Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

#1

Με αφορμή το γνωστό Β3 των πανελλαδικών και την σχετική συζήτηση (εδώ), επανέρχομαι:

αν v^3+a_2v^2+a_1v+a_0=0

με

τότε $|v|\leq 3$ -- σωστό ή λάθος;

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

ΣΩΣΤΟ τελικά ... χάρις σε μία έξοχη προσέγγιση του Αλέξανδρου Συγκελάκη (cretanman) πριν δύο περίπου εβδομάδες

Ως τότε είχα πλησιάσει ελάχιστα περισσότερο απ' ότι τον περασμένο Ιούνιο, |v|<3,01403

αντί

-- οι λεπτομέρειες στο συνημμένο (που παρουσίασα στην Μαθηματική Εβδομάδα πριν 16 περίπου ώρες).

Όσον αφορά την απόδειξη της εικασίας από τον Αλέξανδρο, αυτός θα επιλέξει που και πως και πότε θα παρουσιάσει την δουλειά του. Εγώ απλώς θα πω εδώ ότι η απόδειξη του είναι, αναμενόμενα, πιο σύνθετη από την δική μου, με διαφορετική τεχνική και διαφορετική 'αφετηρία', και χρησιμοποιεί παραγώγιση ... παραμένοντας πάντως προσιτή σε μαθητές. (Προσαρμόζοντας την τεχνική του Αλέξανδρου στην δική μου αφετηρία καταλήγω στο ίδιο αποτέλεσμα που είχα και πριν, 3,01403

-- δεν ξέρω αν ήμουν τυχερός που έφτασα σε ένα τόσο καλό φράγμα τόσο εύκολα ... ή άτυχος που έφτασα τόσο κοντά στο

χωρίς να το πετύχω

)

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

Η απόδειξη του Αλέξανδρου παρουσιάστηκε από τον ίδιο στην 7η Μαθηματική Εβδομάδα (18-22 Μαρτίου 2015) και δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά, σελ. 671-674. Υπάρχει πάντως τώρα απλούστερη απόδειξη, όχι δική μου, ούτε του Αλέξανδρου -- αν και παίξαμε και οι δύο κάποιο ρόλο στην γέννηση της

-- που σας ενθαρρύνω να αναζητήσετε! (Αν δεν την βρει κανείς θα την ανακοινώσω εδώ στο τέλος του καλοκαιριού.)

#4

gbaloglou έγραψε:Η απόδειξη του Αλέξανδρου παρουσιάστηκε από τον ίδιο στην 7η Μαθηματική Εβδομάδα (18-22 Μαρτίου 2015) και δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά, σελ. 671-674. Υπάρχει πάντως τώρα απλούστερη απόδειξη, όχι δική μου, ούτε του Αλέξανδρου -- αν και παίξαμε και οι δύο κάποιο ρόλο στην γέννηση της -- που σας ενθαρρύνω να αναζητήσετε! (Αν δεν την βρει κανείς θα την ανακοινώσω εδώ στο τέλος του καλοκαιριού.)

Η δημοσίευση του Γιάννη Θωμαΐδη εδώ ... με έκανε να θυμηθώ τα παραπάνω: ας συμφωνήσουμε ότι "τέλος καλοκαιριού" = "πρώτες νιφάδες χιονιού"

#5

Το θέμα μας (βελτιστοποίηση ερωτήματος Β3 πανελλαδικών 2013) είναι ειδική περίπτωση, για a_n=1

,

, του παρακάτω θεωρήματος (που, όπως έγραψα παραπάνω, προκύπτει ύστερα από πολύ σημαντική εκτός

παρέμβαση):

Αν a_nz^n+...+a_1z+a_0

είναι πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές που ικανοποιούν, για k=0, 1, ... , n

, την $|a_k-u|\leq s$ , όπου

τυχών μιγαδικός με |u|>s

, τότε για κάθε ρίζα

του πολυωνύμου ισχύει η ανισότητα $|v|\leq\displaystyle\frac{|u|+s}{|u|-s}$ .

Απόδειξη (δια της εις άτοπον απαγωγής): αν a_nv^n+...+a_1v+a_0=0

με $|v|>\displaystyle\frac{|u|+s}{|u|-s}$ τότε, θέτοντας $w=\displaystyle\frac{1}{v}$ , προκύπτει η $a_0w^n+...+a_{n-1}w+a_n=0$ με $|w|<\displaystyle\frac{|u|-s}{|u|+s}<1$ .

Θέτοντας $f(w)=a_0w^n+...+a_{n-1}w+a_n=0$ και g(w)=u(w^n+...+w+1)

παρατηρούμε ότι

(I) $|g(w)|=|f(w)-g(w)|=|(a_0-u)w^n+...+(a_{n-1}-u)w+(a_n-u)|\leq$

$\leq|a_0-u|\cdot|w|^n+...+|a_{n-1}-u|\cdot|w|+|a_n-u|\leq s\cdot(|w|^n+...+|w|+1)=$

$=s\cdot\displaystyle\frac{1-|w|^{n+1}}{1-|w|}$

(ΙΙ) $|g(w)|=|u|\cdot|w^n+...+w+1|=\displaystyle|u|\cdot\left|\frac{1-w^{n+1}}{1-w}\right|=|u|\cdot\displaystyle\frac{|1-w^{n+1}|}{|1-w|}\geq$

$\geq |u|\cdot\displaystyle\frac{1-|w|^{n+1}}{1+|w|}$

Από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει άμεσα η $|w|\geq\displaystyle\frac{|u|-s}{|u|+s}$ , άτοπο.

#6

Παραθέτω για τυπικούς λόγους και την απόδειξη του θέματος Β3, για το βέλτιστο άνω φράγμα, ακολουθώντας την παραπάνω μέθοδο, αποδεικνύω δηλαδή ότι αν

είναι ρίζα του μιγαδικού πολυωνύμου z^3+a_2z^2+a_1z+a_0

, όπου

, τότε $|v|\leq3$ .

Απόδειξη (δια της εις άτοπον απαγωγής): αν ο

είναι ρίζα του z^3+a_2z^2+a_1z+a_0

με

, τότε ο $w=\displaystyle\frac{1}{v}$ ικανοποιεί την a_0w^3+a_1w^2+a_2w+1=0

και βεβαίως την $|w|<\displaystyle\frac{1}{3}$ , οπότε, θέτοντας f(w)=a_0w^3+a_2w^2+a_1w+1=0

και

προκύπτουν οι

(Ι) $|g(w)|=|f(w)-g(w)|=|(a_0-2)w^3+(a_1-2)w^2+(a_2-2)w+1|\leq$

$\leq|a_0-2|\cdot|w|^3+|a_1-2|\cdot|w|^2+|a_0-2|\cdot|w|+1=|w|^3+|w|^2+|w|+1=\displaystyle\frac{1-|w|^4}{1-|w|}$

(II) $|g(w)|=2\cdot|w^3+w^2+w+1|=2\cdot\left|\displaystyle\frac{1-w^4}{1-w}\right|=2\cdot\displaystyle\frac{|1-w^4|}{|1-w|}\geq2\cdot\displaystyle\frac{1-|w|^4}{1+|w|}$

Από τις (Ι) και (ΙΙ) λαμβάνουμε, χάρις και στην $|w|\leq\displaystyle\frac{1}{3}<1$ ,

$2\cdot\displaystyle\frac{1-|w|^4}{1+|w|}\leq|g(w)|\leq\frac{1-|w|^4}{1-|w|}\rightarrow \frac{2}{1+|w|}\leq\frac{1}{1-|w|}\rightarrow |w|\geq\displaystyle\frac{1}{3},$

άτοπο. Ισχύει επομένως η $|v|\leq3$ .

Κύρια ιδέα στα παραπάνω, και όχι δική μου, η αντιστροφή της μεταβλητής ... και βέβαια η χρήση του βοηθητικού πολυωνύμου

(ούτε αυτό δικό μου): από εκεί και πέρα επαρκούν δύο απλές εφαρμογές της τριγωνικής ανισότητας σε αριθμητή και παρονομαστή στην (ΙΙ), και μία πιο προφανής εφαρμογή της στην (I), ούτε αυτές δική μου ιδέα. (Ο δικός μου ρόλος: απλοποίησα την αρχική απόδειξη, που χρησιμοποιεί το βασικό στην Μιγαδική Ανάλυση Θεώρημα του Rouche', κάνοντας την 100% σχολική. Επίσης έδωσα την γενίκευση, χωρίς πολύ πρόσθετο κόπο!)

#7

Ύστερα από συζητήσεις με τον Αλέξανδρο Συγκελάκη και με τον Γιάννη Θωμαΐδη ... νομίζω ότι απαιτείται η παρακάτω διευκρίνηση:

Η παραπάνω απόδειξη ... ΔΕΝ είναι δια της εις άτοπον απαγωγής! Πράγματι, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουμε την άρνηση του αποδεικτέου, να υποθέσουμε δηλαδή |v|>3

, για να καταλήξουμε σε κάτι το άτοπο ή έστω αντίθετο προς την υπόθεση μας, πχ $|v|\leq3$ . Μπορούμε απλώς -- και μια προσεκτική ματιά στην παραπάνω απόδειξη δείχνει ότι αυτό ακριβώς έγινε! -- να υποθέσουμε |v|>1

για να δείξουμε ότι $|v|\leq3$ ... αδιαφορώντας για την περίπτωση $|v|\leq1$ , που συνεπάγεται τετριμμένα την $|v|\leq3$ .

#8

gbaloglou έγραψε:Η απόδειξη του Αλέξανδρου παρουσιάστηκε από τον ίδιο στην 7η Μαθηματική Εβδομάδα (18-22 Μαρτίου 2015) και δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά, σελ. 671-674. Υπάρχει πάντως τώρα απλούστερη απόδειξη, όχι δική μου, ούτε του Αλέξανδρου -- αν και παίξαμε και οι δύο κάποιο ρόλο στην γέννηση της -- που σας ενθαρρύνω να αναζητήσετε! (Αν δεν την βρει κανείς θα την ανακοινώσω εδώ στο τέλος του καλοκαιριού.)

Πράγματι ανακοινώθηκε (βλέπετε προηγούμενες δημοσιεύσεις), και αναφέρθηκε και στο σημερινό σεμινάριο του Γιάννη Θωμαΐδη "Η μαθηματική απόδειξη ως πρόβλημα διδασκαλίας και μάθησης στο Λύκειο και τις Πανελλαδικές Εξετάσεις" (9η Μαθηματική Εβδομάδα), όπου επίσης συζητήθηκαν η απόδειξη του Αλέξανδρου για την $|v|\leq 3$ καθώς και η δική μου απόδειξη για την |v|<3,01403

. Αναφέρω εδώ, για συναισθηματικούς θα έλεγα λόγους, τα αντίστοιχα καίρια βήματα:

$|v|^2+|v|+2\geq |v+1|\cdot |v^2+v+1|\rightarrow |v|\leq 3$

$|v|^6-6|v|^4-4|v|^3-10|v|^2-12|v|-18\leq 0\rightarrow |v|<3,01403$

[Η δεύτερη συνεπαγωγή είναι τετριμμένη (αλλά απαιτεί λογισμικό), η πρώτη καθόλου τετριμμένη (αλλά δεν απαιτεί λογισμικό)

]

kalsifer · #9

Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των ριζών v; Για τυχαίες τριάδες α $_{i}$ σκανάρεται ολόκληρος ο κυκλικός δίσκος |v| $\leq$ 3;

#10

kalsifer έγραψε:Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των ριζών v; Για τυχαίες τριάδες α $_{i}$ σκανάρεται ολόκληρος ο κυκλικός δίσκος |v| $\leq$ 3;

Σαφώς όχι, εικάζεται μάλιστα ότι $|v|\geq 1$

Αλλά αυτό είναι πλέον θέμα για ξεχωριστή συζήτηση, για όσους ενδιαφέρονται θα βοηθούσε ίσως και μια ματιά στο άρθρο μου (B3.pdf) που έχει επισυναφθεί οκτώ αναρτήσεις πιο πάνω ... και στην εκεί χρήση λογισμικού, κλπ κλπ

#11

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2013 8:54 pm
Με αφορμή το γνωστό Β3 των πανελλαδικών και την σχετική συζήτηση (εδώ), επανέρχομαι:

αν με τότε $|v|\leq 3$ -- σωστό ή λάθος;

Γιώργος Μπαλόγλου

Μετά από 13 σχεδόν χρόνια επανέρχομαι για να δώσω άλλη μία απόδειξη για το βέλτιστο φράγμα στο ερώτημα Β3 των πανελληνίων του 2013 αλλά και για να επισυνάψω και την απόδειξη που είχα δώσει τότε και την είχα παρουσιάσει στην 6η Μαθηματική Εβδομάδα το Μάρτιο του 2014. Δε τη βλέπω εδώ αναρτημένη γιατί προφανώς λησμόνησα να το κάνω. Είχε μπει όμως τότε στα πρακτικά της 6ης Μαθηματικής Εβδομάδας. Ευχαριστώ και πάλι τον Γιώργο Μπαλόγλου που και τότε αλλά και τώρα έδειξε ενδιαφέρον για τις αποδείξεις κάνοντας τις παρατηρήσεις του αφότου διάβασε το τελικό κείμενο.

Η παρακάτω απόδειξη είναι συντομότερη και έχει λιγότερες πράξεις συγκριτικά με την πρώτη (εκείνη του συνημμένου).

Αρχικά θέτω a_k-2=b_k

, με $|b_k|=1, \ k=0,1,2$ .

Τότε η αρχική εξίσωση $z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0 \ \ (1)$ , γίνεται:

$\begin{aligned} z^3+(2+b_2)z^2+(2+b_1)z+(2+b_0)=0 &\Leftrightarrow z^3+2z^2+2z+2=-(b_2z^2+b_1z+b_0) \\ &\stackrel{\cdot (z-1)}{\Leftrightarrow} (z-1)(z^3+2z^2+2z+2)=-(z-1)(b_2z^2+b_1z+b_0) \\ &\Leftrightarrow z^4+z^3-2 = -(z-1)(b_2z^2+b_1z+b_0) \\ &\Rightarrow |z^4+z^3-2|=|z-1||b_2z^2+b_1z+b_0| \ \ (2) \end{aligned}$

Παρακάτω για ευκολία θετω $|z|=x, \ x\geq 0$ .

Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε $|b_2z^2+b_1z+b_0|\leq |b_2||z|^2+|b_1||z|+|b_0|=x^2+x+1$ . Επίσης $|z-1|\leq |z|+1=x+1$ .

Άρα $|z-1||b_2z^2+b_1z+b_0|\leq (x+1)(x^2+x+1)=x^3+2x^2+2x+1 \ \ (3)$

Από την άλλη $|z^4+z^3-2|\geq |z^4+z^3|-2 = |z|^3|z+1|-2\geq |z|^3(|z|-1)-2=x^3(x-1)-2=x^4-x^3-2 \ \ (4)$

Έτσι, από την (2)

λόγω των

και

παίρνουμε:

$\begin{aligned}x^4-x^3-2\leq x^3+2x^2+2x+1 &\Leftrightarrow x^4-2x^3-2x^2-2x-3\leq 0 \\ &\Leftrightarrow (x-3)(x^3+x^2+x+1)\leq 0 \\ &\stackrel{ x^3+x^2+x+1 >0}{\Rightarrow} x-3\leq 0 \Rightarrow |z|\leq 3\end{aligned}$ .

Επιπλέον, η εξίσωση z^3+3z^2+z+3=0

με συντελεστές που βρίσκονται επί του αρχικού κύκλου, έχει ρίζα z=-3

με μέτρο ίσο με

, συνεπώς αυτό το άνω φράγμα είναι και το μέγιστο.

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 12, 2017 12:41 pm

kalsifer έγραψε:Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των ριζών v; Για τυχαίες τριάδες α $_{i}$ σκανάρεται ολόκληρος ο κυκλικός δίσκος |v| $\leq$ 3;
Σαφώς όχι, εικάζεται μάλιστα ότι $|v|\geq 1$ Αλλά αυτό είναι πλέον θέμα για ξεχωριστή συζήτηση, για όσους ενδιαφέρονται θα βοηθούσε ίσως και μια ματιά στο άρθρο μου (B3.pdf) που έχει επισυναφθεί οκτώ αναρτήσεις πιο πάνω ... και στην εκεί χρήση λογισμικού, κλπ κλπ

Αν πάρουμε a_0=a_2=1

και

τότε η εξίσωση z^3+z^2+3z+1=0

έχει (από το θ. Bolzano) πραγματική ρίζα στο διάστημα (-0.5,0)

άρα έχει μέτρο μικρότερο από 0.5

.

Ανοικτό ερώτημα: Ποιο είναι το ελάχιστο κάτω φράγμα που έχουν τα μέτρα των ριζών; Σίγουρα αριθμός μικρότερος από το 0.5

.

Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση