και μια εξίσωση..

giannisn1990 · #1

Να λυθεί στο $\dislaystyle \mathbb{R}$ η παρακάτω εξίσωση

$\dislaystyle \sin^{x^{2}}\frac{\pi}{12} \cdot \cos ^{x}\frac{\pi}{12}+\sin^{x}\frac{\pi}{12} \cdot \cos ^{x^{2}}\frac{\pi}{12}=4^{-x}$

hsiodos · #2

Την έχω δει και σε άλλη ιστοσελίδα . Δίνω στο επισυναπτόμενο την ίδια υπόδειξη που έκανα εκεί με επιφύλαξη για τυχόν λάθος.

Γιώργος

#3

Kαλημέρα σε όλους...
Μια προσέγγιση στην εξίσωση του Γιάννη...

Απο τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα sin2a=2sinacosa λαμβάνουμε :

$\displaystyle{\displaystyle \sin \frac{\pi } {{12}} = \frac{{\sin \frac{\pi } {6}}} {{2\cos \frac{\pi } {{12}}}} = \frac{1} {{4\cos \frac{\pi } {{12}}}} }$
αλλά και :
$\displaystyle{\displaystyle \cos \frac{\pi } {{12}} = \frac{{\sin \frac{\pi } {6}}} {{2\sin \frac{\pi } {{12}}}} = \frac{1} {{4\sin \frac{\pi } {{12}}}} }$ .

Αρα η εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle{\displaystyle \sin ^{x^2 } \frac{\pi } {{12}}\cos ^x \frac{\pi } {{12}} + \sin ^x \frac{\pi } {{12}}\cos ^{x^2 } \frac{\pi } {{12}} = 4^{ - x} \Leftrightarrow \sin ^{x^2 } \frac{\pi } {{12}}\frac{1} {{4^x \sin ^x \frac{\pi } {{12}}}} + \cos ^{x^2 } \frac{\pi } {{12}}\frac{1} {{4^x \cos ^x \frac{\pi } {{12}}}} = 4^{ - x} }$
και καταλήγει στη μορφή :
$\displaystyle{\displaystyle \sin ^{x^2 - x} \frac{\pi } {{12}} + \cos ^{x^2 - x} \frac{\pi } {{12}} = 1 }$ (1).
Έστω $\displaystyle{\displaystyle f(x) = \sin ^x \frac{\pi } {{12}},g(x) = \cos ^x \frac{\pi } {{12}},x \in \mathbb{R} }$ .
Tότε και η f αλλά και η g είναι γνησίως φθίνουσες...( 0<sinπ/12<1 και 0<cosπ/12<1 )
Συνεπώς :
$\displaystyle{\displaystyle \begin{gathered} x^2 - x < 2 \Rightarrow f(x^2 - x) > f(2) \hfill \\ x^2 - x < 2 \Rightarrow g(x^2 - x) > g(2) \hfill \\ \end{gathered} }$ .
Δηλαδή :
$\displaystyle{\displaystyle \sin ^{x^2 - x} \frac{\pi } {{12}} + \cos ^{x^2 - x} \frac{\pi } {{12}} > 1 }$ .
Με όμοιο τρόπο αν $\displaystyle{\displaystyle x^2 - x > 2 }$ , προκύπτει :
$\displaystyle{\displaystyle \sin ^{x^2 - x} \frac{\pi } {{12}} + \cos ^{x^2 - x} \frac{\pi } {{12}} < 1 }$ .
Αρα η μοναδική περίπτωση να ισχύει η (1) είναι αν και μόνο αν
$\displaystyle{\displaystyle x^2 - x = 2 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 1 }$ .

Υ.Γ Για να είμαι ειλικρινής εγώ δεν την έχω δεί πουθενά αλλού.

hsiodos · #4

Ωραία η αντιμετώπιση της εξίσωσης στην τελική της μορφή Χρήστο.
Μας απαλλάσσει από τον κόπο να θεωρήσουμε συνάρτηση και να βρούμε την μονοτονία της(αυτό με παίδεψε λίγο).

και μια εξίσωση..

και μια εξίσωση..

Re: και μια εξίσωση..

Re: και μια εξίσωση..

Re: και μια εξίσωση..

Μέλη σε σύνδεση