Κύκλοι σε ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Κύκλοι σε ορθογώνιο.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

Στο $6\times 4$ ορθογώνιο ABCD

σχεδιάσαμε τους κύκλους (D , DA)

και

, οι οποίοι τέμνονται στα S , T

.

α) Δείξτε ότι τα τμήματα AT , TS , SA

, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

β) Υπολογίστε την διαφορά : $\cos\theta-\sin\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 01, 2023 7:37 pm
Κύκλοι σε ορθογώνιο.pngΣτο $6\times 4$ ορθογώνιο σχεδιάσαμε τους κύκλους και , οι οποίοι τέμνονται στα .

α) Δείξτε ότι τα τμήματα , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

β) Υπολογίστε την διαφορά : $\cos\theta-\sin\theta$ .

Από το σχήμα .

Επειδή η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {D,4} \right)$ θα ισχύουν ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} {3^2} = k\left( {k + x} \right) \hfill \\ \frac{x}{2} + k = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2\sqrt 7 \hfill \\ k = 4 - \sqrt 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MAT$ , $A{T^2} = 9 + {k^2} = 9 + 16 + 7 - 8\sqrt 7 = 32 - 8\sqrt 7 = {\left( {2\sqrt 7 - 2} \right)^2}$ .

: Κύκλοι σε ορθογώνιο.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

α)Άρα , $AT = 2\sqrt 7 - 2$ και ομοίως από το Π. Θ. στο $\vartriangle MSA$ , $SA = 2\sqrt 2 + 2$ .

Δηλαδή τα AT,TS,TA

είναι διαδοχικοί όροι αρ. προόδου με μεσαίο όρο , $2\sqrt 7$ και διαφορά

.

β) $\boxed{\cos \theta - \sin \theta = \frac{3}{{AT}} - \frac{k}{{AT}} = \frac{{3 - 4 + \sqrt 7 }}{{2\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}} = \frac{1}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 01, 2023 7:37 pm
Κύκλοι σε ορθογώνιο.pngΣτο $6\times 4$ ορθογώνιο σχεδιάσαμε τους κύκλους και , οι οποίοι τέμνονται στα .

α) Δείξτε ότι τα τμήματα , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

β) Υπολογίστε την διαφορά : $\cos\theta-\sin\theta$ .

Αλλιώς για το α). Η

τέμνει την

στο

και οι

διχοτομούνται στο

Άρα,

και με

Πυθαγόρειο $SM=MT=\sqrt 7.$ Εξάλλου, από το γνωστό τύπο bc=2Rh_a,

είναι $\boxed{AS \cdot AT = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24}$ (1)

: Κύκλοι σε ορθογώνιο.Κ.png (19.62 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές

Από θεώρημα διαμέσων στο AST:

$\displaystyle A{S^2} + A{T^2} = 50 + 14 \Leftrightarrow {(AS + AT)^2} - 2AS \cdot AT = 64\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} AS + AT = 4\sqrt 7 = 2ST$

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 01, 2023 7:37 pm
Κύκλοι σε ορθογώνιο.pngΣτο $6\times 4$ ορθογώνιο σχεδιάσαμε τους κύκλους και , οι οποίοι τέμνονται στα .

α) Δείξτε ότι τα τμήματα , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

β) Υπολογίστε την διαφορά : $\cos\theta-\sin\theta$ .

Από Ήρωνα $(DSC)=3\sqrt{7} =3SE \Rightarrow SE= \sqrt{7} \Rightarrow ST=2 \sqrt{7} \Rightarrow TZ=EZ-ET=4-\sqrt{7}$

Από Π.Θ στο τρίγωνο AZS

έχουμε εύκολα $AS=2 \sqrt{7}+2$ και στο τρίγωνο ZAT

$AT=2 \sqrt{7} -2$

Άρα AT,TS,AS

διαδοχικοί όροι α.προόδου με διαφορά 2

$cos \theta-sin \theta = \dfrac{ZS}{AS}- \dfrac{AZ}{AS} = \dfrac{2 \sqrt{7} +4- \sqrt{7} -3}{2 \sqrt{2}+2 }= \dfrac{1}{2}$

: κύκλοι σε ορθογώνιο.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές

Κύκλοι σε ορθογώνιο

Κύκλοι σε ορθογώνιο

Re: Κύκλοι σε ορθογώνιο

Re: Κύκλοι σε ορθογώνιο

Re: Κύκλοι σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση