Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=4x^4-4x^3+9x^2-8x+3

.

Για τις διάφορες τιμές του $k\in \mathbb{R}$ , λύστε την εξίσωση : f(x)=k

.

BAGGP93 · #2

Η συνάρτηση ορίζεται στο $\mathbb{R}$ και έχουμε

$\displaystyle{f(x)=(2x^2-x)^2+8x^2-8x+3=f_1(x)+f_2(x),\,\,x\in\mathbb{R},}$ όπου

$\displaystyle{f_1(x)=(2x^2-x)^2,\,\,\,f_2(x)=8x^2-8x+3,\,\,x\in\mathbb{R}.}$

H f_2

σαν τριώνυμο του

με αρνητική διακρίνουσα έχει ελάχιστη τιμή στο x=1/2

το

Άρα $f(x)\geq 1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ με την ισότητα μόνο για x=1/2.

Αρκεί λοιπόν να λυθεί η εξίσωση f(x)=k

στο $\mathbb{R}$ για k>1.

Πρέπει να εξετάσουμε για πόσα

το

είναι τιμή της

Παραγωγίζουμε $f^\prime(x)=16x^3-12x^2+18x-8=2\,(8x^3-6x^2+9x-4),\,\,x\in\mathbb{R}$ και περνάμε στη δεύτερη παράγωγο

$\displaystyle{f^{\prime \prime}(x)=2\,(24\,x^2-12\,x+9),\,\,x\in\mathbb{R}}$ με αρνητική διακρίνουσα και θετικό συντελεστή στο x^2.

Άρα η $f^\prime$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και άρα έχει το πολύ μια ρίζα. Έύκολά, το 1/2

είναι ρίζα της $f^\prime.$

Άρα,

γνησίως φθίνουσα στο $\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]$ και γνησίως αύξουσα στο $\left[1/2,+\infty\right)$ όπου το σύνολο τιμών κάθε

διαστήματος είναι το $\left[1,+\infty\right)$ όπου το

ανήκει.

Συμπέρασμα: Πλήθος ριζών

KARKAR · #3

Ίσως προτιμότερη γραφή να είναι η παρακάτω :

4x^4-4x^3+9x^2-8x+3=4x^4-4x^3+x^2+8x^2-8x+2+1=

$(x^2+2)(2x-1)^2+1 \geq 1$ , με την ισότητα για : $x=\dfrac{1}{2}$ .

Για την εξίσωση καλύτερα να απαντήσουμε ως εξής :

Για : k<1

, η εξίσωση είναι αδύνατη .

Για : k=1

, η εξίσωση έχει μία λύση ( την $x=\dfrac{1}{2}$ ) .

Για : k>1

, η εξίσωση έχει δύο λύσεις .

BAGGP93 · #4

Ωραία γραφή, μου άρεσε.%

Αλλα μέσω αυτής, πώς δικαιολογούμε την ύπαρξη ριζών για k>1

;

KARKAR · #5

Ευάγγελε , η ανάρτησή μου , είναι συμπλήρωμα της λύσης σου , ( δηλαδή αναφέρω

μόνο τα σημεία που επιδέχονται - κατά την άποψή μου φυσικά - βελτίωση ) .

BAGGP93 · #6

A μάλιστα, κατανοητό. Ευχαριστώ πολύ.

Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Re: Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Re: Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Re: Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Re: Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Re: Εξίσωση για όλους (... σχεδόν)

Μέλη σε σύνδεση