Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Καλησπέρα σας!
Την περίοδο πριν τον ΑΡΧΙΜΗΔΗ πέρυσι, είχα ετοιμάσει κάποια τεστ προετοιμασίας για τον μαθητή του σχολείου μας Νικόλαο Ευγενίδη.
Οι κανόνες ήταν να γράψει το τεστ στο σπίτι του υπό διαγωνιστικές συνθήκες, σε 4 ώρες. Στη συνέχεια συζητούσαμε τις λύσεις τους στο σχολείο.
Παρεμπιπτόντως, ο Νίκος προκρίθηκε και φέτος για 4η συνεχή χρονιά.
Ελπίζω κάποια από αυτά να φανούν χρήσιμα και φέτος σε όποιον θέλει κάποια εξάσκηση.
**********************************************
Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ:
Practice TEST 1
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
και
για κάθε πραγματικό .
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι πρώτοι και να ισχύει
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν , τότε
ΘΕΜΑ 4. Δίνεται κυρτό πεντάγωνο τέτοιο ώστε και
και
Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Την περίοδο πριν τον ΑΡΧΙΜΗΔΗ πέρυσι, είχα ετοιμάσει κάποια τεστ προετοιμασίας για τον μαθητή του σχολείου μας Νικόλαο Ευγενίδη.
Οι κανόνες ήταν να γράψει το τεστ στο σπίτι του υπό διαγωνιστικές συνθήκες, σε 4 ώρες. Στη συνέχεια συζητούσαμε τις λύσεις τους στο σχολείο.
Παρεμπιπτόντως, ο Νίκος προκρίθηκε και φέτος για 4η συνεχή χρονιά.
Ελπίζω κάποια από αυτά να φανούν χρήσιμα και φέτος σε όποιον θέλει κάποια εξάσκηση.
**********************************************
Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ:
Practice TEST 1
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
και
για κάθε πραγματικό .
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι πρώτοι και να ισχύει
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν , τότε
ΘΕΜΑ 4. Δίνεται κυρτό πεντάγωνο τέτοιο ώστε και
και
Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Κύριε Αχιλλέα ειναι τελειο. Μήπως εχετε και για JUNIORS;;;
Θα ήμουν ευγνώμων....
Θα ήμουν ευγνώμων....
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Καλησπέρα, Χάρη,ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Κύριε Αχιλλέα ειναι τελειο. Μήπως εχετε και για JUNIORS;;;
Θα ήμουν ευγνώμων....
Δυστυχώς δεν έχω ετοιμάσει κάτι σε Juniors, αλλά ελπίζω να βρω χρόνο να το κάνω σύντομα.
Παρεμπιπτόντως, το παραπάνω 1ο τεστ αποδείχθηκε στην πράξη ότι ήταν αρκετά δύσκολο.
Έτσι, προσπάθησα στα επόμενα τεστ να έχω και μια πιο προσιτή άσκηση, τουλάχιστον σε όποιο μαθητή έχει ασχοληθεί με διαγωνισμούς.
Δεν ισχυρίζομαι, λοιπόν, ότι το επίπεδο δυσκολίας ταυτίζεται με αυτό του ΑΡΧΙΜΗΔΗ. Ελπίζω να είναι κοντά, πάντως.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6424
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Υποθέτουμε ότιachilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν , τότε
οπότε είναι και είναι
οπότε αρκεί
Επειδή είναι άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι
η οποία προφανώς ισχύει.
Μάγκος Θάνος
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Διαφορετικά για το 3:
Το αριστερό μέλος είναι κυρτή συνάρτηση της κάθε μεταβλητής, οπότε μεγιστοποιείται σε κάποιο άκρο. Εξετάζοντας περιπτώσεις βλέπουμε ότι το ολικό μέγιστο επιτυγχάνεται για με τιμή .
Το αριστερό μέλος είναι κυρτή συνάρτηση της κάθε μεταβλητής, οπότε μεγιστοποιείται σε κάποιο άκρο. Εξετάζοντας περιπτώσεις βλέπουμε ότι το ολικό μέγιστο επιτυγχάνεται για με τιμή .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι Παρατηρούμε ότι:achilleas έγραψε: Practice TEST 1
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι πρώτοι και να ισχύει
οπότε
Αλλά είναι:
κι αφού ο αριθμός είναι πρώτος, θα πρέπει να διαρεί τον ή τον
Επειδή ο δεν μπορεί να διαιρεί τον Άρα, θα διαιρεί τον οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε Αλλά έχουμε ότι:
οπότε και άρα και Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι Λόγω συμμετρίας, προκύπτει και η λύση
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Από τις σχέσειςachilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 1. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα και με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
και
για κάθε πραγματικό .
και
προκύπτει ότι:
.
Επειδή το πολυώνυμο περιέχει μόνο άρτιες δυνάμεις του , ενώ το πολυώνυμο περιέχει μόνο περιττές δυνάμεις του , η σχέση δίνει ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό (μη μηδενικό), και το πολυώνυμο έχει βαθμό , με σταθερό όρο ίσο με (αφού έχει ρίζα το ). Επομένως, υπάρχουν αριθμοί με τέτοιοι, ώστε
και
από όπου άμεσα προκύπτει ότι
Από τη σχέση
έχουμε ότι το πολυώνυμο έχει βαθμό , οπότε θα υπάρχουν με τέτοιοι, ώστε
Έχουμε ότι:
οπότε και Έτσι, είναι
και
Η σχέση δίνει τώρα ότι:
οπότε και άρα
Ώστε, είναι και που, όπως εύκολα ελέγχουμε, επαληθεύουν τις δοσμένες σχέσεις.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Δίνω μια διαφορετική απόδειξη η οποία βασίζεται στο πλήθος των τρόπων που μπορούμε να γράψουμε έναν φυσικό αριθμό ως άθροισμα δύο τετραγώνων.achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι πρώτοι και να ισχύει
Αν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων όπου και , τότε ο γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν όλα τα είναι άρτιοι. Επιπλέον σε αυτήν την περίπτωση αυτό μπορεί να γίνει με ακριβώς
τρόπους αν όλα τα είναι άρτιοι
τρόπους αν τουλάχιστον ένα είναι περιττος
Στην καταμέτρηση δεν λαμβάνονται υπόψη ούτε τα πρόσημα ούτε και η σειρά.
Στην άσκησή μας τώρα:
Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Το είναι γινόμενο δυο πρώτων της μορφής ή . Από τα προηγούμενα το μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων με
- έναν τρόπο αν ή αν
- δύο τρόπους σε διαφορετική περίπτωση
Αλλά . Αφού τότε αυτοί είναι δύο διαφορετικοί τρόποι εκτός και αν και το οποίο δίνει .
Άρα σε κάθε περίπτωση πρέπει ένα από τα να ισούται με . Επειδή πρέπει . (Η περίπτωση επίσης δίνει .) Τότε όμως ένας από τους και είναι άρτιος και άρα ισούται με το . Οπότε και το οποίο ελέγχουμε ότι είναι δεκτό.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης #1-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
4.
Έστω σημείο ώστε (όμοια με ίδιο προσανατολισμό).
Τότε είναι και από υπόθεση.
Έτσι το είναι το ορθόκεντρο του .
Έχουμε :
.
και επιπλέον από κατασκευή,.
Έτσι .
Από την ομοιότητα τώρα,,που λόγω δίνει .
Έστω σημείο ώστε (όμοια με ίδιο προσανατολισμό).
Τότε είναι και από υπόθεση.
Έτσι το είναι το ορθόκεντρο του .
Έχουμε :
.
και επιπλέον από κατασκευή,.
Έτσι .
Από την ομοιότητα τώρα,,που λόγω δίνει .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες