με την διαγώνιο. Η εξίσωση f(x)=x

είναι ισοδύναμη προς την g(x)=0

, όπου

: από τις $g(-1)=-\dfrac{1}{e}+e-1>0$ και g(0)=-1<0

συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μηδενισμού της

, και από την g'(x)=-e^x+1-e<0

συμπεραίνουμε ότι αυτό είναι μοναδικό.

Υπάρχουν σημεία τομής των $f, f^{-1}$ εκτός της διαγωνίου; Αυτό είναι γενικά δυνατόν, ακόμη και όταν οι $f. f^{-1}$ είναι φθίνουσες και κοίλες, όπως εδώ. Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα η ύπαρξη περισσοτέρων σημείων τομής των $f, f^{-1}$ αποκλείεται από το γεγονός ότι η $f-f^{-1}$ είναι φθίνουσα, όπως θα δείξουμε παρακάτω.

Καθώς $(f(x)-f^{-1}(x))'=\dfrac{e^{x+f^{-1}(x)}-(2-e)(e^x+e^{f^{-1}(x)})+(2-e)^2-1}{-e^{f^{-1}(x)}+2-e},$

και ο παρονομαστής είναι μονίμως αρνητικός, αρκεί να δειχθεί η ανισότητα

$e^{x+f^{-1}(x)}-(2-e)(e^x+e^{f^{-1}(x)})+(2-e)^2-1>0.$

Όπως επισήμανα στην αμέσως επόμενη δημοσίευση, υπάρχει παρακάτω λάθος που διορθώθηκε στην μεθεπόμενη δημοσίευση: το αφήνω όμως το κωμικοτραγικό μου λάθος, καθώς είναι διδακτικότατο!

Η ανισότητα αυτή προκύπτει εύκολα από τις ανισότητες $e^{x+f^{-1}(x)}>\dfrac{1}{2}$ και $e^x+e^{f^{-1}(x)}>\dfrac{1}{2}$ , αναγόμενη στην ισχύουσα 2e^2-7e+5>0

.

Για την πρώτη ανισότητα αναζητούμε το ελάχιστο του εκθέτη, για τον οποίο ισχύει η

$(x+f^{-1}(x))'=1+\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\dfrac{-e^{f^{-1}(x)}+3-e}{-e^{f^{-1}(x)}+2-e}.$

Η παράγωγος μηδενίζεται ακριβώς όταν $f^{-1}(x)=ln(3-e)$ , οπότε $x=-e^{f^{-1}(x)}+(2-e)f^{-1}(x)=e-3+(2-e)ln(3-e)$ και, τελικά, $x+f^{-1}(x)=e-3+(3-e)ln(3-e)$ : συμπεραίνουμε ότι

$e^{x+f^{-1}(x)}\geq \left(\dfrac{3-e}{e}\right)^{3-e}>\left(\dfrac{1}{10}\right)^{(1/4)}>\dfrac{1}{2}.$

Αρκεί πλέον να δειχθεί η ανισότητα $e^x+e^{f^{-1}(x)}>\dfrac{1}{2}$ . Η ανισότητα αυτή είναι άμεση είτε στην περίπτωση $e^x>\dfrac{1}{2}$ είτε στην περίπτωση $e^{f^{-1}(x)}>\dfrac{1}{2}$ . Υποθέτοντας ότι αποτυγχάνουν και οι δύο ταυτόχρονα για κάποιο

, οπότε $x<-\dfrac{2}{3}$ και $f^{-1}(x)<-\dfrac{2}{3}$ , καταλήγουμε σε άτοπο:

$x=-e^{f^{-1}(x)}+(2-e)f^{-1}(x)>-e^{-2/3}-\dfrac{2}{3}(2-e)>-\dfrac{2}{3}.$

#3

Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και γελά: το ακρότατο της $x+f^{-1}(x)$ που υπολογίστηκε παραπάνω ... δεν είναι ολικό ελάχιστο αλλά ... ολικό μέγιστο!

[Σε πρώτη, οριακά ανεπιτυχή, προσπάθεια ο όρος $e^{x+f^{-1}(x)}$ δεν είχε καν ληφθεί υπ' όψιν -- ελπίζω να επανέλθω!]

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 25, 2022 10:46 pm
Ένα και μόνον σημείο τομής, επί της διαγωνίου:

Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι τόσο η όσο και η $f^{-1}$ είναι φθίνουσες και κοίλες: πράγματι, , , $[f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}<0$ , $[f^{-1}(x)]''=-\dfrac{f''(f^{-1}(x))}{[f'(f^{-1}(x))]^3}<0$ .

Για να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τομής των και $f^{-1}$ , αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής επί της διαγωνίου , αρκεί δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της με την διαγώνιο. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την , όπου : από τις $g(-1)=-\dfrac{1}{e}+e-1>0$ και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μηδενισμού της , και από την συμπεραίνουμε ότι αυτό είναι μοναδικό.

Υπάρχουν σημεία τομής των $f, f^{-1}$ εκτός της διαγωνίου; Αυτό είναι γενικά δυνατόν, ακόμη και όταν οι $f. f^{-1}$ είναι φθίνουσες και κοίλες, όπως εδώ. Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα η ύπαρξη περισσοτέρων σημείων τομής των $f, f^{-1}$ αποκλείεται από το γεγονός ότι η $f-f^{-1}$ είναι φθίνουσα, όπως θα δείξουμε παρακάτω.

Καθώς $(f(x)-f^{-1}(x))'=\dfrac{e^{x+f^{-1}(x)}-(2-e)(e^x+e^{f^{-1}(x)})+(2-e)^2-1}{-e^{f^{-1}(x)}+2-e},$

και ο παρονομαστής είναι μονίμως αρνητικός, αρκεί να δειχθεί η ανισότητα

$e^{x+f^{-1}(x)}-(2-e)(e^x+e^{f^{-1}(x)})+(2-e)^2-1>0.$

Ως εδώ καλά, από εδώ και πέρα χρειάζεται -- όπως τόνισα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση -- αλλαγή πλεύσης:

Επικεντρωνόμαστε στον δεύτερο όρο, και παρατηρούμε ότι αν $e^x+e^{f^{-1}(x)}>\dfrac{4}{7}$ τότε

$-(2-e)(e^x+e^{f^{-1}(x)})+(e-2)^2-1>0\leftrightarrow 7e^2-24e+19>0$ (ισχύει).

Αρκεί λοιπόν να ισχύει είτε η $e^x>\dfrac{4}{7}$ είτε η $e^{f^{-1}(x)}>\dfrac{4}{7}$ : όπως θα δούμε, αν δεν ισχύει η πρώτη ανισότητα ισχύει υποχρεωτικά η δεύτερη. Όντως, η πρώτη ανισότητα ισχύει για $x\geq -\dfrac{1}{2}$ , ας υποθέσουμε λοιπόν $x<-\dfrac{1}{2}$ , οπότε $f^{-1}(x)>f^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}}\right)>ln\left(\dfrac{4}{7}\right)$ : πράγματι αν $f^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}}\right)\leq ln\left(\dfrac{4}{7}\right)$ τότε

$-\dfrac{1}{2}=-e^{f^{-1}(-1/2)}+(2-e)f^{-1}\left(-1/2\right)\geq -\dfrac{4}{7}+(2-e)ln\left(\dfrac{4}{7}\right)>-\dfrac{4}{7}+\dfrac{e-2}{2}$ , άτοπο.

Πλήθος σημείων τομής

Πλήθος σημείων τομής

Re: Πλήθος σημείων τομής

Re: Πλήθος σημείων τομής

Re: Πλήθος σημείων τομής

Μέλη σε σύνδεση