Θετικό κλίμα

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{\ell n(x+1)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ . α) Δείξτε ότι η

παίρνει μόνο θετικές τιμές .

β) Δείξτε ότι : $f(10)>\dfrac{1}{10}$ . ( Θεωρούμε γνωστό ότι : $\ell n11<2.4$ και : $3.16<\sqrt{10}<3.17$ )

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Aπό το σχολείο, μια απάντηση στο α).

To πεδίο ορισμού της

είναι τα

$\displaystyle f\left ( x \right )=\frac{\sqrt{x}-ln\left ( x+1 \right )}{\sqrt{x}\cdot ln\left ( x+1 \right )}$

O παρανομαστής είναι σίγουρα θετικός, θα αποδειχθεί ότι ο αριθμητής είναι θετικός.

Έστω $g\left ( x \right )=\sqrt{x}-ln\left ( x+1 \right ), x\geq 0.$

$\displaystyle g'\left ( x \right )=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}\cdot \left ( x+1 \right )}=\frac{\left ( \sqrt{x}-1 \right )^{2}}{2\sqrt{x}\cdot ln\left ( x+1 \right )}\geq 0$ για κάθε

θετικό.

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της.

$\displaystyle x> 0\Rightarrow g\left ( x \right )> g\left ( 0 \right )\Rightarrow \sqrt{x}-ln\left ( x+1 \right )> 0$

Άρα για κάθε

θετικό, ισχύει ότι f(x)>0.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 13, 2023 8:06 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{\ell n(x+1)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ . α) Δείξτε ότι η παίρνει μόνο θετικές τιμές .

β) Δείξτε ότι : $f(10)>\dfrac{1}{10}$ . ( Θεωρούμε γνωστό ότι : $\ell n11<2.4$ και : $3.16<\sqrt{10}<3.17$ )

Για το β).

$\displaystyle f(10) = \frac{1}{{\ln 11}} - \frac{1}{{\sqrt {10} }} > \frac{1}{{2,4}} - \frac{1}{{3,16}} = \frac{{0,76}}{{7,584}} \Leftrightarrow f(10) > \frac{1}{{10}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Nα αποδειχθεί ότι ο άξονας των

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 16, 2023 7:14 pm
Nα αποδειχθεί ότι ο άξονας των είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

Η συνάρτηση γράφεται $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{\sqrt x }}\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\ln (x + 1)}} - 1} \right), x>0.$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty$ και το όριο $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt x }}{{\ln (x + 1)}}$ είναι της μορφής 0/0,

οπότε με De l' Hospital είναι

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt x }}{{\ln (x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} = + \infty$

Άρα, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty ,$ που σημαίνει ότι ο άξονας των

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

: Graph.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

Θετικό κλίμα

Θετικό κλίμα

Re: Θετικό κλίμα

Re: Θετικό κλίμα

Re: Θετικό κλίμα

Re: Θετικό κλίμα

Μέλη σε σύνδεση