Κέντρο συμμετρίας

KARKAR · #1

: Κέντρο συμμετρίας.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της : f(x)=x^3-3x^2-2x+m

, έχει κέντρο συμμετρίας σημείο K(k,f(k))

.

Ευθεία διερχόμενη από το

τέμνει την $C_{f}$ στα σημεία A , B

, τα οποία έχουν τετμημένες : k-r , k+r

αντίστοιχα .

Βρείτε την τιμή του

, για την οποία το πράσινο εμβαδόν ισούται με 10r

τ.μ. (

οι προβολές στον xx'

) .

abgd · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 20, 2023 1:08 pm
Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της : , έχει κέντρο συμμετρίας σημείο .

Ευθεία διερχόμενη από το τέμνει την $C_{f}$ στα σημεία , τα οποία έχουν τετμημένες : αντίστοιχα .

Βρείτε την τιμή του , για την οποία το πράσινο εμβαδόν ισούται με τ.μ. ( οι προβολές στον ) .

Για την εύρεση του σημείου K(k,f(k))

αρκεί να βρούμε τον αριθμό

για τον οποίο $\displaystyle{\boxed{f(k+x)+f(k-x)=2f(k) }}\ \ \bf (1)$

Μπορούμε να βρούμε τον αριθμό

προχωρώντας την $\bf (1)$ ή παρατηρώντας τον τύπο της συνάρτησης, ο οποίος μπορεί να πάρει τη μορφή:

$\displaystyle{f(x)=(x-1)^3-5(x-1)+m-4}$

Έτσι, εύκολα διαπιστώνουμε ότι: $\displaystyle{f(1+x)+f(1-x)=2(m-4)=2f(1)}$

Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς το σημείο K(1,f(1))

, δηλαδή $\bf {k=1}$

Αν τώρα

μία αρχική της

τότε: $\displaystyle{\left(F(1+x)-F(1-x)\right)' =f(1+x)+f(1-x)=2f(1)}$ οπότε:

$\displaystyle{F(1+x)-F(1-x) =2f(1)x+c}$ . Για $\displaystyle{x=0}$ είναι $\displaystyle{c=0}$

Έτσι $\displaystyle{F(1+x)-F(1-x) =2f(1)x}$

Το σκιαγραφημένο εμβαδόν είναι ίσο με $\displaystyle{F(1+r)-F(1-r) =2f(1)r}$

Άρα $\displaystyle{2f(1)r=10r\Rightarrow \bf m=9 }$

KARKAR · #3

Έξοχη η αντιμετώπιση του α) ερωτήματος

Για το δεύτερο θα μπορούσαμε , αξιοποιώντας τη συμμετρία , να πούμε ότι το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με εκείνο

του τραπεζίου AA'B'B

, το οποίο είναι : $E=\dfrac{1}{2}(AA'+BB')(A'B') =f(1)\cdot 2r=(m-4)2r$ .

Δηλαδή θέλουμε : $(m-4)2r=10r\Leftrightarrow m=9$ .

abgd · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 28, 2023 1:54 pm
Για το δεύτερο θα μπορούσαμε , αξιοποιώντας τη συμμετρία , να πούμε ότι το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με εκείνο

του τραπεζίου , το οποίο είναι : $E=\dfrac{1}{2}(AA'+BB')(A'B') =f(1)\cdot 2r=(m-4)2r$ .

Δηλαδή θέλουμε : $(m-4)2r=10r\Leftrightarrow m=9$ .

Πολύ καλό

Βέβαια και η αντιμετώπιση με την αρχική που έκανα έχει την "ομορφιά" της

, αφού δεν έχει πράξεις.

#5

Να παρατηρήσω, ότι δεν είναι τυχαία το κέντρο συμμετρίας,

, σημείο καμπής της συνάρτησης.

abgd · #6

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 28, 2023 7:33 pm
Να παρατηρήσω, ότι δεν είναι τυχαία το κέντρο συμμετρίας, , σημείο καμπής της συνάρτησης.

Σωστή παρατήρηση.

Γενικά... αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

και

η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο $K\left(k,f(k)\right)$ τότε: f''(k)=0

Αφήνω την απόδειξη ως άσκηση...

Κέντρο συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας

Re: Κέντρο συμμετρίας

Re: Κέντρο συμμετρίας

Re: Κέντρο συμμετρίας

Re: Κέντρο συμμετρίας

Re: Κέντρο συμμετρίας

Μέλη σε σύνδεση