Το παπάκι και η αλεπού

[panos1962]

Στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης βρίσκεται ένα παπάκι. Στην όχθη παραμονεύει μια αλεπού. Το παπάκι μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα μέχρι v στο νερό, ενώ η αλεπού, που δεν μπορεί να κολυμπήσει, μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα στο έδαφος μέχρι 4v. Το παπάκι μπορεί να πετάξει μόνο από στέρεο έδαφος. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει τρόπος το παπάκι να φτάσει στην όχθη -και από εκεί να πετάξει- χωρίς να το προλάβει η αλεπού.

[george visvikis]

Στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης βρίσκεται ένα παπάκι. Στην όχθη παραμονεύει μια αλεπού. Το παπάκι μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα μέχρι v στο νερό, ενώ η αλεπού, που δεν μπορεί να κολυμπήσει, μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα στο έδαφος μέχρι 4v. Το παπάκι μπορεί να πετάξει μόνο από στέρεο έδαφος. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει τρόπος το παπάκι να φτάσει στην όχθη -και από εκεί να πετάξει- χωρίς να το προλάβει η αλεπού.

Σε κάθε περίπτωση το παπάκι θα πρέπει να διατρέξει μία απόσταση ίση με την ακτίνα σε χρόνο

Αν είναι η θέση της αλεπούς το παπάκι επιλέγει να φτάσει στο σημείο της όχθης όπου η διάμετρος της

λίμνης, ώστε η αλεπού να χρειαστεί να διατρέξει τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση.

Παπάκι και αλεπού.png (6.19 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Η αλεπού θα πρέπει λοιπόν να διανύσει το μήκος του ημικυκλίου της λίμνης. Ο χρόνος που θα χρειαστεί είναι

Άρα, οπότε το παπάκι θα βρει την αλεπού να το περιμένει στην όχθη.


ΥΓ. Αν η ταχύτητα της αλεπούς ήταν τότε το παπάκι θα προλάβαινε να πετάξει οριακά, εκτός και αν το τελευταίο

βήμα της αλεπούς ήταν άλμα εις ύψος, για να επαληθευτεί η ρήση: "Όσα δεν φτάνει η αλεπού, πηδάει και τα φτάνει"

[Al.Koutsouridis]

Φιλολογικά να σημειώσουμε, ότι το πρόβλημα αυτό είναι σχετικά παλιό (μεταφέρω κείμενο από το περιοδικό Κβαντ τεύχος 11, 2017 σελ. 4-5):

Τον Δεκέμβριο του 1966 στην εφημερίδα "Κομσομόλσκαϊα Πράβντα" είχαν δημοσιοποιηθεί προβλήματα μαθηματικών ολυμπιάδων. Εκείνη την εποχή δεν υπήρχε διαδίκτυο και μόνο χάρη στην εφημερίδα, η πληροφορία για τις ολυμπιάδες ήταν προσβάσιμη στους μαθητές. Ένα από τα προβλήματα, για δυο μαθητές, που προσπαθεί ο ένας να αποφύγει τον άλλον, έγινε πολύ διάσημο. Έτσι στο βιβλίο "Διαλεγμένα προβλήματα μαθηματικών ολυμπιάδων" των Ν. Μπ. Βασίλιεβ, Α.Π. Σάβιν, 1968 το πρόβλημα επαναλήφθηκε σε μια πιο σκανδαλιάρικη μορφή: εκεί ο μαθητής προσπαθεί να αποφύγει τον δάσκαλο.

Πρόβλημα. Ένας μαθητής κολυμπάει στο κέντρο μιας κυκλικής πισίνας. Στην άκρη της πισίνας βρίσκεται ένας δάσκαλος, ο οποίος δεν ξέρει να κολυμπάει, αλλά τρέχει με ταχύτητα τέσσερις φορές μεγαλύτερη από ότι κολυμπάει ο μαθητής. Μπορεί άραγε ο μαθητής να ξεφύγει από τον δάσκαλο, αν τρέχει γρηγορότερα από τον δάσκαλο;

Παραλλαγμένο, το παραπάνω πρόβλημα το είχα θέσει και εγώ παλιότερα εδώ.

Επίσης να σημειώσουμε, ότι υπάρχει στρατηγική να ξεφύγει το παπάκι από την αλεπού (μαθητής από τον δάσκαλο), αν κινηθεί με κάποιο έξυπνο τρόπο.

[panos1962]

Με αφορμή την απάντηση του κ. Κατσουρίδη, έψαξα στο διαδίκτυο και βρήκα αυτό:

http://datagenetics.com/blog/october12013/index.html

Οπότε πιστεύω ότι το πρόβλημα δεν είναι τόσο απλό, όσο το παρουσιάζει ο κ. Βισβίκης στη δική του απάντηση.

[george visvikis]

Όταν διάβασα το πρόβλημα, η πρώτη μου σκέψη ήταν το προφανές, δηλαδή το παπάκι να κάνει την συντομότερη ευθεία
διαδρομή. Ήταν λοιπόν "mission impossible" και το παπάκι δεν είχε καμιά ελπίδα σωτηρίας. Όπως αποδείχτηκε όμως, τα
πράγματα δεν ήταν τόσο απλά. Έτσι κι αλλιώς, δεν μου πέρασε απ' το μυαλό μια τόσο πολύπλοκη σκέψη