ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ. ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[Α.Κυριακόπουλος]

Το συνημμένο είναι μια «τακτοποίηση» των νιοστών ριζών ενός αριθμού και των δυνάμεων με εκθέτη ρητό και γενικότερα με εκθέτη τυχόντα πραγματικό αριθμό. Επίσης περιέχει τον τρόπο εύρεσης του συνόλου ορισμού των συναρτήσεων της μορφής:
( για παράδειγμα της συνάρτησης ). Ο φίλος μου ο Κώστας ο Σερίφης με παρότρυνε να κάνω την δημοσίευση αυτή.

NIOSTH RIZA.pdf

(167 KiB) Μεταφορτώθηκε 2619 φορές

[chris_gatos]

Να πω και σ'αυτό το μήνυμα,ένα ευχαριστώ για τις κατατοπιστικότατες παρεμβάσεις του Δάσκαλου Αντώνη για την επιστημονική τόνωση των γνώσεων των μελών,που προσφέρει !
Όσον αφορά το συγκεκριμένο θέμα, είχε προκύψει ως απορία στο μυαλό μου,διαβάζοντας το άρθρο του Αντώνη Κυριακόπουλου στον Ευκλείδη Β' και κάποια ξενόγλωσσα καθώς και παλιά βιβλία με άλλες προσεγγίσεις. Το έδωσα στο κλάμπ προς συζήτηση και προέκυψε ένας πολύ ωραίος και διδακτικότατος διάλογος και να σου πάλι ο Αντώνης,μέσω του διαδικτύου να δίνει τις πολύ χρήσιμες επεξηγήσεις του...Να γιατί είναι ωραία εδώ... Ο κοινός παρονομαστής της συνύπαρξης μας εδω μέσα είναι μόνο τα καλά και σωστά (όσο μπορούμε) Μαθηματικά.
Αντώνη, ευχαριστώ (ευχαριστούμε ) πολύ !

[k-ser]

Να ευχαριστήσω κι εγώ τον Αντώνη για την αντοπόκρισή του στην παρότρυνσή μου.
Αυτό που θεωρώ σημαντικό για τους μαθηματικούς - για τους δασκάλους μαθηματικούς είναι ότι
είναι απαραίτητο να γνωρίζουν άριστα τους ορισμούς και την σωστή εφαρμογή των συμβόλων.
Ακόμη,
οι καθαροί ορισμοί, τα ακριβή σύμβολα, τα αξιώματα και η μαθηματική λογική είναι η οδός - όχι βασιλική - που μπορεί να ακολουθήσει κάποιος για να φτάσει στη χώρα των Μαθηματικών. Εκεί οι κάτοικοί της, όταν συζητούν, δεν μπορούν να διαφωνούν: δύο μαθηματικοί μπορούν να διαφωνήσουν... για οτιδήποτε δεν είναι Μαθηματικά!

[kostas136]

Σήμερα κατέβασα και εγώ αυτό το άρθρο και το θεωρώ θαυμάσιο. Ευχαριστώ πολύ και εγώ τον κύριο Κυριακόπουλο για την προσφορά του.

[ΚΩΣΤΑΣ Ι]

Πολύ καλό άρθρο και σωστές παρατηρήσεις
ευχαριστώ

[pito]

Θα συμφωνήσω με τον κύριο Χρήστο, το άρθρο του κυρίου Αντώνη είναι εξαιρετικό! Ευχαριστούμε πολύ και εγώ προσωπικά που για μία ακόμη φορά το με την προσφορά των εξαίρετων μελών του με ξυπνά από τον λήθαργο!

[GEORGE 11]

Θεωρώ ότι το ζήτημα προκύπτει προσπαθώντας να ικανοποιήσουμε την παραδοχή του σχολικού βιβλίου της Γ΄ Λυκείου, σύμφωνα με την οποία οι συναρτήσεις με τις οποίες ασχολούμαστε στο βιβλίο αυτό θα έχουν για πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων - δεν θα ορίζονται, δηλαδή, σε μεμονωμένους αριθμούς.
Πιπινάς Γιώργος,
Κατερίνη.

[kkala]

Θερμές ευχαριστίες για το σημείωμα NIOSTH RIZA.pdf, που διευκρινίζει προβληματισμούς από τα μαθητικά χρόνια, χωρίς να έχουν επιλυθεί (σε μένα) όλοι ακόμα. Κάποια ιστορικά κυρίως σχόλια, αντίστοιχα με της κύριες παραγράφους του σημειώματος.
1. Στή δεκαετία του 1960 πολλά βιβλία Άλγεβρας (π.χ. Π. Τόγκας - 1959, Ν. Δ. Νικολάου-1932, Γ. Παπανικολάου -1932, κ. ά) γράφουν π.χ. = . Αλλά δεν έχω βρεί να νοείται =-2 σε πράξεις ή ασκήσεις των βιβλίων τους. Η σύγχυση δηλαδή αφορά τη σημασία του μόνο σε απλά παραδείγματα, για να καταδείξουν ότι υπάρχει και αρνητική ρίζα.
Η Άλγεβρα του Νείλου Σακελλαρίου (ΟΕΔΒ 1951) αναφέρει πάντως (παρ 146) ότι μόνο η θετική ρίζα αριθμού α >0 νοείται με το σύμβολο (n ακέραιος). Παρακάτω πάντως (παρ 161) αναγράφει .
Επίσης ο καθηγητής ΕΜΠ Φίλων Βασιλείου διευκρίνισε ότι το σύμβολο σημαίνει μόνο την θετική τετραγωνική ρίζα του α (α θετικό) σε μία άσκηση εισαγωγικών εξετάσεων (δεν ξέρω χρονολογία), όπως μας έλεγε ο φροντιστής Ι. Μαντάς (1967).
2. Το κομπουτεράκι Kenko KK-108 βγάζει , όταν πατηθεί το κουμπί της κυβικής ρίζας, συμφωνεί δηλαδή με το σημείωμα, που ομως συνιστά να αποφεύγεται σαν έκφραση.
3. Μόνο στην Άλγεβρα Π. Τόγκα βρέθηκε π.χ. (παραγρ 460). Το πρώτο μέλος (με το μιγαδικό υπόρριζο) δεν έχει έννοια, τουλάχιστον με τις σημερινές αντιλήψεις.
4. Το ΚΚ-108 βγάζει με το κουμπί : =error, = -3, (-27)^{-1/3} = -1/3. Δηλαδή σε κάποιες περιπτώσεις (εκθέτης 1/n, n=ακέραιος) το κομπιουτεράκι δίνει αποτέλεσμα, ενώ κανονικά αρνητικές βάσεις με κλασματικό εκθέτη θάπρεπε να βγάζουν error ή κάτι τέτοιο.
Σημείωση: Ο Ν. Δ. Νικολάου στην Άλγεβρά του (1932) αναγράφει = . Πρέπει βέβαια το διπλό πρόσημο στο 2ο μέρος να φύγει με τον κατάλληλο ορισμό. Ή μήπως ο ορισμός αυτός υπάρχει ήδη? Τέτοια υπόρριζα απαντώνται σε αλγεβρικές παραστάσεις και εξισώσεις, οπότε είναι ανάγκη να έχουν ορισθεί σαφώς.
7 Μαϊου 2010: Στην παραπάνω σημείωση θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι = .