Μία απροσδιόριστη

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Να υπολογισθεί το $\displaystyle{L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}}}$ .

$\displaystyle{ {\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+1}}} =\left (\left( 1+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+1} \right)}^ { \frac {x^2+1}{x-2} \right)^ \frac{ (x-2)(x^3-1)}{(x^2+1)^2}}$

Τώρα, ο μέσα όρος είναι της μορφής $\displaystyle{\left( 1+ \frac {1}{y}\right)^y}$ με $y\to \infty$ . Άρα τείνει στο

.

Ο εκθέτης στην μεγάλη παράσταση τείνει στο

, άρα όλο μαζί τείνει στο e^1=e

.

Xρησιμοποίησα το γνωστό: αν $\lim f(x) = A$ και $\lim g(x)=B$ για θετικά f, A

, τότε $\lim f(x)^{g(x)} = A^B$ . H απόδειξη πάει λογαριθμίζοντας καθώς $\displaystyle{\ln f(x)^{g(x)} = g(x) \ln f(x) \to B\ln A = \ln A^B }$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Μία απροσδιόριστη

Μία απροσδιόριστη

Re: Μία απροσδιόριστη

Re: Μία απροσδιόριστη

Μέλη σε σύνδεση