Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

chris · #1

Δίνεται τρίγωνο $\triangle{ABC}$ ,ο περιγεγραμμένος κύκλος του και τα ύψη του .Κύκλος $(\omega _1)$ διέρχεται απο τα και εφάπτεται του κύκλου στο .Ομοίως ορίζονται κύκλοι $(\omega_2),(\omega_3)$ που διέρχονται απο τα και τα αντίστοιχα και εφάπτονται του στα και .Να αποδειχθεί οτι οι ευθείες και η ευθεία του του $\triangle {ABC}$ συντρέχουν.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

#3

$\bullet$ Έστω $A_{2}$ το σημείο επαφής του κύκλου $(\omega_{1})$ με χορδή το ευθύγραμμο τμήμα $B_{1}C_{1},$ με τον περίκυκλο (O)

του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC,$ όπως όρίζεται στην εκφώνηση και έχουμε ότι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων $(O),\ (\omega_{1}),$ περνάει από το σημείο $X\equiv BC\cap B_{1}C_{1},$ ως το ριζικό κέντρο των κύκλων $(O),\ (\omega_{1},\ (K),$ όπου (K)

είναι ο περίκυκλος του τετραπλεύρου $BCB_{1}C_{1}$ .

Το σημείο

όμως είναι σταθερό, ως το αρμονικό συζυγές του $A_{1}$ ως προς τα $B,\ C,$ από το πλήρες τετράπλευρο $AB_{1}HC_{1}BC.$

Από το σημείο

φέρνουμε την δεύτερη εφαπτομένη του (O)

στο σημείο έστω $A_{3}$ , το οποίο σύμφωνα με τα προηγούμενα, είναι το σημείο επαφής με τον κύκλο (O),

του δεύτερου κύκλου χορδής $B_{1}C_{1},$ έστω $(u_{1})$ .

Η ευθεία $A_{2}A_{3}$ τώρα, είναι η Πολική του

ως προς τον κύκλο (O)

και άρα περνάει από το σημείο $A_{1},$ ως το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα $B,\ C.$

$\bullet$ Έστω τα σημεία $Y\equiv AC\cap A_{1}C_{1},\ Z\equiv AB\cap A_{1}B_{1}$ και από τα προοπτικά τρίγωνα $\triangle ABC,\ \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$

λόγω $H\equiv AA_{1}\cap BB_{1}\cap CC_{1}$

έχουμε ότι ανήκουν στην ίδια ευθεία με το

, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques.

Σύμφωνα με το παρακάτω γνωστό Λήμμα, έχουμε ότι $OH\perp XYZ$

η Ευθεία Euler του $\triangle ABC,$ είναι κάθετη στον άξονα προοπτικότητας των τριγώνων $\triangle ABC,\ \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$

Έστω το σημείο $P\equiv A_{2}A_{3}\cap OH$ και έχουμε ότι η XYZ

είναι η Πολική ευθεία του

ως προς τον κύκλο (O)

επειδή η Πολική $A_{2}A_{3}$ του

ως προς τον (O)

περνάει από το

συμπεραίνεται ότι η Πολική του

ως προς τον (O)

περνάει από το

και είναι κάθετη επί την ευθεία που συνδέει το

με το κέντρο

του

$\bullet$ Επειδή τώρα, τα σημεία $Y,\ Z$ ανήκουν στην Πολική ευθεία του

ως προς τον κύκλο (O),

συμπεραίνουμε ότι οι Πολικές ευθείες τους ως προς τον ίδιο κύκλο, περνάνε από το σημείο

Δηλαδή, αν $B_{2},\ B_{3}$ είναι τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του κύκλου (O)

από το σημείο

έχουμε ότι η ευθεία $B_{2}B_{3}$ περνάει από το σημείο

Η ευθεία αυτή, περνάει επίσης από το $B_{1},$ το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα $A,\ C.$

Ομοίως, η ευθεία $C_{2}C_{3}$ που συνδέει τα σημεία επαφής $C_{2},\ C_{3}$ των εφαπτομένων του (O)

από το σημείο

περνάει από το

καθώς επίσης και από το $C_{1},$ το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα $A,\ B.$

Τέλος, επειδή τα $B_{2},\ B_{3}$ είναι και σημεία επαφής των κύκλων χορδής $A_{1}C_{1},$ όπως όριζεται στο πρόβλημα που έχει τεθεί και ομοίως για τα σημεία $C_{2},\ C_{3},$ το ζητούμενο έχει αποδειχθεί αφού $P\equiv A_{2}A_{3}\cap B_{2}B_{3}\cap C_{2}C_{3}$ και $P\in OH$ .

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ και έστω $AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1}$ τα ύψη του. Αποδείξτε ότι τα σημεία $X\equiv BC\cap B_{1}C_{1}$ , $\ Y\equiv AC\cap A_{1}C_{1},\ Z\equiv AB\cap A_{1}B_{1},$ ανήκουν στην ίδια ευθεία, κάθετη στην Ευθεία Euler του δοσμένου τριγώνου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το παραπάνω Λήμμα.

Πρέπει να ψάξω να βρω την όμορφη απόδειξη που έχει δώσει γι' αυτό το αποτέλεσμα ο Νίκος Ράπανος στο ελληνικό mathlinks φόρουμ, αν θυμάμαι καλά, και ίσως ο Σιλουανός μπορεί να βοηθήσει, γιατί ο Nick μας έχει ξεχάσει...

#4

κ. Κώστα και Χρήστο καλησπέρα ! Λοιπόν το πρόβλημα αυτό είχε τεθεί στο mathlinks contest όπου είχα πάρει μέρος και η λύση μου βρίσκεται εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=200118

Όσο για το λήμμα που ανεφέρατε, το είχε προτείνει ο Νίκος και είχε ακολουθήσει μια περιπετειώδης απόδειξη όσο αφορά το αν την έκλεψα ή όχι.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... ilit=Euler

chris · #5

Σιλουανέ είδα τη λύση στο post οπότε σβήνω την καθυστερημένη δική μου.Το πρόβλημα βέβαια το πήρα απο εδώ και με αφορμή τη λύση του Luis στο προτελευταίο post.

Φιλικά

Nick Rapanos · #6

Κύριε Βήττα,

ομολογουμένως δεν παρακολουθώ τακτικά το forum. Όμως δε σας έχω ξεχάσει και θα ήθελα πολύ αυτό το post να λειτουργήσει αφυπνιστικά για εμένα και να αρχίσω να ασχολούμαι λίγο λιγότερο με engineering και finance και λίγο περισσότερο με μαθηματικά!
Επί της αποδείξεως δε θα γράψω αναλυτικά τη λύση, αλλά θα πω δύο πράγματα που είναι υπερ αρκετά κατά τη γνώμη μου.
1) Η συνευθειακότητα ισχύει και στην πιο γενική περίπτωση και προκύπτει λόγω του ότι τα τρία νέα σημεία είναι τα αρμονικά συζυγή των τριών ιχνών των σεβιανών που εδώ τυχαίνει να είναι ύψη.
2) Το ότι η ευθεία αυτή είναι κάθετη στην ευθεία Euler είναι όμορφο και κομψό. Το πρώτο hint που θα έδινα είναι το εξής
<<Αποδείξτε ότι η ευθεία αυτή είναι ο ριζικός άξονας του περιγεγραμμένου κύκλου και του κύκλου του Euler>>.

Σχόλιο. Να σημειώσουμε ότι αυτό είναι αρκετό για να δείξει κανείς και την συνευθειακότητα και την καθετότητα στη διάκεντρο των δύο κύκλων που δεν είναι άλλη από την ευθεία Euler. Δεύτερη σημείωση για τους μελλοντικούς ολυμπιονίκες είναι αυτό που μόλις ανέφερα...Μη βλέπετε την ευθεία Euler και τον κύκλο Euler ως δύο ξεχωριστά θεωρήματα-όλα είναι interlinked στη γεωμετρία. πχ. Παραπάνω εγώ είδα την ευθεία Euler ως διάκεντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και του κύκλου του Euler- δε νομίζω ότι πρέπει να σας περάσει απαρατήρητο.

Τώρα αν το hint δεν αρκεί, ας προσθέσουμε δυο λόγια ακόμα. Αρχικά ασ φέρουμε τους δύο κύλους.Για το σημείο Ζ για παράδειγμα έχουμε ότι $ZA x ZB = ZA_{1} x ZB_{1}$ επείδη το $AB_{1}A_{1}B$ είναι εγγράψιμο. Όμοια και για τα άλλα σημεία, και καταλήγουμε ότι όλα ανήκουν στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων.

Σας ευχαριστώ για την επαναφόρα! (και το Δήμητρη που μου έστειλε το link...)

P.S. Me prolaves silouan?

#7

Nick Rapanos έγραψε: P.S. Me prolaves silouan?

Ναι Nick !! Παρόλα αυτά το ποστ σου είναι πολύ πιο ωφέλιμο από το δικό μου καθώς επεξηγεί πλήρως στον αναγνώστη τη διαδικασία σκέψης του λύτη. Προτρέπω (κυρίως) όλους τους υποψήφιους διαγωνιζόμενους να ρίζξουν μια ματιά σε αυτά που γράφει ο Νίκος, γιατί αυτά δεν θα τα βρείτε σε βιβλία !

#8

smar έγραψε:κ. Κώστα και Χρήστο καλησπέρα ! Λοιπόν το πρόβλημα αυτό είχε τεθεί στο mathlinks contest όπου είχα πάρει μέρος και η λύση μου βρίσκεται εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=200118

Όσο για το λήμμα που ανεφέρατε, το είχε προτείνει ο Νίκος και είχε ακολουθήσει μια περιπετειώδης απόδειξη όσο αφορά το αν την έκλεψα ή όχι.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... ilit=Euler

Μένω άναυδος με την κομψότητα της λύσης του Σιλουανού. (*)

Βέβαια, αυτό δεν με εκπλήσσει γιατί έχω δει τόσες άλλες λύσεις του. Ο κανόνας είναι ότι λύνει τις ασκήσεις σε τρεις το πολύ γραμμές, όσο δύσκολο και αν είναι το πρόβλημα.

Νιώθω υπερήφανος που έχουμε τέτοιους λαμπρούς νέους στον τόπο μας (και στο φόρουμ).

Υποκλίνομαι με σεβασμό.

Μιχάλης Λάμπρου

(*) Την παραθέτω εδώ, γιατί στο παραπάνω φόρουμ είναι ανάμεσα σε μεγαλύτερη συζήτηση:

Πρόβλημα:
Δίνεται ένα τρίγωνο . Οι πλευρές του ορθικού του τριγώνου τέμνουν τις πλευρές του (αρχικού τριγώνου) σε 3 σημεία που είναι συνευθειακά (εαν δε το γνωρίζετε, τότε να το αποδείξετε). Να αποδειχθεί ότι αυτή η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία του Euler του τριγώνου .

Λύση
α) Έστω $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη. Από το θεώρημα Desarques τα ζεύγη των πλευρών $(AB,\ DE)$ , $(BC,\ EF)$ , είναι συνευθειακά.

β) Έστω $DF\cap AC=P$ , $FE\cap BC=M$ και $DE\cap AB=Q$ .Το τετράπλευρο AFDC είναι εγγράψιμο άρα από το θεώρημα της δύναμης σημείου έχουμε $PA\cdot PC=PF\cdot PD$ . Όμως τα γινόμενα $PA\cdot PC$ και $PF\cdot PD$ είναι οι δυνάμεις του P ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC και τον κύκλο του Euler του ΑBC, αντίστοιχα. Αφού είναι ίσες το P βρίσκεται στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Όμοια τα Μ, Q ανήκουν στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Η διακεντρική ευθεία αυτών των κύκλων είναι η ευθεία Euler και η ευθεία που ορίζεται από τα P, M, Q είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων, άρα το ζητούμενο.

Nick Rapanos · #9

Αφού επέστρεψα να κάνω μια επέκταση στην παραπάνω άσκηση?

Θεωρούμε σημείο T που ανήκει στην ευθεία ε που προαναφέραμε. Έστω ΤP και ΤQ εφαπτόμενες στους κύκλους (Ο) και (Ο9).
Έστω Μ και Ν τα μέσα των TP και TQ και δ1, δ2 οι κάθετες από τα Μ και Ν προς τις ΤΟ και ΤΟ9 αντίστοιχα. ΝΔΟ οι δ1 και δ2 τέμνονται πάνω στην ε.

Κατά προτίμιση η λύση να μην είναι παραπάνω από τρεις σειρές. :p

PS. Auto me tis treis seires to egrapsa prin diavaso to post tou kuriou lambrou.!!

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πρόβλημα:
Δίνεται ένα τρίγωνο . Οι πλευρές του ορθικού του τριγώνου τέμνουν τις πλευρές του (αρχικού τριγώνου) σε 3 σημεία που είναι συνευθειακά (εαν δε το γνωρίζετε, τότε να το αποδείξετε). Να αποδειχθεί ότι αυτή η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία του Euler του τριγώνου .

Λύση :
α) Έστω $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη. Από το θεώρημα Desarques τα ζεύγη των πλευρών $(AB,\ DE)$ , $(BC,\ EF)$ , είναι συνευθειακά.

β) Έστω $DF\cap AC=P$ , $FE\cap BC=M$ και $DE\cap AB=Q$ .Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο άρα από το θεώρημα της δύναμης σημείου έχουμε $PA\cdot PC=PF\cdot PD$ . Όμως τα γινόμενα $PA\cdot PC$ και $PF\cdot PD$ είναι οι δυνάμεις του P ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ και τον κύκλο του Euler του $\triangle ABC$ , αντίστοιχα. Αφού είναι ίσες, το βρίσκεται στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Όμοια τα $Μ,\ Q$ ανήκουν στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Η διακεντρική ευθεία αυτών των κύκλων είναι η ευθεία Euler και η ευθεία που ορίζεται από τα $P,\ M,\ Q$ είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων, άρα το ζητούμενο.

Βάζω το σχήμα γι' αυτή όμορφη απόδειξη και χαίρομαι που η άσκηση αυτή που πρότεινε ο Χρήστος, ήταν η αφορμή για την παρέμβαση του Νίκου και ελπίζω να τον έχουμε πιο συχνά κοντά μας.

Κώστας Βήττας.

#11

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ και έστω $AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1}$ τα ύψη του. Αποδείξτε ότι τα σημεία $X\equiv BC\cap B_{1}C_{1}$ , $\ Y\equiv AC\cap A_{1}C_{1},\ Z\equiv AB\cap A_{1}B_{1},$ ανήκουν στην ίδια ευθεία, κάθετη στην Ευθεία Euler του δοσμένου τριγώνου.[/tex]

Απόδειξη. - Είναι γνωστό ότι ο Kύκλος Euler (N)

του $\triangle ABC,$ περνάει από τα μέσα $D,\ E,\ F,$ των ευθυγράμμων τμημάτων $AH,\ BH,\ CH,$ αντιστοίχως.

Έστω τα σημεία $M\equiv A_{1}E\cap B_{1}D,\ N\equiv B_{1}F\cap C_{1}E$ και έχουμε ότι η ευθεία

είναι η Πολική του

ως προς τον κύκλο (N)

και άρα ισχύει $NH\equiv OH\perp MN$ ,(1)

Έστω τα σημεία $X^{\prime}\equiv B_{1}C_{1}\cap EF,\ Z^{\prime}\equiv A_{1}B_{1}\cap DE$ και έχουμε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν στην ευθεία MN,

γιατί οι Πολικές τους ως προς τον (N),

περνάνε από το σημείο

Τα τρίγωνα τώρα $\triangle BXZ,\ \triangle EX^{\prime}Z^{\prime}$ είναι προοπτικά, γιατί $B_{1}\equiv BE\cap XX^{\prime}\cap ZZ^{\prime}$ και από $EX^{\prime}\parallel BX$ και $EZ^{\prime}\parallel BZ,$ σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, συμπεραίνουμε ότι $X^{\prime}Z^{\prime}\parallel XZ$ ,(2)

Από $(1),\ (2)$ $\Longrightarrow$ $OH\perp XYZ$ και το ζητούμενο αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η απόδειξη που μας έδωσε ο Σιλουανός έιναι τόσο πετυχημένη, που στέλνει κάθε άλλη στα αζήτητα. Ήθελα όμως να υπάρχει και μία προσσέγγιση με Πολικές αφού, όπως γράφω και πιο πάνω, η άσκηση που προτάθηκε προσφέρεται για εξάσκηση σ' αυτές.

#12

Nick Rapanos έγραψε:Θεωρούμε σημείο που ανήκει στην ευθεία $(\epsilon)$ που προαναφέραμε. Έστω και εφαπτόμενες στους κύκλους και $(O_{9})$ . Έστω και τα μέσα των και και $(\delta_{1}),\ (\delta_{2})$ οι κάθετες από τα και προς τις και $TO_{9}$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι $(\delta_{1})$ και $(\delta_{2})$ τέμνονται πάνω στην $(\epsilon)$ .

Απόδειξη. - Έστω $TP^{\prime},\ TQ^{\prime},$ οι δεύτερες από το

εφαπτόμενες των κύκλων $(O),\ (O_{9})$ αντιστοίχως και έχουμε ότι $TP = TP^{\prime} = TQ = TQ^{\prime},$ επειδή το σημείο

ανήκει στην ευθεία $(\epsilon),$ ριζικό άξονα αυτών των κύκλων.

Αφού τώρα, τα $P,\ P^{\prime},\ Q,\ Q^{\prime}$ είναι ομοκυκλικά, έχουμε ότι $(RP)\cdot (RP^{\prime}) = (RQ)\cdot (RQ^{\prime})$ , όπου $R\equiv PP^{\prime}\cap QQ^{\prime}$ και άρα το

ανήκει στην ευθεία $(\epsilon)$ , επειδή έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους κύκλους $(O),\ (O_{9}).$

Τέλος, από $PP^{\prime}\perp TO$ και $QQ^{\prime}\perp TO_{9}$ , συμπεραίνουμε ότι οι κοινές κάθετες από τα μέσα των $TP,\ TP^{\prime}$ και $TQ,\ TQ^{\prime},$ τέμνονται επί της ευθείας $TR\equiv (\epsilon)$ , ως άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος των αναλόγων διαιρέσεων ( είναι η ΠΡΟΤΑΣΗ 1 και η αντίστροφη της ΠΡΟΤΑΣΗ 2, Εδώ ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Νίκο, έδωσα τη λύση σε τρεις προτάσεις ( τρία ζεύγη σειρών ), καθ' ότι φλύαρος, αντί σε τρεις σειρές που ζήτησες.

Nick Rapanos · #13

Poly oraia kurie vhtta!! an omos to T den anhke stin epsilon, pos boroume na apodeiksoume oti oi delta1 kai delta2 temnontai pali pano stin epsilon?

suggnomh gia ta agglika alla eimai sto panepistimio kai den exo adeia na kano allages sto pc.

#14

Nick Rapanos έγραψε:...an omos to T den anhke stin epsilon, pos boroume na apodeiksoume oti oi delta1 kai delta2 temnontai pali pano stin epsilon?

Νίκο, αυτές τελικά

οι ευθείες $(\delta_{1}),\ (\delta_{2})$

είναι magic lines.

Αυτό που βλέπω άμεσα, είναι ότι τα σημεία $T,\ S,\ R$ είναι πάντοτε συνευθεικά, σύμφωνα με το Θεώρημα των αναλόγων διαιρέσεων που προανέφερα και ότι το

είναι μέσον του

και άρα το ζητούμενο είναι να απόδειχθεί ότι ο γεωμετρικός του τόπος, είναι η ευθεία $(\epsilon)$ .

Ισχύει όμως, ST = SV = SU = SR,

όπου $V\equiv TO\cap PP^{\prime}, U\equiv TO_{9}\cap QQ^{\prime}$

από ορθογώνια τρίγωνα $\triangle VTR,\ \triangle UTR$

και ίσως αυτό μας βοηθάει να αποδείξουμε ότι είναι ίσες οι δυνάμεις του

, ως προς τους κύκλους $(O),\ (O_{9}).$

$\bullet$ Πράγματι, επειδή το

ανήκει στην μεσοκάθετη ευθεία του

και το

είναι το σημείο τομής της ευθείας TO,

από την Πολική του

ως προς τον κύκλο (O),

σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1, έχουμε ότι η εφαπτομένη του (O)

από το σημείο

είναι ίση με το ST.

Ομοίως

το

ανήκει και στην μεσοκάθετη ευθεία του

και το

είναι το σημείο τομής της $TO_{9}$ από την Πολική του

ως προς τον $(O_{9})$

και η εφαπτομένη του κύκλου $(O_{9})$ από το

επίσης είναι ίση με το ST.

Άρα, το σημείο

ανήκει στον ριζικό άξονα $(\epsilon)$ των κύκλων $(O),\ (O_{9})$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται κύκλος διαμέτρου και έστω τυχαίο σημείο στην προέκταση της ευθείας προς το μέρος του Εάν $PC,\ PD$ είναι οι εφαπτόμενες του δοσμένου κύκλου και $Q\equiv AB\cap CD,$ αποδείξτε ότι όπου είναι σημείο που ανήκει στην μεσοκάθετη ευθεία του και είναι η εφαπτόμενη του δοσμένου κύκλου από το

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το Λήμμα 1.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nick Rapanos · #15

Πάλι πολύ όμορφη απόδειξη κ. Βήττα, αλλά αυτή τη φορά ξεπεράσατε τις τρεις γραμμές...:p

Η δικιά μου προσέγγιση είναι η εξής. Έχουμε τον κύκλο (Ο), τον κύκλο (Ο9) και το σημείο Τ που μπορώ να το θεωρήσω ως έναν εκφυλισμένο κύκλο μηδενικής ακτίνας. Ξέρω ότι ακούγεται κάπως περίεργο, αλλά αν δείτε λίγο που οδηγεί αυτή η σκέψη δε θα σας φανεί ούτε περίεργο, αλλά ούτε και απαραίτητο να μπούμε στο ερώτημα αν και κατά πόσο έχω το δικαίωμα να δω το σημείο ως κύκλο.
Απο κατασκευής οι δ1 και δ2 ειναι οι ριζικοί άξονες του Τ με τους δύο κύκλους αντίστοιχα, άρα οφείλουν να τέμνονται πάνω στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων!

Τώρα θα ήθελα να επισημάνω ότι δε χρειάζεται να μιλήσουμε για κύκλους μηδενικής ακτίνας, αλλά σίγουρα μπορούμε να κάνουμε το εξής. Ξέρω ότι δεν πολυ συνηθίζεται στη βιβλιογραφία, αλλά μπορούμε να όρισουμε τη δύναμη σημείου ως προς σημείο ως το τετράγωνο της μεταξύ τους απόστασης, και έπειτα μπορούμε να ορίσουμε το ριζικό άξονα ενός σημείου και δύο κύκλων, δύο σημείων κοκ., η το ριζικό κέντρο (όπως εδώ) ενός σημείου και δύο κύκλων. Εάν λοιπόν ακολουθήσουμε την ίδια μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε για να αποδείξουμε για παράδειγμα το γεγονός ότι τρεις κύκλοι έχουν ένα ριζικό κέντρο ή άλλα παρόμοια θεωρήματα, μπορούμε να φτάσουμε στα ίδια αποτελέσματα και για ένα σημείο και δύο κύκλους. Άρα εκ του αποτελέσματος μπορώ να θεωρήσω ένα σημείο ως κύκλο μηδενικής ακτίνας και να εφαρμόσω (με προσοχή πάντα) θεωρήματα που περιέχουν κύκλους!

#16

Όταν μου την είχε πει πρώτη φορά ο Nick αυτή την απόδειξη είχα μείνει όντως άναυδος. Είναι πολύ κομψή και εντελώς απρόσμενη (δεν την έβαλα εδώ γιατί θα ήταν κλεψιά γιατί την ήξερα ήδη). Αυτό με τον κύκλο μηδενικής ακτίνας είναι εντελώς αυστηρό πάντως (μπορεί να γίνει δηλαδή). Ήταν ακόμη μια άσκηση που μου είχε δώσει ο Nick (την είχε κάνει και σε μάθημα προετοιμασίας) από ένα TST του Βιετνάμ (όπου και η επίσημη λύση παίρνει κύκλο μηδενικής ακτίνας)
και είχε και αυτή παρόμοιο επιχείρημα.
Τέλος, ένας τομέας στον οποίο χρησιμοποιείται συνεχώς ο κύκλος μηδενικής ακτίνας είναι το γενικευμένο θεώρημα του Πτολεμαίου που έχει 4 κύκλους στην εκφώνησή του και κοινές εξωτερικές εφαπτομένες τους. Εκεί συνήθως τους τρεις κύκλους τους παίρνουμε ως σημεία και οι εξωτερικές εφαπτόμενες είναι το τμήμα που τα συνδέει.
Ελπίζω να μην ξέφυγα πολύ

#17

Νίκο, αυτή είναι απόδειξη της μισής γραμμής.

Το επιχείρημα με την παραδοχή ενός σημείου ως κύκλου μηδενικής ακτίνας είναι πράγματι εξαιρετικό. Αν και μου είναι γνωστό, δεν είμαι εξοικειωμένος μ' αυτό.

Νομίζω ότι δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα σ' αυτή την παραδοχή και στο Λήμμα 1, όπως αποδεικνύεται παρακάτω, η μεσοκάθετη του

όπου $P,\ Q,$ είναι αρμονικά συζυγή των $A,\ B$

μπορεί να θεωρηθεί ως ο ριζικός άξονας του δοσμένου κύκλου (O)

και του σημείου

στο εξωτερικό μέρος αυτού, αλλά και ως ο ριζικός άξονας του (O)

και του σημείου

στο εσωτερικό μέρος του, αφού αληθεύει ότι TP = TQ = TS

, όπου

είναι η εφαπτομένη του (O)

από το

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται κύκλος διαμέτρου και έστω τυχαίο σημείο στην προέκταση της ευθείας προς το μέρος του Εάν $PC,\ PD$ είναι οι εφαπτόμενες του δοσμένου κύκλου και $Q\equiv AB\cap CD,$ αποδείξτε ότι όπου είναι σημείο που ανήκει στην μεσοκάθετη ευθεία του και είναι η εφαπτόμενη του δοσμένου κύκλου από το

Απόδειξη. - Για να είναι TP = TS,

αρκεί να αποδειχθεί ότι $(TP)^{2} = (TO)^{2} - R^{2}$ ,(1)

Από

$\Longrightarrow$ $(TM)^{2} + (MP)^{2} = (TM)^{2} + (MO)^{2} - R^{2}$ $\Longrightarrow$ $(MP)^{2} = (MO)^{2} - R^{2} = (MA)\cdot (MB)$ $\Longrightarrow$ $(MP)^{2} = (MA)\cdot (MB)$ ,(2)

Η

όμως αληθεύει λόγω της αρμονικής σημειοσειράς $P,\ A,\ Q,\ B$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Νίκο, πως αλλιώς εκτός από το Λήμμα 1, τεκμηριώνεται το ότι οι ευθείες $(\delta_{1}),\ (\delta_{2})$ είναι εκ κατασκευής οι ριζικοί άξονες των $(T),\ (O)$ και $(T),\ (O_{9})$ αντιστοίχως, όπου (T)

είναι το σημείο

ως κατά παραδοχή κύκλος μηδενικής ακτίνας ;

#18

vittasko έγραψε:ΥΓ. Νίκο, πως αλλιώς εκτός από το Λήμμα 1, τεκμηριώνεται το ότι οι ευθείες $(\delta_{1}),\ (\delta_{2})$ είναι εκ κατασκευής οι ριζικοί άξονες των $(T),\ (O)$ και $(T),\ (O_{9})$ αντιστοίχως, όπου είναι το σημείο ως κατά παραδοχή κύκλος μηδενικής ακτίνας ;

Μόλις ξάπλωσα για ύπνο, βρήκα την απάντηση.

Αφού το μέσον του

ισαπέχει των $T,\ P$

ίσες εφαπτόμενες

η ευθεία $(\delta_{1})$ ως κάθετη από το σημείο αυτό

το μέσον του

επί την

, την διάκεντρο των $(T),\ (O)$ , είναι ο ριζικός τους άξονας.

Νίκο να είσαι καλά, Κώστας Βήττας.

Nick Rapanos · #19

Είναι πάρα πολύ γνωστό και είμαι σίγουρος ότι το γνωρίζετε ότι ο ριζικός άξονας δύο κύκλων είναι κάθετος στη διάκεντρο και διέρχεται από τα μέσα των κοινών εφαπτομένων και αυτό τώρα πραγματικά νομίζω ότι είναι προφανές.

Τώρα στην προκειμένη περίπτωση που έχουμε σημείο και κύκλο, η κοινή εξωτερική εφαπτομένη είναι η εφαπτομένη απο το σημείο στον κύκλο!

Nick Rapanos · #20

κ. Βήττα παραμένετε γρήγορος!

Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Re: Γεωμετρία-Συντρέχουσες Ευθείες(2)

Μέλη σε σύνδεση