Μοναδικό τέλειο τετράγωνο
Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Μοναδικό τέλειο τετράγωνο
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός φυσικός αριθμός, ο οποίος όταν αφαιρεθεί από τους όρους του κλάσματος ,
θα προκύψει ακέραιος που να είναι τέλειο τετράγωνο με βάση θετικό ακέραιο.
θα προκύψει ακέραιος που να είναι τέλειο τετράγωνο με βάση θετικό ακέραιο.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Μοναδικό τέλειο τετράγωνο
Για κάποιον φυσικό έχουμε το εξής:
Για είναι
Συνεπώς τότε θα πρέπει . Άρα δεν μας κάνει, γιατί το εν λόγω (αυτό που δίνεται στην εκφώνηση) κλάσμα πρέπει να είναι θετικός ακέραιος!
Συνεπώς έχουμε και άρα
Άρα θα πρέπει . Επομένως έχουμε:
Άρα μας κάνει μόνο η τιμή για την οποία ισχύει ότι το κλάσμα ισούται με και άρα είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου
Οπότε πράγματι έχουμε μοναδική λύση και μάλιστα το
Για είναι
Συνεπώς τότε θα πρέπει . Άρα δεν μας κάνει, γιατί το εν λόγω (αυτό που δίνεται στην εκφώνηση) κλάσμα πρέπει να είναι θετικός ακέραιος!
Συνεπώς έχουμε και άρα
Άρα θα πρέπει . Επομένως έχουμε:
Άρα μας κάνει μόνο η τιμή για την οποία ισχύει ότι το κλάσμα ισούται με και άρα είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου
Οπότε πράγματι έχουμε μοναδική λύση και μάλιστα το
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μοναδικό τέλειο τετράγωνο
Γράφω πιο αναλυτικά την λύση:
Έστω ο ζητούμενος ακέραιος. Θέλουμε , όπου θετικός ακέραιος.
Άρα , δηλαδή και άρα . (1)
Αν είναι , βλέπουμε ότι η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Με , η (1) γράφεται:
Για να είναι ο ακέραιος, πρέπει ο αριθμός να είναι διαιρέτης του
Άρα πρέπει , ή , , ή , ή , ή , ή
Δηλαδή , (με δεδομένο ότι ο είναι θετικός ακέραιος), από τις πιο πάνω εξισώσεις, δεκτή είναι μόνο η , από την οποία προκύπτει
και από την (1) έχουμε .
Έστω ο ζητούμενος ακέραιος. Θέλουμε , όπου θετικός ακέραιος.
Άρα , δηλαδή και άρα . (1)
Αν είναι , βλέπουμε ότι η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Με , η (1) γράφεται:
Για να είναι ο ακέραιος, πρέπει ο αριθμός να είναι διαιρέτης του
Άρα πρέπει , ή , , ή , ή , ή , ή
Δηλαδή , (με δεδομένο ότι ο είναι θετικός ακέραιος), από τις πιο πάνω εξισώσεις, δεκτή είναι μόνο η , από την οποία προκύπτει
και από την (1) έχουμε .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης