Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης
Δίδεται η συνάρτηση με
α) Δείξετε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της .
β) Ας δεχτούμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη .
Βρείτε την τιμή του για την οποία η εφαπτομένη της στο σημείο της , διέρχεται από το σημείο :
α) Δείξετε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της .
β) Ας δεχτούμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη .
Βρείτε την τιμή του για την οποία η εφαπτομένη της στο σημείο της , διέρχεται από το σημείο :
Λέξεις Κλειδιά:
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 82
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης
Καλησπέρα σας. Μια παραλλαγή της υπάρχει στο Α' Τεύχος του Μπάρλα, στο κεφάλαιο με την εφαπτομένη. Επειδή την έλυσα πρόσφατα την αφήνω για όσους θέλουν να την προσπαθήσουν. Παραθέτω σε hide την τιμή του που βρήκα.
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη αντιστρόφου συνάρτησης
Γεια σου Νίκο,
(α) Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο για κάθε . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα κατά συνέπεια άρα αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της είναι το
καθώς η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.
(β) Εφόσον δίδεται ότι η είναι παραγωγίσιμη τότε από τη σχέση η οποία ισχύει για κάθε παραγωγίζοντας παίρνουμε
Για είναι . Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο είναι η
ή ισοδύναμα . Επειδή διέρχεται από το σημείο αυτό σημαίνει ότι το σημείο αυτό θα την επαληθεύει. Τότε, .
(α) Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο για κάθε . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα κατά συνέπεια άρα αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της είναι το
καθώς η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.
(β) Εφόσον δίδεται ότι η είναι παραγωγίσιμη τότε από τη σχέση η οποία ισχύει για κάθε παραγωγίζοντας παίρνουμε
Για είναι . Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο είναι η
ή ισοδύναμα . Επειδή διέρχεται από το σημείο αυτό σημαίνει ότι το σημείο αυτό θα την επαληθεύει. Τότε, .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες