Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm
Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
Δίνονται οι συναρτήσεις με
και δυο φορές παραγωγίσιμη στο με
η οποία έχει εφαπτομένη τη διχοτόμο στο σημείο της γραφικής της παράστασης .
Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα , τα σημεία καμπής και να γίνει η γραφική της παράσταση .
Να βρεθεί το πλήθος των στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των έχουν παράλληλες εφαπτομένες στα σημεία με τετμημένες .
Να βρεθεί το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των .
Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια και .
και δυο φορές παραγωγίσιμη στο με
η οποία έχει εφαπτομένη τη διχοτόμο στο σημείο της γραφικής της παράστασης .
Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα , τα σημεία καμπής και να γίνει η γραφική της παράσταση .
Να βρεθεί το πλήθος των στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των έχουν παράλληλες εφαπτομένες στα σημεία με τετμημένες .
Να βρεθεί το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των .
Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια και .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
a)Έχουμε:
Λύνοντας:
Επομένως:
Και έτσι: η είναι αύξουσα στο
Και παρουσιάζει ελάχιστο για , το
Και μέγιστο για , το
Έχουμε:
Λύνοντας:
Επομένως: και
Έτσι η είναι κυρτή στο και κοίλη στο
Ενώ παρουσιάζει σημείο καμπής για το
b)Αρκεί να βρώ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
Έχω ότι η εφαπτομένη της στο είναι η ευθεία:
Επομένως, ισχύει: (A)
Για , προκύπτει:
Και επομένως:
Επίσης έχω ότι:
Επομένως ισχύει ότι: και
Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο για , το
Και απο Θ.Φερμά προκύπτει:
Θεωρώ:
Έχουμε:
Για ισχύει: και
Επομένως:
Για αντίστοιχα:
Άρα, συνολικά: και
Και επομένως η είναι αύξουσα στο [-\pi,0] και φθίνουσα στο
ισχύει: και
Άρα λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχει μοναδικό ώστε:
Αντίστοιχα, αφού: υπάρχει μοναδικό ώστε:
Συνολικά, δηλαδή η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες και άρα υπάρχουν δύο τετμημένες τέτοιες ώστε οι εφαπτομένες των και να είναι παράλληλες.
c) Αρκεί να βρώ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
Θεωρώ: , όπου όμως :
Και είδαμε πρίν οτι η είναι αύξουσα στο και φθίνουσα στο
Και ισχύει:
Άρα έχουμε: ,
Επομένως: η είναι αύξουσα στο και φθίνουσα στο
καθώς: Αφού η είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο και η g είναι κοίλη για
Αντίστοιχα:
Επομένως λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχουν μοναδικά ώστε:
Με και
Στο η είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης λόγω μονοτονίας.
Συνολικά, η εξίσωση έχει συνολικά τρείς ακριβώς ρίζες.
Δηλαδή, υπάρχουν τρία κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των και
d) Για η είναι κυρτή και επομένως η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω απο κάθε της εφαπτομένη
Άρα
Αντίστοιχα προκύπτει και
Λύνοντας:
Επομένως:
Και έτσι: η είναι αύξουσα στο
Και παρουσιάζει ελάχιστο για , το
Και μέγιστο για , το
Έχουμε:
Λύνοντας:
Επομένως: και
Έτσι η είναι κυρτή στο και κοίλη στο
Ενώ παρουσιάζει σημείο καμπής για το
b)Αρκεί να βρώ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
Έχω ότι η εφαπτομένη της στο είναι η ευθεία:
Επομένως, ισχύει: (A)
Για , προκύπτει:
Και επομένως:
Επίσης έχω ότι:
Επομένως ισχύει ότι: και
Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο για , το
Και απο Θ.Φερμά προκύπτει:
Θεωρώ:
Έχουμε:
Για ισχύει: και
Επομένως:
Για αντίστοιχα:
Άρα, συνολικά: και
Και επομένως η είναι αύξουσα στο [-\pi,0] και φθίνουσα στο
ισχύει: και
Άρα λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχει μοναδικό ώστε:
Αντίστοιχα, αφού: υπάρχει μοναδικό ώστε:
Συνολικά, δηλαδή η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες και άρα υπάρχουν δύο τετμημένες τέτοιες ώστε οι εφαπτομένες των και να είναι παράλληλες.
c) Αρκεί να βρώ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
Θεωρώ: , όπου όμως :
Και είδαμε πρίν οτι η είναι αύξουσα στο και φθίνουσα στο
Και ισχύει:
Άρα έχουμε: ,
Επομένως: η είναι αύξουσα στο και φθίνουσα στο
καθώς: Αφού η είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο και η g είναι κοίλη για
Αντίστοιχα:
Επομένως λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχουν μοναδικά ώστε:
Με και
Στο η είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης λόγω μονοτονίας.
Συνολικά, η εξίσωση έχει συνολικά τρείς ακριβώς ρίζες.
Δηλαδή, υπάρχουν τρία κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των και
d) Για η είναι κυρτή και επομένως η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω απο κάθε της εφαπτομένη
Άρα
Αντίστοιχα προκύπτει και
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Πέμ Φεβ 24, 2022 1:14 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1755
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
Προσοχή : Η λύση στα β,γ είναι λάθος
Edit
Αφού διορθώθηκε βάζω και τη γραφική παράσταση
μαζί με την (υποθετική ) .
Edit
Αφού διορθώθηκε βάζω και τη γραφική παράσταση
μαζί με την (υποθετική ) .
- Συνημμένα
-
- fg.png (43.24 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Πέμ Φεβ 24, 2022 10:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη
Έχετε δίκιο, μπερδεύτηκα σε ένα σημείο.Ευχαριστώ πολύ.
Διορθώθηκε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης