Τυπογραφικά στο Τεύχος με τις λύσεις των Πανελληνίων

Henri van Aubel · #1

Παιδιά, στο Δ2 ερώτημα των Πανελλαδικών έχει κάνει λάθη το τεύχος με τις λύσεις του

. Δίνω μία λύση:

Έχουμε $\displaystyle f\left ( x \right )=ln\left ( 2-x \right )-\frac{1}{x}+3,x\in \left ( 0,2 \right )$ .

Αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (ως πράξεις μεταξύ συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με $\displaystyle f{'}\left ( x \right )=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{\left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )}{x^{2}\left ( x-2 \right )},x\in \left ( 0,2 \right ).$

$\bullet$ Στο $\left ( 0,1 \right )$ είναι $\displaystyle f{'}\left ( x \right )> 0,\forall x\in \left ( 0,1 \right )$ και η

συνεχής στο $\left ( 0,1 \right ]$ , άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,1 \right ].$
Η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,1 \right ]$ , επομένως: $\displaystyle f\left ( \left ( 0,1 \right ] \right )=\left (\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( x \right ),f\left ( 1 \right ) \right ],$ όπου:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}ln\left ( 2-x \right )-\frac{1}{x}+3=-\infty$ και $f\left ( 1 \right )=2.$
Συνεπώς: $f\left ( \left ( 0,1 \right ] \right )=\left ( -\infty,2 \right ]$ και άρα η

έχει ρίζα $x_{1}\in \left ( 0 ,1\right ]$ και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,1 \right ],$ η ρίζα $x_{1}$ είναι μοναδική. Τέλος, αφού $f\left ( 1 \right )\neq 0,$ έχουμε $x_{1}< 1.$
$\bullet$ Στο $\left ( 1,2 \right )$ είναι $\displaystyle f{'}\left ( x \right )< 0,\forall x\in \left ( 1,2 \right )$ και η

συνεχής στο $\left [ 1,2 \right ),$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left [ 1,2 \right ).$
Η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\left [ 1,2 \right )$ , επομένως: $\displaystyle f\left ( \left [ 1,2 \right ) \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow 2^{-}} f\left ( x \right ),f\left ( 1 \right )\right ],$ όπου:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}ln\left ( 2-x \right )-\frac{1}{x}+3=-\infty$ και $f\left ( 1 \right )=2.$
Συνεπώς: $f\left ( \left [ 1,2 \right ) \right )=\left ( -\infty,2 \right ]$ και άρα η

έχει ρίζα $x_{2}\in \left [ 1,2 \right )$ και αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left [ 1,2 \right ),$ η ρίζα $x_{2}$ είναι μοναδική. Τέλος, αφού $f\left ( 1 \right )\neq 0,$ έπεται ότι $x_{2}> 1.$
Τέλος, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0, 1\right ]$ με $\displaystyle f\left ( x_{1} \right )=0< f\left ( \frac{1}{3} \right ),$ συνεπώς $\displaystyle x_{1}< \frac{1}{3}.$

Υ.Γ Δεν κάνω επίπληξη σε κανέναν. Απλά, καλό θα ήταν να διορθωθούν κάποια πράγματα.

Τυπογραφικά στο Τεύχος με τις λύσεις των Πανελληνίων

Τυπογραφικά στο Τεύχος με τις λύσεις των Πανελληνίων

Μέλη σε σύνδεση