Από λόγο τμημάτων σε λόγο εμβαδών

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2024 12:25 pm
Από λόγο τμημάτων σε λόγο εμβαδών .png

Το $ABCD\,\,$ είναι ένα παραλληλόγραμμο με και $\displaystyle\frac{AP}{PB}=k$ . Αν $\left( X \right)$ είναι

το εμβαδόν της έγχρωμης περιοχής εντός του παραλληλογράμμου, δείξτε, τότε,

ότι ισχύει: $\displaystyle\frac{\left( X \right)}{\left( ABCD \right)}=\displaystyle\frac{\left( {{k}^{2}}+k+1 \right)\left( {{k}^{2}}+3k+1 \right)}{{{\left( k+1 \right)}^{2}}\left( k+2 \right)\left( 2k+1 \right)}$ .

Από τον δοθέντα λόγο εύκολα παίρνουμε $\dfrac{PB}{AB} = \dfrac{1}{k+1} , \dfrac{DK}{KB} = \dfrac{AP}{AB}= \dfrac{k}{k+1} \Rightarrow \dfrac{DK}{DB} = \dfrac{k}{2k+1}$ και

$\dfrac{EB}{ED} = \dfrac{PB}{AB}= \dfrac{1}{k+1} \Rightarrow \dfrac{EB}{DB}= \dfrac{1}{k+2}$

Είναι, $\dfrac{Z}{(BCD)}= \dfrac{EB}{DB}= \dfrac{1}{k+2} \Rightarrow Z= \dfrac{1}{k+2} . \dfrac{S}{2}$

$\dfrac{X}{(ABD)}= \dfrac{DK}{DB} \Rightarrow X= \dfrac{k}{2k+1}. \dfrac{S}{2}$

$\dfrac{X}{Y}= (\dfrac{AK}{KQ})^2= (\dfrac{AB}{AP})^2= \dfrac{(k+1)^2}{k^2} \Rightarrow Y= \dfrac{k^3}{(k+1)^2(2k+1)}. \dfrac{S}{2}$

$\dfrac{ \Omega }{Z}= (\dfrac{PE}{EC})^2= (\dfrac{PB}{CD})^2= \dfrac{1}{(k+1)^2} \Rightarrow \Omega = \dfrac{1}{(k+1)^2(k+2)}. \dfrac{S}{2}$

$\dfrac{2(X+Y+Z+ \Omega )}{S}= \dfrac{k}{2k+1}+ \dfrac{k^3}{(k+1)^2(k+2)}+ \dfrac{1}{k+2}+ \dfrac{1}{(k+1)^2(k+2)}$ απ όπου

$\dfrac{X+Y+Z+ \Omega }{S}= \dfrac{k^4+4k^3+5k^2+4k+1}{(k+1)^2(2k+1)(k+2)}= \dfrac{(k^2+k+1)(k^2+3k+1)}{(k+1)^2(2k+1)(k+2) }$

: λόγος εμβαδών.png (25.89 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

orestisgotsis · #3

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 10, 2024 12:21 pm
Από τον δοθέντα λόγο εύκολα παίρνουμε $\dfrac{PB}{AB} = \dfrac{1}{k+1} , \dfrac{DK}{KB} = \dfrac{AP}{AB}= \dfrac{k}{k+1} \Rightarrow \dfrac{DK}{DB} = \dfrac{k}{2k+1}$ και

Από λόγο τμημάτων σε λόγο εμβαδών

Από λόγο τμημάτων σε λόγο εμβαδών

Re: Από λόγο τμημάτων σε λόγο εμβαδών

Re: Από λόγο τμημάτων σε λόγο εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση