Ολίγον από... σχολικό

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο (-1,1)

τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(-1)=\ln 2 -1}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(1)=1+\ln 2}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm} f'(x)\leqslant \frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x^{2}+1}}$ , για κάθε $x\in (-1,1)$

(α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+\ln \left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in [-1,1]$ .

(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης

.

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ .
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \color{red} \left [\ln 2 -1,1 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$ (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1

, αν γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1}=\frac{\pi }{2}}$ Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μια μεσημεριανή κατασκευή.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(-1)=\ln 2 -1}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(1)=1+\ln 2}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm} f'(x)\leqslant \frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x^{2}+1}}$ , για κάθε $x\in (-1,1)$

(α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+\ln \left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in [-1,1]$ .

(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης .

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ .
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$ (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , αν γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1}=\frac{\pi }{2}}$ Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στο (α) .
Είναι $f'(x)\leq \dfrac{(x+1)^2}{x^2+1} \Leftrightarrow f'(x)\leq \dfrac{x^2+1}{x^2+1}+\dfrac{2x}{x^2+1} \Leftrightarrow (f(x) -x -ln (x^2+1))' \leq 0 (1)$ .
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x) -x -ln (x^2+1)

, συνεχής στο [-1,1]

ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων
και παραγωγίσιμη στο (-1,1)

ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων .

Συνεπώς από ΘΜΤ. στο [-1,x]

, υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi _{1} \in (-1,x)$ τέτοιο ώστε :
$g(\xi _{1} ) = \dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1} = \dfrac{f(x)-x -ln (x^2+1) -0 }{x+1}\leq 0$ λόγω της (1).
Άρα ισχύει : $f(x) \leq x +ln (x^2+1)$ (2).

Ομοίως από ΘΜΤ. στο [x,1]

, υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi _{2} \in (x,1)$ τέτοιο ώστε :
$g(\xi _{2} ) = \dfrac{g(1)-g(x)}{x-1} = \dfrac{ 0 - f(x)+x + ln (x^2+1)}{1-x} \leq 0$ λόγω της (1).
Άρα ισχύει : $f(x) \geq x +ln (x^2+1)$ (3).

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι f(x) = x +ln (x^2+1)

.

Δυστυχώς πρέπει να φύγω . Θα επανέλθω...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Tolaso J Kos · #3

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μια μεσημεριανή κατασκευή.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(-1)=\ln 2 -1}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(1)=1+\ln 2}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm} f'(x)\leqslant \frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x^{2}+1}}$ , για κάθε $x\in (-1,1)$

(α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+\ln \left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in [-1,1]$ .

(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης .

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ .
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$ (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , αν γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1}=\frac{\pi }{2}}$ Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα

(α) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = f(x) - x - \ln \left(x^2 + 1 \right)}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [-1, 1]

με $g'(x) \leq 0$ από την υπόθεση. Συνεπώς η

είναι φθίνουσα. Επειδή είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα θα παίρνει ως μονότονη μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο x_0=1

και στο

αντίστοιχα. Τότε
$\displaystyle{g(1) \geq g(x) \geq g(-1) \Rightarrow 0 \geq g(x) \geq 0}$ Άρα g(x)=0

για κάθε $x \in [-1, 1]$ και κατά συνέπεια $f(x) = x + \ln \left(x^2+1 \right) \;\; x \in [-1, 1]$ .

(β) Είναι $\displaystyle{f'(x) = 1 + \frac{2x}{x^2+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+1} \geq 0 }$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=-1

. Κατά συνέπεια η

είναι γνήσια αύξουσα. Για το μέγιστο της

έχουμε
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) &= 1 + \frac{2x}{x^2+1} \\ &\leq 1 + 1 \\ &=2 \end{aligned}}$ με ισότητα όταν x=1

. Φυσικά ισχύει
$\displaystyle{\frac{2x}{x^2+1} \leq 1 \Leftrightarrow x^2+1 \geq 2x \Leftrightarrow \left ( x - 1 \right )^2 \geq 0}$ (γ.ι)Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το [f(-1), f(1)]

δηλ. το σύνολο
$\displaystyle{\mathcal{R} = \left [ \ln 2 -1 , 1 + \ln 2 \right ]}$ (γ.ιι)

Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.

(δ) Για $x \geq 0$ είναι $f(x) \geq 0$ αφού

γνήσια αύξουσα. Τότε το εμβαδόν που περικλείεται των αξόνων και της ευθείας x=1

είναι ίσο με
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{1} \left [ x + \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ] \, {\rm d}x \\ &=\frac{1}{2} + \int_{0}^{1} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} + \left [ x \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ]_0^1 - 2\int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2+1} \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} + \ln 2 - 2\int_{0}^{1} \left ( 1 - \frac{1}{x^2+1} \right ) \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} +\ln 2 - 2 + \int_{-1}^{1} \frac{{\rm d}x}{x^2+1} \\ &= \ln 2 + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \end{aligned}}$

Christos.N · #4

Tolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι) Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.

Λήμμα

Αν

γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και f^-1

γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Απόδειξη:

$\displaystyle{{x_1},{x_2} \in {D_{{f^{ - 1}}}}:{x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right)} \right) < f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } {f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right) < {f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)}$

Παρατήρηση-υπόδειξη : $\displaystyle{f\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) > x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ne 0}$

Ξέχασα:

M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$

Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.

Παπαστεργίου Κώστας · #5

Για το α) που είναι και το πιο ενδιαφέρον είναι ${f}'\left ( x \right )\leq \frac{x+1^{2}}{x^{2}+1}= 1+\frac{2x}{x^{2}+1}= {x}'+{(ln(x^{2}+1)})'\Rightarrow {f}'\left ( x \right )-{x}'-{(ln(x^{2}+1))}'\leq 0$ .
Δηλαδή η $f\left ( x \right )-x-ln(x^{2}+1)$ είναι φθίνουσα με την ίδια τιμή 0 στα άκρα -1 και 1 άρα είναι η σταθερή συνάρτηση 0 οπότε $f(x)=x+ln(x^{2}+1)$

Σταμ. Γλάρος · #6

Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι) Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.

Λήμμα

Αν γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Απόδειξη:

$\displaystyle{{x_1},{x_2} \in {D_{{f^{ - 1}}}}:{x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right)} \right) < f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } {f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right) < {f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)}$

Παρατήρηση-υπόδειξη : $\displaystyle{f\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) > x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ne 0}$

Ξέχασα:

M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.

Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...

Είναι: $f(x)+x=2f^{-1}(x)$ $\Leftrightarrow$ $f(x)+x=f^{-1}(x) + f^{-1}(x)$ (1)

Ισχύει : $f'(x) = \dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο [-1,1]

.

Επίσης $f''(x) = \dfrac{2(1-χ^2)}{(x^2+1)^2}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η

είναι κυρτή στο [-1,1]

.

Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο O(0,f(0)=0)

είναι η

.
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης

βρίσκεται πάνω από την y=x

, εκτός από το σημείο επαφής.

Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$ , είναι συμμετρική της

με άξονα συμμετρίας την y=x

. Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο O(0,0)

,βρίσκεται κάτω από την y=x

, εκτός από το σημείο επαφής.

Από τα παραπάνω προκύπτει $f(x)>f^{-1}(x)$ και $x>f^{-1}(x)$ , για κάθε $x\neq 0$ , στο [-1,1]

.

Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η x=0

. Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

M.S.Vovos · #7

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι) Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.

Λήμμα

Αν γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Απόδειξη:

$\displaystyle{{x_1},{x_2} \in {D_{{f^{ - 1}}}}:{x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right)} \right) < f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } {f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right) < {f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)}$

Παρατήρηση-υπόδειξη : $\displaystyle{f\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) > x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ne 0}$

Ξέχασα:

M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.
Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...

Είναι: $f(x)+x=2f^{-1}(x)$ $\Leftrightarrow$ $f(x)+x=f^{-1}(x) + f^{-1}(x)$ (1)

Ισχύει : $f'(x) = \dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο .

Επίσης $f''(x) = \dfrac{2(1-χ^2)}{(x^2+1)^2}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η είναι κυρτή στο .

Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο είναι η .
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την , εκτός από το σημείο επαφής.

Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$ , είναι συμμετρική της με άξονα συμμετρίας την . Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο ,βρίσκεται κάτω από την , εκτός από το σημείο επαφής.

Από τα παραπάνω προκύπτει $f(x)>f^{-1}(x)$ και $x>f^{-1}(x)$ , για κάθε $x\neq 0$ , στο .

Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η . Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Σταμάτη για δες το καλύτερα το

δεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή

.

Φιλικά.

#8

Tolaso J Kos έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μια μεσημεριανή κατασκευή.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(-1)=\ln 2 -1}$
$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm}f(1)=1+\ln 2}$
$\displaystyle{\bullet \hspace{2mm} f'(x)\leqslant \frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x^{2}+1}}$ , για κάθε $x\in (-1,1)$
(α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+\ln \left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in [-1,1]$ .
(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης .
(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ .
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ : $\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$ (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , αν γνωρίζετε ότι: $\displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1}=\frac{\pi }{2}}$ Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα

(α) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = f(x) - x - \ln \left(x^2 + 1 \right)}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με $g'(x) \leq 0$ από την υπόθεση. Συνεπώς η είναι φθίνουσα. Επειδή είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα θα παίρνει ως μονότονη μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο και στο αντίστοιχα.

...Καλησπέρα σου Τόλη

…μία παρατήρηση στην λύση σου στο …με $g'(x) \leq 0$ από την υπόθεση. Συνεπώς η είναι φθίνουσα….. θεωρώ

ότι πρέπει να είμαστε προσεκτικοί σε τέτοια συμπεράσματα στα πλαίσια της σχολικής ύλης, και να μη δημιουργούνται ανασφάλειες στους μαθητές

που σε λίγο καιρό δίνουν εξετάσεις.

Από το σχολικό βιβλίο η μόνη αναφορά στο ${f}'(x)\ge 0$ είναι για την συνάρτηση $f(x)={{x}^{3}}$ αφού ${f}'(x)=3{{x}^{2}}\ge 0$ και είναι γνήσια αύξουσα…

οπότε η οποιαδήποτε αναφορά για αύξουσα ή φθίνουσα μόνο προβλήματα

μπορεί να δημιουργήσει παρά να λύσει… το ότι δεν έχει μαθηματικό λάθος και αυτή η προσέγγιση είναι για εμάς και όχι για τους μαθητές μας που

συνήθως αυτό τους προκαλεί σύγχυση γι αυτό όπως τους λέω και εγώ όταν ${f}'(x)\ge 0$ ή $\le 0$ να βγάζουν συμπεράσματα για

την

μέσω του Θ.Μ.Τ.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#9

M.S.Vovos έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι) Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.

Λήμμα

Αν γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Απόδειξη:

$\displaystyle{{x_1},{x_2} \in {D_{{f^{ - 1}}}}:{x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right)} \right) < f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } {f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right) < {f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)}$

Παρατήρηση-υπόδειξη : $\displaystyle{f\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) > x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ne 0}$

Ξέχασα:
M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.
Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...
Είναι: $f(x)+x=2f^{-1}(x)$ $\Leftrightarrow$ $f(x)+x=f^{-1}(x) + f^{-1}(x)$ (1)

Ισχύει : $f'(x) = \dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο

Επίσης $f''(x) = \dfrac{2(1-χ^2)}{(x^2+1)^2}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η είναι κυρτή στο .
Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο είναι η .
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την , εκτός από το σημείο επαφής.
Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$ , είναι συμμετρική της με άξονα συμμετρίας την . Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο ,βρίσκεται κάτω από την , εκτός από το σημείο επαφής.
Από τα παραπάνω προκύπτει $f(x)>f^{-1}(x)$ και $x>f^{-1}(x)$ , για κάθε $x\neq 0$ , στο .
Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η . Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Σταμάτη για δες το καλύτερα το δεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή .

Φιλικά.

...προφανώς του δημιουργού του ξεύφυγε ένα μείον στο $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ που

για να είναι κοινό πεδίο ορισμού θα πρέπει σωστά να είναι $x\in \left[ -1+\ln 2,\,1+\ln 2 \right]$ οπότε η γεωμετρική προσέγγιση του

φίλου μου του Σταμάτη είναι σωστή....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταμ. Γλάρος · #10

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι) Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.

Λήμμα

Αν γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Απόδειξη:

$\displaystyle{{x_1},{x_2} \in {D_{{f^{ - 1}}}}:{x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right)} \right) < f\left( {{f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } {f^{ - 1}}\left( {{x_1}} \right) < {f^{ - 1}}\left( {{x_2}} \right)}$

Παρατήρηση-υπόδειξη : $\displaystyle{f\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) > x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ne 0}$

Ξέχασα:
M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.
Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...
Είναι: $f(x)+x=2f^{-1}(x)$ $\Leftrightarrow$ $f(x)+x=f^{-1}(x) + f^{-1}(x)$ (1)

Ισχύει : $f'(x) = \dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο

Επίσης $f''(x) = \dfrac{2(1-χ^2)}{(x^2+1)^2}>0, \,\,\forall x\in (-1,1)$ . Συνεπώς η είναι κυρτή στο .
Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο είναι η .
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την , εκτός από το σημείο επαφής.
Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$ , είναι συμμετρική της με άξονα συμμετρίας την . Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο ,βρίσκεται κάτω από την , εκτός από το σημείο επαφής.
Από τα παραπάνω προκύπτει $f(x)>f^{-1}(x)$ και $x>f^{-1}(x)$ , για κάθε $x\neq 0$ , στο .
Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η . Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Σταμάτη για δες το καλύτερα το δεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή .

Φιλικά.
...προφανώς του δημιουργού του ξεύφυγε ένα μείον στο $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ που

για να είναι κοινό πεδίο ορισμού θα πρέπει σωστά να είναι $x\in \left[ -1+\ln 2,\,1+\ln 2 \right]$ οπότε η γεωμετρική προσέγγιση του

φίλου μου του Σταμάτη είναι σωστή....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα . Σε ευχαριστώ Βασίλη, γιατί μου δίνεις την ευκαιρία να αναφερθώ σε ένα θέμα που ξέχασα.
Φαίνεται στην παράθεση, όπως πολύ σωστά επισημαίνει εδώ ο

Christos.N έγραψε:

(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν $\displaystyle{x\in \left [ 1-\ln 2,1+\ln 2 \right ]}$ :
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x), \hspace{5mm}f(x)+2f^{-1}(x)=3x}$

Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.[/quote]

Συνεπώς το πεδίο ορισμού των εξισώσεων χρειάζεται διόρθωση.
Νομίζω ότι είναι το $[-1+\ln 2,\, 1]$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Καλή δύναμη στους μαθητές που δίνουν Πανελλήνιες, καθώς και στους δασκάλους τους που αγωνίζονται μαζί τους...

Christos.N · #11

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Καλή δύναμη στους μαθητές που δίνουν Πανελλήνιες, καθώς και στους δασκάλους τους που αγωνίζονται μαζί τους...

Επίσης Σταμάτη σου εύχομαι κάθε δύναμη και καλή επιτυχία ...

Συμφωνώ μαζί σου , όμως κρατώ και το παρακάτω:

M.S.Vovos έγραψε:
Σταμάτη για δες το καλύτερα το δεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή .

Φιλικά.

Άρα μήπως ο θεματοδότης έχει τελικά στο μυαλό του το ορθότερο $\displaystyle{\left[ {1 - \ln 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 1} \right]}$ όπου $\displaystyle{0 < \ln 2 < 1 \Rightarrow 1 - \ln 2 > 0}$ , άρα μετά την όποια προσέγγιση (δική σου (κυρότητα)

δική μου) , τελικά συμπεραίνουμε το αυτονόητο, οι ανισώσεις είναι αδύνατες.

Θα δείξει...γιατί ο Μάριος είναι νυχτοπούλι.

#12

...Καλησπέρα

συνεχίζοντας τηνσυζήτηση πάνω στο θέμα και για να μη μένουν εκρεμμότητες...

…ο θεματοδότης σίγουρα μάλλον, δεν έλαβε υπ όψιν ότι, επειδή το πεδίο ορισμού της αντίστροφης (σύνολο τιμών της )

$f([-1,1])=[f(-1),f(1)]=[-1+\ln 2,1+\ln 2]$ για την εξίσωση την λύνουμε στο κοινό πεδίο ορισμού που εδώ είναι

$[-1+\ln 2,\,\,1+\ln 2]\cap [-1,\,\,1]=[-1+ln2,\,\,1]$ που από αβλεψία μου είχα γράψει και εγώ λάθος το δεξί άκρο….

και χάριν πλουραλισμού δίνω και μία άλλη αντιμετώπιση αλγεβρική για την πρώτη εξίσωση .

Προφανής ρίζα η x=0

που $0\in \left[ -1+\ln 2,\,1 \right]$ Αν τώρα υπάρχει ${{x}_{0}}\in (-1+\ln 2,\,\,1)$ με ${{x}_{0}}\ne 0$ ώστε

$f({{x}_{0}})+{{x}_{0}}=2{{f}^{-1}}({{x}_{0}})$ (1) λόγω κυρτότητας θα είναι

$f({{x}_{0}})>{{x}_{0}}\Rightarrow f({{x}_{0}})>f({{f}^{-1}}({{x}_{0}}))\overset{f\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,{{x}_{0}}>{{f}^{-1}}({{x}_{0}})$

άρα ισχύει ότι $f({{x}_{0}})>{{x}_{0}}>{{f}^{-1}}({{x}_{0}})$ και από (1)

$f({{x}_{0}})-{{f}^{-1}}({{x}_{0}})={{f}^{-1}}({{x}_{0}})-{{x}_{0}}$ που είναι άτοπο λόγω του προηγουμένου

…για την δεύτερη εξίσωση δεν κατάλαβα πως ομοίως με την γεωμετρική λύση προκύπτει η μοναδικότητα της ρίζας…περιμένω μια εξήγηση αν κάτι δεν βλέπω...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Christos.N · #13

Ναι Βασίλη δεν έχεις άδικο, τώρα βλέπω ξανά κάποιες σημειώσεις μου που έχουν λάθος, θα το ξανακοιτάξω.

M.S.Vovos · #14

Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Να τονίσω πως υπάρχει και λύση του (γ.ii.) που αξιοποιεί το ερώτημα (β).

Φιλικά.

Υ.Γ. Χαίρομαι που από την άσκηση γίνεται συζήτηση με αρκετά μέλη.

#15

M.S.Vovos έγραψε:Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Να τονίσω πως υπάρχει και λύση του (γ.ii.) που αξιοποιεί το ερώτημα (β).

Φιλικά.

Υ.Γ. Χαίρομαι που από την άσκηση γίνεται συζήτηση με αρκετά μέλη.

...Καλημέρα και μετά την υπόδειξη του δημιουργού....

…για την δεύτερη εξίσωση πάλι προφανής ρίζα είναι η x=0

και για την μοναδικότητα…

Από (β) έχουμε ότι ${f}'(x)\le 2,\,\,\,x\in R$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=1

άρα για την συνάρτηση

$h(x)=f(x)-2x,\,\,\,x\in R$ είναι ${h}'(x)={f}'(x)-2<0,\,\,\,x<1$ δηλαδή είναι γνήσια φθίνουσα , έτσι αφού ισχύει

$0<x<{{f}^{-1}}(x),\,\,\,x\in (0,\,1)$ θα ισχύει ότι

$h(0)<h(x)<h({{f}^{-1}}(x))\Leftrightarrow 0<f(x)-2x<f({{f}^{-1}}(x))-2{{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow$

$f(x)-2x<x-2{{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(x)+2{{f}^{-1}}(x)-3x<0$

άρα η αρχική εξίσωση δεν μπορεί να έχει θετική ρίζα…για αρνητική θα δούμε…

...διόρθωσα το προφανής ρίζα και έβαλα το 0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #16

K. Βασίλη δεν είναι η

ορισμένη στους πραγματικούς. Αν και δεν είναι λάθος σε καμία περίπτωση αυτά που γράφετε.

Μένει να αποδειχθεί ότι δεν έχει λύσεις και στο [-1,0)

. Έτσι βλέπουμε ότι η μοναδική λύση που επαληθεύει είναι η x=0

.

Φιλικά.

Υ.Γ. Εντυπωσιάζομαι θετικά με το γεγονός ότι βλέπω λύσεις/ιδέες που δεν τις είχα σκεφτεί. Εν ολίγοις, υπάρχει και άλλος τρόπος πέραν αυτού που αξιοποιεί ο Σταμάτης και ο Βασίλης

.

#17

M.S.Vovos έγραψε:K. Βασίλη δεν είναι η ορισμένη στους πραγματικούς.

...δεν καταλαβαίνω αυτό που μου γράφεις Μάριε...τι εννοείς;;;;; που ορίζεται;;;
και επίσης δεν έχω καταλάβει τι σημαίνει το ...Ολίγον από...σχολικό...για το θέμα
που έβαλες....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #18

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:K. Βασίλη δεν είναι η ορισμένη στους πραγματικούς.
...δεν καταλαβαίνω αυτό που μου γράφεις Μάριε...τι εννοείς;;;;; που ορίζεται;;;
και επίσης δεν έχω καταλάβει τι σημαίνει το ...Ολίγον από...σχολικό...για το θέμα
που έβαλες....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Εννοώ ότι πρέπει να κάνετε μια διόρθωση σε τυπογραφικό. Δεν είναι $f'(x)\leq 2$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ αλλά για $x\in [-1,1]$ .

To ολίγον από σχολικό σημαίνει... λίγο από το σχολικό βιβλίο

. Το πρώτο ερώτημα που είναι και κατ' εμέ το πιο ωραίο "πατάει" σε εφαρμογή του σχολικού βιβλίου στο κεφάλαιο του Θ.Μ.Τ.

Φιλικά.

kfd · #19

για την δεύτερη εξίσωση πάλι προφανής ρίζα είναι η x=1;
$f^{-1}\left ( 1 \right )=$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #20

M.S.Vovos έγραψε:Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Να τονίσω πως υπάρχει και λύση του (γ.ii.) που αξιοποιεί το ερώτημα (β).

Φιλικά.

Υ.Γ. Χαίρομαι που από την άσκηση γίνεται συζήτηση με αρκετά μέλη.

Μάριε δεν νομίζεις ότι είναι καιρός να βάλεις την λύση σου στο γ.ii. ;

Ολίγον από... σχολικό

Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Re: Ολίγον από... σχολικό

Μέλη σε σύνδεση