Ισότητα συναρτήσεων

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 9:03 pm
Έστω ότι είναι ένα μη κενό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ , το οποίο περιέχει τουλάχιστον

τρία στοιχεία. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις $f:A\to \mathbb{R}$ και $g:A\to \mathbb{R}$ με $f\left( x \right)>0$ και

$g\left( x \right)>0$ για κάθε $x\in A$ και υποθέτουμε ότι για κάθε $x,y\in A$ με $x\ne y$ ισχύει:

$f\left( x \right)f\left( y \right)=g\left( x \right)g\left( y \right)$ . Να αποδείξετε ότι:

Για κάποιο σταθερό στοιχείο $a\in A$ έχουμε από την υπόθεση ότι για κάθε $x\in A$ ισχύει $f(x) = g(x) \dfrac {g(a)}{f(a)}$ . Δηλαδή $f(x) = cg(x), \, (*)$ για κάποια θετική σταθερά

.

H αρχική υπόθεση $f\left( x \right)f\left( y \right)=g\left( x \right)g\left( y \right)$ τώρα γράφεται

$c^2g\left( x \right)g\left( y \right)=g\left( x \right)g\left( y \right)$ , οπότε c^2=1

, δηλαδή

. H

τώρα γράφεται f(x) = g(x)

, που είναι το αποδεικτέο.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

Ωραιότατα.

Ένας άλλος τρόπος (παραλλαγή) να συνεχίσουμε από το βήμα

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 10:23 pm
... Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε: $f\left( x \right)f\left( a \right)=g\left( x \right)g\left( a \right)\,\,\left( >0 \right)$ ,

$f\left( x \right)f\left( b \right)=g\left( x \right)g\left( b \right)\,\,\left( >0 \right)$ και $f\left( a \right)f\left( b \right)=g\left( a \right)g\left( b \right)\,\,\left( >0 \right)$ .

είναι να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις δύο πρώτες σχέσεις και να διαιρέσουμε με την τρίτη. Θα βρούμε

$\displaystyle{\dfrac {f\left( x \right)f\left( a \right)\cdot f\left( x \right)f\left( b \right)}{f\left( a \right)f\left( b \right)} =\dfrac {g\left( x \right)g\left( a \right)\cdot g\left( x \right)g\left( b \right)}{g\left( a \right)g\left( b \right)}}$

ισοδύναμα

$\displaystyle{f^2(x) = g^2(x)}$ , και άρα το ζητούμενο f(x)=g(x)

.

Ισότητα συναρτήσεων

Ισότητα συναρτήσεων

Re: Ισότητα συναρτήσεων

Re: Ισότητα συναρτήσεων

Re: Ισότητα συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση