Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

KARKAR · #1

Μια άσκηση που εξετάζει στοιχειώδεις γνώσεις που πρέπει να κατέχει ο υποψήφιος ( και ) από τις μικρότερες τάξεις .

: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.png (5.85 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στην πλευρά

- του $5\times 4 , (AB=5)$ - ορθογωνίου ABCD

.

Η μεσοκάθετος της

τέμνει τις πλευρές

και

στα σημεία P , T

αντίστοιχα .

Βρείτε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το (PDT)

και τα ακρότατα του εμβαδού αυτού .

Maria-Eleni Nikolaou · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 17, 2023 8:58 pm
Μια άσκηση που εξετάζει στοιχειώδεις γνώσεις που πρέπει να κατέχει ο υποψήφιος ( και ) από τις μικρότερες τάξεις .
Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.png
$\bigstar$ Σημείο κινείται στην πλευρά - του $5\times 4 , (AB=5)$ - ορθογωνίου .

Η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές και στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το και τα ακρότατα του εμβαδού αυτού .

Με Αναλυτική Γεωμετρία:

Έστω S(x_s,0)

θεωρώντας

. Τότε είναι, $P(0,y_{p})$ και $T(x_{t}, y_{t})$ .

Είναι, $\lambda_{DS}=-\dfrac{4}{x_s}$ οπότε, $\lambda_{PT}=\dfrac{x_s}{4}$

Επίσης ισχύει, PD=PS

απ’ όπου παίρνουμε $y_p=\dfrac{16-x_s^2}{8}$

Επειδή $T\in DC$ και $PT: y=\dfrac{x_s}{4} \cdot x +y_p$ για y=4

παίρνουμε $x_t=\dfrac{16 +x_s^2}{2x_s}$

Έτσι, $(PDT)=\dfrac{DT \cdot PD}{2}$ που τελικά δίνει, $E(x)=\dfrac{(16+x^2)^2}{32x} \,\,\,,x\in(0,5)$

Οπότε, $E’(x)=\dfrac{(16+x^2)(3x^2-16)}{32x^2}$ και για $E’(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

Επομένως, η

παρουσιάζει ελάχιστο στο $x_0=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ το $E(x_0)=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}$ .

orestisgotsis · #3

Περιττό

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 17, 2023 8:58 pm
Μια άσκηση που εξετάζει στοιχειώδεις γνώσεις που πρέπει να κατέχει ο υποψήφιος ( και ) από τις μικρότερες τάξεις .
Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.png
$\bigstar$ Σημείο κινείται στην πλευρά - του $5\times 4 , (AB=5)$ - ορθογωνίου .

Η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές και στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το και τα ακρότατα του εμβαδού αυτού .

Επειδή η ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ είναι μεσοκάθετη στο

το τετράπλευρο PSTD

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Θέτω , $SP = PD = x\,\,,x \in \left( {0,4} \right)\,\,$ και θεωρώ παραμέτρους τα :

$TD = TS = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = m\,\,,\,\,m \in \left( {0,5} \right)$ . Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα , $ZSK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASP$ είναι όμοια έχω:

: ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο_Ευκλείδεια.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

$\dfrac{{ST}}{{SP}} = \dfrac{{SZ}}{{SA}} \Rightarrow \dfrac{k}{x} = \dfrac{4}{m} \Rightarrow k = \dfrac{{4x}}{m}$ . Το $\left( {DPT} \right) = \dfrac{1}{2}kx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{4{x^2}}}{m} = \dfrac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{\left( {4 - x} \right)}^2}} }}$

Δηλαδή μια συνάρτηση

που δίδει το εμβαδόν $\left( {DPT} \right)$ είναι:

$\boxed{f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2x - 4} }}\,\,,\,\,x \in \left( {2,4} \right)}$ . Έχει παράγωγο $f'\left( x \right) = \dfrac{{x\sqrt 2 \left( {3x - 8} \right)}}{{4{{\left( {x - 2} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}}$ .

Παρουσιάζει δε ελαχιστο στο $\boxed{{x_0} = \dfrac{8}{3}}$ το $\boxed{f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{32\sqrt 3 }}{9}}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 17, 2023 8:58 pm
Μια άσκηση που εξετάζει στοιχειώδεις γνώσεις που πρέπει να κατέχει ο υποψήφιος ( και ) από τις μικρότερες τάξεις .
Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.png
$\bigstar$ Σημείο κινείται στην πλευρά - του $5\times 4 , (AB=5)$ - ορθογωνίου .

Η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές και στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το και τα ακρότατα του εμβαδού αυτού .

Θέτω $\displaystyle DP = PS = x,DM = MS = y.$ Το PMSA

είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle 4x = 2{y^2} \Leftrightarrow {y^2} = 2x.$

: Ορθ σε ορθ.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

$\displaystyle {x^2} = PM \cdot PT = PT\sqrt {{x^2} - 2x} \Leftrightarrow PT = \frac{{x\sqrt x }}{{\sqrt {x - 2} }}$

$\displaystyle f(x) = (PDT) = \frac{1}{2}PTy = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }}} \right),2 < x < 4.$

Τα υπόλοιπα όπως και ο φίλτατος Νίκος.

Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση