ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Τσιαλας Νικολαος · #21

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:55 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:40 pm
Νομίζω στις επίσημες λύσεις το τελικό αποτέλεσμα έχει λάθος στο θέμα γεωμετρίας της Β' γυμνασίου
Πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, όχι μαθηματικό, το οποίο θα διορθωθεί σύντομα: $12\cdot 11=132$ .

No big deal!

Δεν εννοούσα αυτό!! Σκέψου προσπέρασα το τυπογραφικό... Μήπως είναι $13\cdot11$ ;

AnnM · #22

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:48 pm

AnnM έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:24 pm
Δεν ξέρω για τις άλλες τάξεις, αλλά τα θέματα της Γ Γυμνασιου δεν μου άρεσαν καθόλου. Ήταν πάρα πολύ διαφορετικά σε σχέση με τα παλαιότερα και προσωπικά τα βαρέθηκα.Προετοιμάζομαι από το καλοκαίρι σταδιακά, έχω λύσει πολλες ασκήσεις αλλά τέτοια θέματα δε συνάντησα καθόλου.Θεωρω ίσως πως το 3ο θέμα έπρεπε να το ασχοληθώ περισσότερο γτ μπορούσα να το πιάσω όλο όπως και το πρώτο (χαζομαρα γτ κόλλησα στο 2ο το οποίο τελικά δεν έλυσα) Θέλω ωστόσο να κάνω μια ερώτηση. Οι λύσεις που βγαίνουν είναι οπωσδήποτε αυτές, ή υπάρχουν και άλλες μεθοδολογίες και τρόποι που μπορούν να οδηγήσουν στα ίδια αποτελέσματα οι οποίες πιάνονται? Και εάν δεν έχουμε καταλήξει σε ένα αποτέλεσμα αλλά έχουμε χτίσει ένα κομμάτι της μεθοδολογίας, θα πιαστεί?
Καλησπέρα. Οι λύσεις είναι ενδεικτικές και εννοείται οποιαδήποτε άλλη λογίζεται ως σωστή, αρκεί να είναι. Από εκεί και πέρα όντως τα θέματα της Γ' Γυμνασίου ήταν λίγο "διαφορετικά" αλλά αυτή δεν είναι άλλωστε και η ομορφιά των διαγωνισμών; Όπως και να έχει η δυσκολία είναι ίδια για όλους οπότε κάντε υπομονή μέχρι να βγουν τα αποτελέσματα για να δείτε πως πήγατε . Συνέχισε την προσπάθειά σου πάντως γιατί μόνο κερδισμένος- κερδισμένη έχεις να βγεις από την όλη διαδικασία!

Ωραία, ευχαριστώ πάρα πολύ. Όντως είναι ωραίο να βλέπεις διαφορετικά θέματα απλώς από προσωπική πλευρά δεν μου φάνηκαν τόσο διασκεδαστικά, με κούρασαν. Δεν τα παρατάμε

#23

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 6:17 pm

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:55 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:40 pm
Νομίζω στις επίσημες λύσεις το τελικό αποτέλεσμα έχει λάθος στο θέμα γεωμετρίας της Β' γυμνασίου
Πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, όχι μαθηματικό, το οποίο θα διορθωθεί σύντομα: $12\cdot 11=132$ .

No big deal!
Δεν εννοούσα αυτό!! Σκέψου προσπέρασα το τυπογραφικό... Μήπως είναι $13\cdot11$ ;

Σωστά! ΚΒ=α, όχι α-1. Θα διορθωθεί σύντομα. Είναι λάθη εκ παραδρομής πάντως. Ευχαριστούμε!

#24

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 6:17 pm

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:55 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 5:40 pm
Νομίζω στις επίσημες λύσεις το τελικό αποτέλεσμα έχει λάθος στο θέμα γεωμετρίας της Β' γυμνασίου
Πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, όχι μαθηματικό, το οποίο θα διορθωθεί σύντομα: $12\cdot 11=132$ .

No big deal!
Δεν εννοούσα αυτό!! Σκέψου προσπέρασα το τυπογραφικό... Μήπως είναι $13\cdot11$ ;

Ναι είναι $13\cdot 11.$

Mathmaster2009 · #25

Καλησπέρα σε όλους! Είμαι μαθητής της Γ γυμνασίου και θα ήθελα να μιλήσω για διαφορετικά και ιδιαίτερα,συμφωνα με πολλούς, πιο δυσκολα θεματα!
Το 1ο θέμα μας δίνει να βρούμε οτι ο ακέραιος με ψηφία α και β είναι πολ11(που βγαίνει απευθείας) καθώς και να προσδιορίσουμε τιμες για τον αριθμο που είναι πολλαπλασια του 4 και 9 μαζί..Το δεύτερο ερώτημα συνδυάζει κριτήρια διαιρετότητας και είναι ένα πολύ εύκολο θεμα θεωρίας αριθμών για όσους ασχολούνται..Αφού ο β ειναι πολ4 και πολ 11 ειναι και πολλ[4,11]=44 και β=0 ή β=4 ή β=8.Αντίστοιχα παίρνουμε καο τις τιμές για 2(α+β)=πολ 9, βρίσκουμε τα ζευγη λύσεων και αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων
παραγόντων.Δεν είναι ιδιαίτερα δυσκολό κατα τη γνώμη μου και έπιασα 5/5
Το 2 θέμα δεν το έλυσε σχεδόν κανένας..Πρόκειται για χαρακτηριστική διοφαντική εξίσωση..Επειδή ο Α ειναι ακέραιος πρέπει και τα κλασματα που προκύπτουν με την διασπαση του αριθμητή να είναι ακέραιοι και πρέπει τελικά 3ν+2 (διορθώστε με αν κάνω λάθος) να διαιρεί το 4. Συνεπώς παίρνουμε τις τιμές ν=0 ή ν=-1 ή ν= -2
Είναι πράγματι ένα αρκετά απαιτητικό για ευκλείδη θέμα και πρέπει να καταννοεί κανεις καλα την θεωρία αριθμών
Το θέμα 3 ήταν ένα προβλημα που κατα τη γνωμη μου δεν επρεπε να πεσει καν. Είναι ευκολο στην επίλυση του αλλα ξανά, ελάχιστα άτομα το καναν σωστό.Πολλοί συμμαθητές μου δεν διαίρεσαν με 2 στο 3α και βρήκαν λάθος λύση. Θα ήταν πιστεύω προτιμότερο να μπεί θεμα αλγεβρας αλλά it is what it is.Έπιασα 4/5 απο λάθος απροσεξίας
Το θέμα 4 είναι το κλασσικό θέμα γεωμετρίας σε δυσκολότερη μορφή.Είχε 3 ερωτήματα και ενώ προσωπικά εγώ έλυσα σωστά τα 2 πρώτα, θεωρώ οτι το 3ο ερώτημα ήταν πιο ευκολο.Πιστεύω οτι πέτυχα 3/5 στο θέμα αυτό
Γενικότερα, τα θέματα ήταν όντως πάνω κάτω δύσκολότερα και απαιτούν γνώση της θεωρίας, εξάσκηση σε διαγωνισμούς και τελικά συγκέντρωση και σωστή κατανομή χρόνου.Προσωπικά έγραψα πάνω κάτω 17/20..Εσείς πως τα πήγατε;

AnnM · #26

Mathmaster2009 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 6:42 pm
Καλησπέρα σε όλους! Είμαι μαθητής της Γ γυμνασίου και θα ήθελα να μιλήσω για διαφορετικά και ιδιαίτερα,συμφωνα με πολλούς, πιο δυσκολα θεματα!
Το 1ο θέμα μας δίνει να βρούμε οτι ο ακέραιος με ψηφία α και β είναι πολ11(που βγαίνει απευθείας) καθώς και να προσδιορίσουμε τιμες για τον αριθμο που είναι πολλαπλασια του 4 και 9 μαζί..Το δεύτερο ερώτημα συνδυάζει κριτήρια διαιρετότητας και είναι ένα πολύ εύκολο θεμα θεωρίας αριθμών για όσους ασχολούνται..Αφού ο β ειναι πολ4 και πολ 11 ειναι και πολλ[4,11]=44 και β=0 ή β=4 ή β=8.Αντίστοιχα παίρνουμε καο τις τιμές για 2(α+β)=πολ 9, βρίσκουμε τα ζευγη λύσεων και αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων
παραγόντων.Δεν είναι ιδιαίτερα δυσκολό κατα τη γνώμη μου και έπιασα 5/5
Το 2 θέμα δεν το έλυσε σχεδόν κανένας..Πρόκειται για χαρακτηριστική διοφαντική εξίσωση..Επειδή ο Α ειναι ακέραιος πρέπει και τα κλασματα που προκύπτουν με την διασπαση του αριθμητή να είναι ακέραιοι και πρέπει τελικά 3ν+2 (διορθώστε με αν κάνω λάθος) να διαιρεί το 4. Συνεπώς παίρνουμε τις τιμές ν=0 ή ν=-1 ή ν= -2
Είναι πράγματι ένα αρκετά απαιτητικό για ευκλείδη θέμα και πρέπει να καταννοεί κανεις καλα την θεωρία αριθμών
Το θέμα 3 ήταν ένα προβλημα που κατα τη γνωμη μου δεν επρεπε να πεσει καν. Είναι ευκολο στην επίλυση του αλλα ξανά, ελάχιστα άτομα το καναν σωστό.Πολλοί συμμαθητές μου δεν διαίρεσαν με 2 στο 3α και βρήκαν λάθος λύση. Θα ήταν πιστεύω προτιμότερο να μπεί θεμα αλγεβρας αλλά it is what it is.Έπιασα 4/5 απο λάθος απροσεξίας
Το θέμα 4 είναι το κλασσικό θέμα γεωμετρίας σε δυσκολότερη μορφή.Είχε 3 ερωτήματα και ενώ προσωπικά εγώ έλυσα σωστά τα 2 πρώτα, θεωρώ οτι το 3ο ερώτημα ήταν πιο ευκολο.Πιστεύω οτι πέτυχα 3/5 στο θέμα αυτό
Γενικότερα, τα θέματα ήταν όντως πάνω κάτω δύσκολότερα και απαιτούν γνώση της θεωρίας, εξάσκηση σε διαγωνισμούς και τελικά συγκέντρωση και σωστή κατανομή χρόνου.Προσωπικά έγραψα πάνω κάτω 17/20..Εσείς πως τα πήγατε;

Πρώτο θέμα έκανα λαθος απροσεξίας 4/5
Δεύτερο θέμα πιστεύω 1-2/5 γιατί ξεκίνησα μια πολύ σωστή μεθοδολογία αλλά κατέληξα σε οτι ναναι. 3ο θέμα 3/5 γιατί έπιασα πρώτο ερώτημα ολοσωστο και κάτι ψιλά από 2ο γτ το άφησα για το τέλος και μπερδευτικα εντελώς. Γεωμετρία πιστεύω 2--3/5 γιατί το πρώτο ερώτημα το i το δούλεψα αλλιώς , γράφοντας κύκλο και αποδεικνύοντας, το ii ερώτημα το απέδειξα μισό,αλλά βγαίνει και το β σωστή σκέψη αλλά έκανα λαθος και η απόδειξη βγήκε λανθασμένη. Σύνολο κάπου στο 10-13. Γύρω στα 2-2,5 θέματα. Θεωρώ για τα φετινά θέματα καλά τα πηγα. Συγχαρητήρια σε εσένα 17/20 πολύ καλά!

Dimessi · #27

Μια διαφορετική λύση για το πρόβλημα 2 Γ -Λυκείου:
Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα $\displaystyle \left\{\begin{matrix} 4x+3y^{3}=z^{5} & & & \\ 4y+3z^{3}=x^{5} & & & \\ 4z+3x^{3}=y^{5} & & & \end{matrix}\right.$
ΛΥΣΗ:
Υποθέτουμε λόγω κυκλικότητας χωρίς βλάβη ότι $x\geq y\geq z$ και παίρνουμε $4x+3y^{3}\geq 4y+3z^{3}\Leftrightarrow z^{5}\geq x^{5}\Leftrightarrow x\leq z$ , άρα x=z.

Επομένως $4x+3y^{3}=z^{5}=x^{5}=4y+3z^{3}=4y+3x^{3}\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left [ 4-3\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right ) \right ]=0.$ Αν ήταν $x\neq y,$ παίρνουμε $\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}=\frac{4}{3}\Rightarrow \boxed{x^{4}+3x^{2}y^{2}+y^{4}+2x^{3}y+2xy^{3}=\frac{16}{9}}\left ( 1 \right ).$ Είναι $\displaystyle x^{5}-y^{5}=4\left ( y-x \right )\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left [ x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+x^{3}y+xy^{3}+4 \right ]=0$ από όπου, αφού $x\neq y,$ παίρνουμε $\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+x^{3}y+xy^{3}=-4\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow 2x^{2}y^{2}+xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )=\frac{52}{9}\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}+xy\left ( \frac{4}{3}-xy \right )=\frac{52}{9}.$ Επομένως $\displaystyle xy=\frac{-2-2\sqrt{14}}{3}\vee xy=\frac{2\sqrt{14}-2}{3}.$ Αν ήταν $\displaystyle xy=\frac{2\sqrt{14}-2}{3}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=\frac{6-2\sqrt{14}}{3}< 0,$ άτοπο. Άρα, έχουμε $\displaystyle xy=\frac{-2-2\sqrt{14}}{3}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=\frac{6+2\sqrt{14}}{3}\Rightarrow x^{2}+\frac{\left ( 2+2\sqrt{14} \right )^{2}}{9x^{2}}=\frac{6+2\sqrt{14}}{3}.$ Από την ανισότητα AM-GM παίρνουμε $\displaystyle x^{2}+\frac{\left ( 2+2\sqrt{14} \right )^{2}}{9x^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{\left ( 2+2\sqrt{14} \right )^{2}}{9}}=\frac{4\left ( 1+\sqrt{14} \right )}{3}> \frac{6+2\sqrt{14}}{3},$ άτοπο. Άρα, είναι x=y=z

και πηγαίνοντας στην αρχική παίρνουμε $4x+3x^{3}=x^{5}$ και οι τριάδες που είναι λύσεις είναι $\displaystyle \left ( x,y,z \right )\in \left \{ \left ( -2,-2,-2 \right ),\left ( 0,0,0 \right ),\left ( 2,2,2 \right ) \right \}.$
Όμοια και η άλλη περίπτωση, όπου $x\geq z\geq y.$ Και λοιπά.

Nick Rapanos · #28

Μία σύντομη παρατήρηση για τη Γ Γυμνασίου.

Στο πρόβλημα 4, θεωρώ ότι η λύση που περιμένει η ΕΜΕ στο τελευταίο ερώτημα προκύπτει από τις εξής σχέσεις
$EB = EC = ED \Longrightarrow x^2 + \beta^2 = (\gamma + x)^2 \Longrightarrow x = \frac{\beta^2-\gamma^2}{2\gamma}$ όπου x = AE = AD

. Γενικότερα, όμως, προκύπτει η ίδια σχέση για το

για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με $\beta > \gamma$ και μεσοκάθετο

- ανεξάρτητα από τη γωνία $\widehat{B}$ . Αυτό προκύπτει γιατί το τετράπλευρο AMCE

είναι εγγράψιμο και από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο του εγγραψίμου έχουμε $BM \cdot BC = BA \cdot BE \Longrightarrow x = \frac{\beta^2-\gamma^2}{2\gamma}$ .

Προφανώς, γνωρίζω ότι τα παιδιά της Γ Γυμνασίου δεν έχουν διδαχθεί δύναμη σημείου ως προς κύκλο, αλλά αυτοί που θέλουν να προχωρήσουν από εδώ και πέρα θα πρέπει να καλύψουν αυτές τις βασικές γνώσεις γεωμετρίας αρχίζοντας από το βιβλίο του λυκείου.

#29

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 9:06 pm
Υποθέτουμε λόγω κυκλικότητας χωρίς βλάβη ότι $x\geq y\geq z$

Όταν το σύστημα (ή η ανισότητα) είναι κυκλικό πρέπει να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: $x\geq y\geq z$ και $x\geq z\geq y$ .

Dimessi · #30

silouan έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 10:25 pm

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 9:06 pm
Υποθέτουμε λόγω κυκλικότητας χωρίς βλάβη ότι $x\geq y\geq z$
Όταν το σύστημα (ή η ανισότητα) είναι κυκλικό πρέπει να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: $x\geq y\geq z$ και $x\geq z\geq y$ .

Προφανώς, αλλά ακριβώς όμοια είναι και η άλλη περίπτωση.Αυτα είναι αυτονόητα πιστεύω. Είναι γραμμένα και παραπάνω. Εγώ ήθελα να εκμαιευσω μια διαφορετική αντιμετώπιση.Στην ουσία, το συμπέρασμα της πρώτης υπόθεσης μας φανερώνει ότι το ίδιο ισχύει και στην δεύτερη περίπτωση. Δεν χαλάει η ουσία.

Kavousianos Ioannis · #31

Συγγνώμη που δεν το έγραψα με Geogebra δεν ξέρω πως ακόμα...

Mathmaster2009 · #32

Kavousianos Ioannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 4:50 pm
Συγγνώμη που δεν το έγραψα με Geogebra δεν ξέρω πως ακόμα...

Πολύ ωραία λύση φίλε μου! Αν και ξεφεύγει απο το επίπεδο της β γυμνασίου η τηλεσκοπική ιδιότητα, είναι σίγουρα μια πολυ ομορφη λύση! Το ίδιο σκεφτηκα και εγώ με το που ειδα τα θεματα της β!

#33

Mathmaster2009 έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 5:15 pm

Kavousianos Ioannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 4:50 pm
Συγγνώμη που δεν το έγραψα με Geogebra δεν ξέρω πως ακόμα...
Πολύ ωραία λύση φίλε μου! Αν και ξεφεύγει απο το επίπεδο της β γυμνασίου η τηλεσκοπική ιδιότητα, είναι σίγουρα μια πολυ ομορφη λύση! Το ίδιο σκεφτηκα και εγώ με το που ειδα τα θεματα της β!

Δείτε εδώ.

mfw240 · #34

Καλησπέρα σε όλους! Είμαι μαθητής της Β' Λυκείου. Προσωπικά, πιστεύω ότι τα θέματα της Β' Λυκείου ήταν αρκετά βατά σε σχέση με άλλες χρονιές. Το πρώτο θέμα μου βγήκε πολύ εύκολα και ουσιαστικά το μόνο στο οποίο θα έπρεπε να προσέξει κάποιος ήταν η περίπτωση που το ν ήταν ίσο με 0. Το δεύτερο πρόβλημα ήταν επίσης αρκετά απλό, αν και με δυσκόλεψε λίγο μέχρι να βρω την κατάλληλη ομοιότητα τριγώνων. Στο τρίτο πρόβλημα αντιμετώπισα αρκετά προβλήματα, καθώς το άφησα για το τελευταίο τέταρτο και ενώ είχα βρει την λύση δεν ήξερα πως να την διατυπώσω και να την αποδείξω με μαθηματικά ορθό τρόπο. Τελικά, έγραψα μόνο μερικές στοιχειώδεις διαπιστώσεις μου. Στο τέταρτο πρόβλημα, αν και μου ήταν χρονοβόρο λόγω των πολλών αριθμητικών υπολογισμών αργότερα, έφτασα χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία στην απαιτούμενη παραγοντοποίηση, που είναι άλλωστε συνηθισμένη σε προβλήματα θεωρίας αριθμών. Συνολικά, πιστεύω ότι συγκέντρωσα κάπου στους 16-17 βαθμούς. Πιστεύετε με βάση και τα αποτελέσματα των προηγούμενων ετών, ότι θα καταφέρω να περάσω στον Αρχιμήδη;

#35

mfw240 έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 5:39 pm
Καλησπέρα σε όλους! Είμαι μαθητής της Β' Λυκείου. Προσωπικά, πιστεύω ότι τα θέματα της Β' Λυκείου ήταν αρκετά βατά σε σχέση με άλλες χρονιές. Το πρώτο θέμα μου βγήκε πολύ εύκολα και ουσιαστικά το μόνο στο οποίο θα έπρεπε να προσέξει κάποιος ήταν η περίπτωση που το ν ήταν ίσο με 0. Το δεύτερο πρόβλημα ήταν επίσης αρκετά απλό, αν και με δυσκόλεψε λίγο μέχρι να βρω την κατάλληλη ομοιότητα τριγώνων. Στο τρίτο πρόβλημα αντιμετώπισα αρκετά προβλήματα, καθώς το άφησα για το τελευταίο τέταρτο και ενώ είχα βρει την λύση δεν ήξερα πως να την διατυπώσω και να την αποδείξω με μαθηματικά ορθό τρόπο. Τελικά, έγραψα μόνο μερικές στοιχειώδεις διαπιστώσεις μου. Στο τέταρτο πρόβλημα, αν και μου ήταν χρονοβόρο λόγω των πολλών αριθμητικών υπολογισμών αργότερα, έφτασα χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία στην απαιτούμενη παραγοντοποίηση, που είναι άλλωστε συνηθισμένη σε προβλήματα θεωρίας αριθμών. Συνολικά, πιστεύω ότι συγκέντρωσα κάπου στους 16-17 βαθμούς. Πιστεύετε με βάση και τα αποτελέσματα των προηγούμενων ετών, ότι θα καταφέρω να περάσω στον Αρχιμήδη;

Δεν έχει σημασία τι πιστεύει ο οποιοσδήποτε εδώ. Συνέχισε να μαθαίνεις νέα πράγματα, να λύνεις προβλήματα και να μελετάς μαθηματικά με αγάπη γι'αυτά.

Δες και αυτό το ποστ.

kfd · #36

Γ΄Γυμνασίου
4.β.ΜΕΓ όμοιο ΑΒΓ άρα $\frac{\sqrt{b^{2}+x^{2}}}{a}=\frac{a}{2c}\Leftrightarrow x^{2}=\frac{a^{4}-4c^{2}b^{2}}{4c^{2}}=\frac{\left ( b^{2} -c^{2}\right )^{2}}{4c^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{b^{2}-c^{2}}{2c}$

Mathmaster2009 · #37

Γ γυμνασίου Θέμα 1(Η δική μου αναλυτική λύση)
α) aabb= 1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b)=πολ.11
b)Απο τα κριτήρια διαιρετότητας με το 4 παίρνουμε οτι ο aabb διαιρείται με το 4 αν και μονο αν ο bb=11b διαιρείται με το 4.Επειδη ειναι πολλαπλασιο του 4 και του 11 θα ειναι και του[4,11]=44 δηλαδή bb=0•44=0 ή bb=1•44=44 ή bb=2•44=88 δηλαδή b=(0,4,8)
Πρέπει επίσης ο αριθμός να διαιρείται με το 9, πρεπει δηλαδή ο a+a+b+b=πολ.9 δηλαδή 2(a+b)=πολ.9
Αφου ειναι πολλαπλάσιο του 9 και του 2 θα είναι και του [2,9]=18. Όμως 2(a+b)</36 και επειδή b δεν είναι 9, τότε 2(a+b)<36. Άρα 2(a+b)=18 και a+b=9 και a=9-b
Για b=0, a=9-0=9 και (a,b)=(9,0)
Για b=4, a=9-4=5 και (a,b)=(5,4)
Για b=8, a=9-8=1 και (a,b)=(1,8)
Αρα aabb=(9900,5544,1188) και μένει να αναλύσει κανεις τους αριθμούς αυτούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων!

#38

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την προσπάθειά τους.
Προφανώς δεν μπορεί να γνωρίζει κανείς τις πιθανότητες του να περάσει στον Αρχιμήδη.
Γίνεται προσπάθεια τα αποτελέσματα να βγούν το συντομότερο δυνατό καθώς σε ένα μήνα περίπου ακλουθεί η επόμενη φάση. Νομίζω ότι 15-20 μέρες είναι έναλογικό διάστημα. Εξαιρετικά νομίζω τα θέματα σε γενικές γραμμές.
Για το 3ο θέμα της Β Λυκείου:
Αν αριθμήσουμε τις θέσεις με 1,2,3... κλπβλέπουμε ότι στις περιττής τάξης θέσεις δεν μπορούν να τοποθετηθούν πάνω από 5 αγόρια καθώς δεν μπορούν να είναι σε διαδοχικές περιττές θέσεις. Ομοίως και στις άρτιες θέσεις. Επομένως τα αγόρια δεν μπορεί να είναι πάνω από 10. Εύκολα τώρα τοποθετούμε 12 κορίτσια ΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚ.

Ιστοσελίδα · #39

Καλησπέρα και από εμένα.
Μία ακόμα λύση για το Α3:

Έστω ότι υπάρχουν τέτοιοι $a,b,c \in \mathbb{R}$ , ώστε: $a = (b+c)^2 \geq 0 , b = (a+c)^2 \geq 0 , c = (a+b)^2 \geq 0$ , τότε θα ισχύει ότι $a,b,c \geq 0$ , οπότε μπορούμε να υποθέσουμε, αφού είναι διαφορετικοί ανά δύο ότι πχ $0\leq a< b< c$ οπότε και 0<b<c

και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε:

$0<a+b < b + c \Rightarrow c=(a+b)^2 < (b+c)^2 = a \Rightarrow c<a$ , το οποίο είναι άτοπο.

Συνεπώς δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.

#40

Ανεβάζω κι εδώ τις ενδεικτικές λύσεις της ΕΜΕ.

THEMATA_LYSEIS_EYKLEIDH_20_1_2024_neo.pdf: (558.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Διαφορετική λύση

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: Διαφορετική λύση

Re: Διαφορετική λύση

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

Μέλη σε σύνδεση